Categoria: Divisão

2 de julho de 20183 de julho de 2018

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067.4 – Matemática, logaritmos. Operações com logaritmos. Potenciação

Operações com logaritmos

Logaritmos de potencias

Vejamos como fica essa questão:

${log_3{(5)^2}} = {log_3{(5)} + log_3{(5)}} $

$ 1\cdot{log_3{(5)}} + 1\cdot{log_3{(5)}} = {2\cdot {log_3{5}}}$

Isso nos leva à conclusão de que basta multiplicar o logaritmo pelo expoente do logaritmando. Assim:

${log_a{b^u}} = u\cdot {log_a{b}}$

Vamos exercitar um pouco.

a) ${log_m{({p\over q})^z}}$

${log_m{({p\over q})^z}} = z\cdot{log_m{({p\over q})}}$

$ z\cdot{(log_m{p} – log_m{q})}$

b) ${log_3{9^2}} $

${log_3{(3^2)^2}} = {log_3{3^{({2}\cdot{2})}}} = {log_3{3}^4}$

${log_3{9^2} = 4\cdot{log_3{3}} = 4\cdot 1 = 4}$

c)$ log_u{v^n} $

$ log_u{v^n} = n\cdot{log_u{v}}$

d) $ log_n{u^{3x}} $

$ log_n{u^{3x}} = 3x\cdot{log_n{u}}$

É a sua vez, prezado leitor. Resolva os logaritmos das expressões a seguir.

e) $ log_a{({{f}\over{g}})^v} $

f) $ log_3{({{14}\over {21}})^5}$

g) $ log_5{(25)^3} $

h) $ log_{10}{(100)^3}$

i) $ log_7{(ab)^v} $

j) $ log_2{(u)^7} $

l) $ log_3{({{p}\over{q}})^5} $

m) $ log_a{({c}\over{d})^3} $

n) $ log_y{({m}\over{n})^7} $

Obs.: Em caso de dúvida, peça auxílio por um dos canais abaixo listados.

Curitiba, 02 de julho de 2018

Décio Adams

30 de junho de 201825 de agosto de 2022

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067.3 – Matemática, logaritmos, divisão de logaritmos de mesma base.

Operações com logaritmos

Divisão de logaritmos

Logaritmos de mesma base

Desde que estudamos aritmética, vimos que a divisão é a operação inversa da multiplicação. Isso nos permite supor que com os logaritmos acontece a mesma coisa. Vamos confirmar isso.

${log_a{{b}\over{c}} = x} <=> {(a^x)} = {{b}\over {c}} $

Não esquecendo que devemos ter:

${a >0}$, ${a ≠ 1}$, ${b>0}$ e ${c > 0}$

Usando números

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${log_3{{243}\over{27}} = log_3{(3^5)\over(3^3)}}$

${log_3{3^{(5 – 3)} = log_3{3^2} = 2}}$

“O quociente de dois logaritmos de mesma base, é igual à diferença entre os logaritmos correspondentes.”

Obs.: Nunca se pode esquecer que a matemática é um grande edifício e cada pequena parte, é como se fosse um tijolo. Na multiplicação e divisão de potências de mesma base, valem as mesmas regras. Soma e subtração dos expoentes. Aqui são a soma e diferença dos logaritmos, mas que são os expoentes da base que reproduz o logaritmando.

Vejamos como se aplica isso.

a)${log_2{{64}\over{16}}}$

${log_2{{2^6}\over{2^4}} = {log_2{2^6} – log_2{2^4}}}$

${log_2{{64}\over{16}} = 6 – 4 = 2}$

b)$ {log_m{{a}\over {b}}} = {{log_m{a}} – {log_m{b}}}$

c)${log_5{{3125}\over{125}}} = {log_5{{5^5} – log_5{5^3}}}$

${log_5{{3125}\over{125}} = 5 – 3 = 2}$

Efetue as divisões de logaritmos de mesma base a seguir.

a)${log_7{{343}\over{7}}}$

b)${log_5{{625}\over{15625}}}$

c)${log_2{{512}\over{64}}}$

d)${log_{11}{{161051}\over{121}}}$

e)${log_y{{p}\over{q}}}$

f)${log_h{{f}\over{g}}}$

g)${log_{13}{{371293}\over{2197}}}$

Bons exercícios, vá com calma. Se sentir dificuldades, peça ajuda, que estarei pronto para esclarecer.

Curitiba, 30 de junho de 2018

Décio Adams

28 de junho de 201815 de setembro de 2018

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067 – Um pouco da história dos logaritmos

Logaritmos

Comecemos pela etimologia da palavra. Tal como uma grande quantidade de termos hoje empregados, também esse tem sua origem na língua grega.

“Logos” ⇒ razão

“Arithmos” ⇒ número

Juntando as duas partes, formamos facilmente a palavra “logaritmo”, significando “número de razão”.

Primeiros indícios

Existem vestígios em escritos da era babilônica, permitindo identificar sinais da utilização de tabelas logarítmicas entre eles. Mais tarde Arquimedes, ao se deparar com números muito grandes, também faz tentativas de estabelecer alguma coisa nesse sentido. Nos séculos XV, XVI e XVII, ocorreu uma intensificação das navegações marítimas; comércio entre pontos distantes do planeta cresceu muito. Como consequência surgiu a necessidade de executar cálculos cada vez mais complexos e por vezes tediosos. Isso foi devido a necessidade de traçar rotas, desenhar mapas, assim como computar os lucros e as despesas das operações comerciais. As operações de multiplicação e divisão, com números cada vez maiores, sem auxílio de recursos mecânicos, muito menos eletrônicos, tornava a tarefa hercúlea.

Continue lendo “067 – Um pouco da história dos logaritmos”

20 de junho de 201827 de maio de 2020

044.2 – Matemática, álgebra – Produtos notáveis; Quadrado da soma multiplicado pela diferença.

– Produto do quadrado da soma, pela diferença de dois números.

$\underbrace{( a + b)^2}\cdot\overbrace{(a – b)} $

Já sabemos que o quadrado da soma é um trinômio quadrado perfeito (trinômio soma). Podemos usar o resultado imediatamente.

$\underbrace{( a^{2} + 2ab + b^{2})}{\overbrace{(a – b)}} $

$ {a}{a^{2}} + {a}{(2ab)} + {a}{b^{2}} +{(-b)}{a^{2}} + {(-b)}{(2ab)} + {(-b)}{b^{2}} $

$ a^{3} + 2a^{2}b + ab^{2} – a^{2}b – 2ab^{2} – b^{3} $

$ a^{3} +\underbrace{ 2a^{2}b – a^{2}b} +\overbrace{ ab^{2} – 2ab^{2}} – b^{3} $

$ a^{3} + a^{2}b -ab^{2} – b^{3} $

Podemos enunciar a regra para obter o produto do quadrado de dois números pela sua diferença, como segue.

“O produto do quadrado de dois números, pela sua diferença é dado pelo cubo do primeiro termo, mais o quadrado do primeiro multiplicado pelo segundo, menos o primeiro multiplicado pelo quadrado do segundo, menos o cubo do segundo termo”.

Vamos tentar por em prática? Seja:

$\underbrace {{(2x + y)}^{2}}\cdot\overbrace{(2x – y)} $

${(4x^{2} + 4xy + y^{2})}{(2x – y)} $

$ {(2x)}^{3} + {(2x)}^{2}{y} – 2x{y^{2}} – {y^{3}} $

$ {8x^3 + 4x^{2}y – 2xy^2 – y^3 }$

Vamos exercitar um pouco? Faz bem, não é verdade?!

a) $ {(3x – y)^2}{(3x + y)}= ?$

b) ${(6 – 2z)^2}{(6 + 2z)}= ? $

c) ${(ab – m)^2}{(ab + m)}- ? $

d) ${(5n – 2m)^2}{(5n + m)}= ?$

Curitiba, 20 de junho de 2018

Décio Adams

11 de janeiro de 20184 de julho de 2020

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01.066 – Matemática, Álgebra. Inequações 2º Grau – Exercícios

Hora de treinar a cuca!

Vamos determinar o conjunto verdade de algumas inequações do segundo grau, fazendo o estudo de sua variação de sinais em relação às raízes.

a) $\color{navy}{ -5x^2 + 25x + 70 \lt 0 }$

Vamos começar por identificar os coeficientes numéricos, comparando com a forma geral. Temos que $ a = -5 $, $ b = 25 $ e $ c = 70 $.

Para facilitar os cálculos, iremos dividir todos os termos por $-5$, simplificando e teremos \[\frac{-5x^2}{-5} + \frac{25x}{-5} + \frac{70}{-5} \lt 0\] \[x^2 – 5x – 14 \lt 0\] Agora os coeficientes passam a ser $ a = 1$, $b = -5$ e $c = -14$. É o momento de determinar o discriminante \[\bbox[grey,5px,border:2px solid brown]{\color{maroon}{\Delta = b^2 – 4\cdot a \cdot c}} \] \[\Delta = {(-5)^2 – 4\cdot 1\cdot (-14)}\] \[\Delta = 25 + 56 \] \[\Delta = 81\] O discriminante é positivo e portanto teremos duas raízes reais e diferentes que tornarão a expressão igual a zero. Calculando as raízes \[\bbox[grey,5px,border:2px solid red]{\color{maroon}{ x = {{-b\pm\sqrt \Delta}\over{2a}}}} \] \[ x = {{-(-5)\pm\sqrt{81}}\over {2\cdot 1}} \] \[x= {{5\pm 9}\over 2}\] \[x’ = {{5 + 9}\over 2} = {14\over 2} = 7\] \[ x” = {{5 – 9}\over 2} = {-4\over 2} = -2\]

Temos pois para valores que anulam a expressão em $x$ os números $-2 $ e $7$. Vejamos como fica o comportamento na Reta Real.

\[\underbrace{\color{navy}{-\infty\leftarrow =========}}{-2}\circ\underbrace{————-}{7}\circ\underbrace{\color{navy}{============\rightarrow\infty}}\]

Vimos que para valores externos das raízes, isto é, nesse caso para $x \lt -2$ ou $x \gt 7$ a expressão terá o mesmo sinal do coeficiente $a$ na inequação em sua forma original, sem simplificação. Vimos acima que $a = -5$ ou seja $ a \lt 0$, o que nos leva à conclusão de que o sinal será negativo para esses valores. Já para os valores compreendidos entre $ -2 $ e $7$, a expressão terá o sinal contrário de $a$, portanto positivo. Assim deduzimos que o conjunto verdade dessa inequação é dado por: \[\bbox[silver, 5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{ V = \{ x \in R | x \lt -2 \vee x \gt 7\}}} \]

b)$\color{navy}{ 3x^2 + 15x -72 \ge 0}$

Identificamos os coeficientes $ a = 3$, $b = 15$ e $c = -72$. Observando esses valores, percebemos que é possível simplificar a expressão, dividindo todos os termos por $3$, o que nos dá \[\frac{3x^2}{3} +\frac{15x}{3} – \frac{-72}{3} \] \[ x^2 + 5x – 24 \ge 0\] Temos agora os novos coeficientes $ a= 1$, $b = 5 $ e $c = -24$. Vamos determinar o discriminante. \[\bbox[yellow,5px,border:2px solid brown]{\color{maroon}{\Delta = b^2 – 4\cdot a \cdot c}} \] \[ \Delta = 5^2 – 4\cdot 1\cdot {-24} \] \[\Delta = 25 + 96 \] \[\Delta = 121\] Temos novamente $\Delta \gt 0$ e em consequência duas raízes reais e diferentes.

\[\bbox[lime,5px,border:2px solid brown]{\color{maroon}{ x = {{-b\pm\sqrt \Delta}\over{2a}}}} \] \[x = {{- 5\pm\sqrt{121}}\over{2\cdot 1}}\] \[x= {{-5\pm{11}}\over 2}\] \[x’ = {{-5 + 11}\over 2} = {6\over 2} = 3 \] \[x” = {{-5 – 11}\over 2} ={-16\over 2} = -8\] Lançando esses valores na Reta Real, fica:

\[\underbrace{\color{lime}{-\infty\leftarrow ============(-8)\bullet}}\underbrace{———-}\underbrace{\color{lime}{3\bullet============\rightarrow\infty}}\]

As raízes $-8$ e $ 3$ anulam a expressão, enquanto os valores externos tornam a expressão positiva, por ter no mesmo sinal de $a$. Os valores internos tornarão a expressão negativa, que é o sinal contrário de $a$. Como a inequação é $\ge 0$, o conjunto verdade será também dado por:

\[\bbox[silver,5px,border: 2px solid blue]{\color{navy}{V=\{ x \in R| x\le -8 \vee x \ge 3\}}} \]

c)$\color{blue} {x^2 -13x + 42 \le 0}$

Os coeficientes numéricos são $a=1$, $b= -13$ e $c = 42$. Notamos que agora não há simplificação a ser feita, pois o coeficiente $a =1$ e a expressão está na sua forma mais simples. Vejamos o discriminante:\[\bbox[yellow,5px,border:2px red solid]{\color{maroon}{\Delta = b^2 – 4\cdot a \cdot c}} \] \[\Delta=(-13)^2 – 4\cdot 1\cdot 42 = 169 – 168 = 1\] Temos então que $\Delta \gt 0$ e novamente as raízes são reais e diferentes. \[\bbox[lime,5px,border:2px solid red]{\color{maroon}{ x = {{-b\pm\sqrt \Delta}\over{2a}}}} \] \[x={{-(-13\pm\sqrt{1}}\over{2\cdot 1}}\] \[x = {{13\pm 1}\over 2}\] \[x’= {{13 + 1}\over2} = {14\over 2} = 7\] \[x”={{13 – 1}\over 2} = {12\over 2} = 6 \] Lançando os valores $6$ e $7$ na Reta Real, teremos:

\[\underbrace{-\infty\leftarrow —————-}\underbrace{\color{lime}{6\bullet========7\bullet}}\underbrace{———————-\rightarrow\infty}\]

Para valores de $x$ a esquerda de $6$ ou a direita de $7$, a expressão será positiva, isto é, o mesmo sinal de $a$, que é positivo. Para valores internos do intervalo $6$ e $7$, a expressão será negativa, o sinal contrário de $a$. Assim sendo, a desigualdade da inequação é $\le$, o conjunto verdade será formado pelos números entre $6$ e $7$, inclusive.

\[\bbox[silver, 5px, border:2px solid blue]{\color{navy}{V = \{x \in R| 6 \le x \le 7\}}}\]

d)$\color{blue}{ 3x^2 – 18x + 72 \gt 0} $

Notamos que é possível simplificar a expressão, pois todos os coeficientes são múltiplos de $3$. Então \[\frac{3x^2}{3} – \frac{18x}{3} + \frac{72}{3} \] \[ x^2 – 6x + 24 \gt 0\]

Agora os nossos coeficientes são $a = 1$, $b = -6$ e $c = 24$. Vamos ao discriminante.

\[\bbox[yellow,5px,border:2px red solid]{\color{maroon}{\Delta = b^2 – 4\cdot a \cdot c}} \] \[ \Delta = {(-6)^2}\cdot 1\cdot {24} = 36 – 96 = -60\] Consequentemente constatamos que $\Delta \lt 0$, o que nos leva a conclusão de que nenhum número real tornará a expressão igual a zero. Como fica a inequação? Não temos ponto de referência para dizer que a expressão será positiva ou negativa para esse ou aquele valor. Vamos escolher três valores, sendo um negativo, o próprio zero e um positivo, substituindo e verificando o resultado. Sejam esses números $-3$, $0$ e $5$.

Para $x = -3$, teremos \[3x^2 -18x + 72 \gt 0\] \[ 3\cdot (-3)^2 – 18\cdot{(-3)} + 72 \gt 0\] \[{3\cdot 9} + 54 + 72 \gt 0 \] \[ 27 + 54 + 72 \gt 0\] \[ 153 \gt 0\] Esta sentença é verdadeira.

Para $x = 0$, teremos \[3\cdot 0 – 18\cdot 0 + 72 \gt 0\] \[ 0 + 0 + 72 \gt 0\] \[ 72 \gt 0\] Esta sentença é verdadeira.

Para $x = 5$, teremos \[3\cdot 5^2 – 18\cdot 5 + 72 \gt 0\] \[ 3\cdot 25 – 90 + 72 \gt 0\] \[75 – 90 + 72 \gt 0\] \[147 – 90 \gt 0\] \[ 57 \gt 0\] Sentença verdadeira.

Vamos escolher mais um número negativo e dois positivos, para sanar qualquer dúvida. $-5$, $2$ e $7$.

Para $x=-5$, teremos \[3\cdot (-5)^2 – 18\cdot(- 5) + 72 \gt 0\] \[3\cdot 25 + 90 + 72 \gt 0\] \[75 +90 + 72 \gt 0\] \[ 237 \gt 0\] Sentença verdadeira.

Para $x = 2$, teremos \[3\cdot 2^2 – 18\cdot 2 + 72 \gt 0 \] \[3\cdot 4 – 54 + 72 \gt 0\] \[ 12 – 54 + 72 \gt 0\] \[30 \gt 0\] Sentença verdadeira.

Para $x = 7$, teremos \[3\cdot 7^2 – 18\cdot 7 + 72 \gt 0\] \[3\cdot 49 – 126 + 72 \gt 0\] \[147 – 126 + 72 \gt 0 \] \[93 \gt 0\] Sentença verdadeira.

Fica evidenciado que para qualquer número real colocado no lugar de $x$ nessa inequação, o resultado é uma sentença verdadeira. Podemos concluir que o conjunto verdade é então o próprio conjunto dos números reais.

\[\bbox[silver,5px,border:2px solid blue]{\color{navy}{ V = R}}\]

Se a mesma inequação tivesse o sinal de desigualdade $\lt $ no lugar de $\gt$, essas sentenças todas seriam falsas e portanto o conjunto verdade da inequação seria um conjunto vazio. Assim

\[3x^2 – 18x + 72 \lt 0\] \[\bbox[silver,5px,border:2px solid blue]{\color{navy}{ V = \emptyset}}\] O mesmo aconteceria se tivéssemos os sinais de desigualdade $\ge$ ou $\le$, uma vez que teríamos a conjunção alternativa $\vee$, que tornaria as sentenças igualmente verdadeiras. É interessante notar que nestes casos o sinal da expressão é sempre igual ao sinal de $a$. Se $a\lt 0$, a expressão será sempre negativa, para qualquer número $x \in R$. Se $a \gt 0$, a expressão será positiva para qualquer valor de $x \in R$.

Agora é a sua vez de praticar. Analise os sinais das inequações e determine o conjunto verdade em cada caso.

a) $\color{navy}{x^2 – 17x + 70 \le 0}$

b) $\color{navy}{2x^2 + 4x – 48 \ge 0}$

c) $\color{navy}{ x^2 – 5x – 36 \gt 0} $

d)$\color{navy}{ 3x^2 – 108 \lt 0}$

e) $\color{navy}{5x^2 – 35x \lt 0}$

f)$\color{navy}{ 4x^2 – 12x + 44 \gt 0}$

g) $\color{navy}{5x^2 + 110 \ge 3x^2 + 14x} $

h)$\color{navy}{ 6x^2 + 54 \le 0} $

i) $\color{navy}{4x -9 \gt x^2 }$

j) $\color{navy}{x^2 – 19x + 88 \lt 0}$

l) $\color{navy}{ 7x^2 + 28x \gt 0}$

m) $\color{navy}{{\frac{2}{3}}x^2 -\frac{3}{5} \le 0} $

Obs.: Se tiver dúvida sobre a resolução de algum desses exercícios, faça contato comigo. Estes eu não vou resolver logo em seguida. Legal? Procure se virar nos trinta, meu!

Curitiba, 10 de junho de 2016

Revisado e republicado em 11 de janeiro de 2017.

Décio Adams