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Continue lendo “046.1 – Matemática, álgebra. Exercícios de produtos notáveis. Quadrado da soma.”
$\underbrace{( a + b)^2}\cdot\overbrace{(a – b)} $
Já sabemos que o quadrado da soma é um trinômio quadrado perfeito (trinômio soma). Podemos usar o resultado imediatamente.
$\underbrace{( a^{2} + 2ab + b^{2})}{\overbrace{(a – b)}} $
$ {a}{a^{2}} + {a}{(2ab)} + {a}{b^{2}} +{(-b)}{a^{2}} + {(-b)}{(2ab)} + {(-b)}{b^{2}} $
$ a^{3} + 2a^{2}b + ab^{2} – a^{2}b – 2ab^{2} – b^{3} $
$ a^{3} +\underbrace{ 2a^{2}b – a^{2}b} +\overbrace{ ab^{2} – 2ab^{2}} – b^{3} $
$ a^{3} + a^{2}b -ab^{2} – b^{3} $
Podemos enunciar a regra para obter o produto do quadrado de dois números pela sua diferença, como segue.
Vamos tentar por em prática? Seja:
$\underbrace {{(2x + y)}^{2}}\cdot\overbrace{(2x – y)} $
${(4x^{2} + 4xy + y^{2})}{(2x – y)} $
$ {(2x)}^{3} + {(2x)}^{2}{y} – 2x{y^{2}} – {y^{3}} $
$ {8x^3 + 4x^{2}y – 2xy^2 – y^3 }$
Vamos exercitar um pouco? Faz bem, não é verdade?!
a) $ {(3x – y)^2}{(3x + y)}= ?$
b) ${(6 – 2z)^2}{(6 + 2z)}= ? $
c) ${(ab – m)^2}{(ab + m)}- ? $
d) ${(5n – 2m)^2}{(5n + m)}= ?$
Curitiba, 20 de junho de 2018
Décio Adams
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$\underbrace{( a – b )^{2}}\cdot\overbrace{(a + b)} $
O procedimento é semelhante ao anterior.
$\underbrace{( a^{2} – 2ab + b^{2})}\cdot\overbrace{(a + b)} $
$ a^{2}a + {(- 2ab)}{(a)} + ab^{2} + a^{2}b + {(- 2ab)}{(b)} + {(b^{2})}{b} $
$ a^{3} – 2a^{2}b + ab^{2} + a^{2}b – 2ab^{2} + b^{3} $
$ a^{3} +\underbrace{-2a^{2}b + a^{2}b} +\overbrace{ ab^{2} -2ab^{2}} + b^{3} $
$ a^{3} – a^{2}b – ab^{2} + b^{3}$
$ a^{3} – a^{2}b – ab^{2} + b^{3} $
Obs.: Para memorizar, fica bastante fácil. Basta observar que os termos são obtidos de mesmo modo, apenas há a diferença entre os sinais dos termos. Se conseguir criar um mecanismo que permita recordar essas sequências, terá meio caminho andado para lembrar dos enunciados.
Vamos por em prática.
$\underbrace {( ma + n)}\cdot\overbrace {(ma – n)^{2}} $
$\underbrace{( ma + n)}\cdot\overbrace{[(ma)^{2} – 2mna + n^{2}]} $
$ m^{3}a^{3} – 2m^{2}na^{2} – 2mn^{2}a + n^{3} $
Exercícios. Efetuar as multiplicações a seguir.
a)${(ab – c)^2}{(ab + c)} = ?$
b)${ (2m – 3n)^2}{(2m + 3n)}- ? $
c)${(4 – 2x)^2}{(4 + 2x)}= ?$
d)${(rs – tu)^2}{(rs + tu)}= ?$
e)${(2v – 3z)^2}{(2v + 3z)}= ?$
Vamos deixar os demais exercícios para um momento próximo. Esses são trabalhosos, mas em momentos de aplicação, ajudam a economizar um bocado de tempo no desenvolvimento de expressões maiores. Sem esquecer de um assunto que vem pouco à frente, que é a fatoração, onde fazemos o processo inverso do que fazemos aqui.
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Vamos determinar o conjunto verdade de algumas inequações do segundo grau, fazendo o estudo de sua variação de sinais em relação às raízes.
a) $\color{navy}{ -5x^2 + 25x + 70 \lt 0 }$
Vamos começar por identificar os coeficientes numéricos, comparando com a forma geral. Temos que $ a = -5 $, $ b = 25 $ e $ c = 70 $.
Para facilitar os cálculos, iremos dividir todos os termos por $-5$, simplificando e teremos \[\frac{-5x^2}{-5} + \frac{25x}{-5} + \frac{70}{-5} \lt 0\] \[x^2 – 5x – 14 \lt 0\] Agora os coeficientes passam a ser $ a = 1$, $b = -5$ e $c = -14$. É o momento de determinar o discriminante \[\bbox[grey,5px,border:2px solid brown]{\color{maroon}{\Delta = b^2 – 4\cdot a \cdot c}} \] \[\Delta = {(-5)^2 – 4\cdot 1\cdot (-14)}\] \[\Delta = 25 + 56 \] \[\Delta = 81\] O discriminante é positivo e portanto teremos duas raízes reais e diferentes que tornarão a expressão igual a zero. Calculando as raízes \[\bbox[grey,5px,border:2px solid red]{\color{maroon}{ x = {{-b\pm\sqrt \Delta}\over{2a}}}} \] \[ x = {{-(-5)\pm\sqrt{81}}\over {2\cdot 1}} \] \[x= {{5\pm 9}\over 2}\] \[x’ = {{5 + 9}\over 2} = {14\over 2} = 7\] \[ x” = {{5 – 9}\over 2} = {-4\over 2} = -2\]
Temos pois para valores que anulam a expressão em $x$ os números $-2 $ e $7$. Vejamos como fica o comportamento na Reta Real.
\[\underbrace{\color{navy}{-\infty\leftarrow =========}}{-2}\circ\underbrace{————-}{7}\circ\underbrace{\color{navy}{============\rightarrow\infty}}\]
Vimos que para valores externos das raízes, isto é, nesse caso para $x \lt -2$ ou $x \gt 7$ a expressão terá o mesmo sinal do coeficiente $a$ na inequação em sua forma original, sem simplificação. Vimos acima que $a = -5$ ou seja $ a \lt 0$, o que nos leva à conclusão de que o sinal será negativo para esses valores. Já para os valores compreendidos entre $ -2 $ e $7$, a expressão terá o sinal contrário de $a$, portanto positivo. Assim deduzimos que o conjunto verdade dessa inequação é dado por: \[\bbox[silver, 5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{ V = \{ x \in R | x \lt -2 \vee x \gt 7\}}} \]
b)$\color{navy}{ 3x^2 + 15x -72 \ge 0}$
Identificamos os coeficientes $ a = 3$, $b = 15$ e $c = -72$. Observando esses valores, percebemos que é possível simplificar a expressão, dividindo todos os termos por $3$, o que nos dá \[\frac{3x^2}{3} +\frac{15x}{3} – \frac{-72}{3} \] \[ x^2 + 5x – 24 \ge 0\] Temos agora os novos coeficientes $ a= 1$, $b = 5 $ e $c = -24$. Vamos determinar o discriminante. \[\bbox[yellow,5px,border:2px solid brown]{\color{maroon}{\Delta = b^2 – 4\cdot a \cdot c}} \] \[ \Delta = 5^2 – 4\cdot 1\cdot {-24} \] \[\Delta = 25 + 96 \] \[\Delta = 121\] Temos novamente $\Delta \gt 0$ e em consequência duas raízes reais e diferentes.
\[\bbox[lime,5px,border:2px solid brown]{\color{maroon}{ x = {{-b\pm\sqrt \Delta}\over{2a}}}} \] \[x = {{- 5\pm\sqrt{121}}\over{2\cdot 1}}\] \[x= {{-5\pm{11}}\over 2}\] \[x’ = {{-5 + 11}\over 2} = {6\over 2} = 3 \] \[x” = {{-5 – 11}\over 2} ={-16\over 2} = -8\] Lançando esses valores na Reta Real, fica:
\[\underbrace{\color{lime}{-\infty\leftarrow ============(-8)\bullet}}\underbrace{———-}\underbrace{\color{lime}{3\bullet============\rightarrow\infty}}\]
As raízes $-8$ e $ 3$ anulam a expressão, enquanto os valores externos tornam a expressão positiva, por ter no mesmo sinal de $a$. Os valores internos tornarão a expressão negativa, que é o sinal contrário de $a$. Como a inequação é $\ge 0$, o conjunto verdade será também dado por:
\[\bbox[silver,5px,border: 2px solid blue]{\color{navy}{V=\{ x \in R| x\le -8 \vee x \ge 3\}}} \]
c)$\color{blue} {x^2 -13x + 42 \le 0}$
Os coeficientes numéricos são $a=1$, $b= -13$ e $c = 42$. Notamos que agora não há simplificação a ser feita, pois o coeficiente $a =1$ e a expressão está na sua forma mais simples. Vejamos o discriminante:\[\bbox[yellow,5px,border:2px red solid]{\color{maroon}{\Delta = b^2 – 4\cdot a \cdot c}} \] \[\Delta=(-13)^2 – 4\cdot 1\cdot 42 = 169 – 168 = 1\] Temos então que $\Delta \gt 0$ e novamente as raízes são reais e diferentes. \[\bbox[lime,5px,border:2px solid red]{\color{maroon}{ x = {{-b\pm\sqrt \Delta}\over{2a}}}} \] \[x={{-(-13\pm\sqrt{1}}\over{2\cdot 1}}\] \[x = {{13\pm 1}\over 2}\] \[x’= {{13 + 1}\over2} = {14\over 2} = 7\] \[x”={{13 – 1}\over 2} = {12\over 2} = 6 \] Lançando os valores $6$ e $7$ na Reta Real, teremos:
\[\underbrace{-\infty\leftarrow —————-}\underbrace{\color{lime}{6\bullet========7\bullet}}\underbrace{———————-\rightarrow\infty}\]
Para valores de $x$ a esquerda de $6$ ou a direita de $7$, a expressão será positiva, isto é, o mesmo sinal de $a$, que é positivo. Para valores internos do intervalo $6$ e $7$, a expressão será negativa, o sinal contrário de $a$. Assim sendo, a desigualdade da inequação é $\le$, o conjunto verdade será formado pelos números entre $6$ e $7$, inclusive.
\[\bbox[silver, 5px, border:2px solid blue]{\color{navy}{V = \{x \in R| 6 \le x \le 7\}}}\]
d)$\color{blue}{ 3x^2 – 18x + 72 \gt 0} $
Notamos que é possível simplificar a expressão, pois todos os coeficientes são múltiplos de $3$. Então \[\frac{3x^2}{3} – \frac{18x}{3} + \frac{72}{3} \] \[ x^2 – 6x + 24 \gt 0\]
Agora os nossos coeficientes são $a = 1$, $b = -6$ e $c = 24$. Vamos ao discriminante.
\[\bbox[yellow,5px,border:2px red solid]{\color{maroon}{\Delta = b^2 – 4\cdot a \cdot c}} \] \[ \Delta = {(-6)^2}\cdot 1\cdot {24} = 36 – 96 = -60\] Consequentemente constatamos que $\Delta \lt 0$, o que nos leva a conclusão de que nenhum número real tornará a expressão igual a zero. Como fica a inequação? Não temos ponto de referência para dizer que a expressão será positiva ou negativa para esse ou aquele valor. Vamos escolher três valores, sendo um negativo, o próprio zero e um positivo, substituindo e verificando o resultado. Sejam esses números $-3$, $0$ e $5$.
Para $x = -3$, teremos \[3x^2 -18x + 72 \gt 0\] \[ 3\cdot (-3)^2 – 18\cdot{(-3)} + 72 \gt 0\] \[{3\cdot 9} + 54 + 72 \gt 0 \] \[ 27 + 54 + 72 \gt 0\] \[ 153 \gt 0\] Esta sentença é verdadeira.
Para $x = 0$, teremos \[3\cdot 0 – 18\cdot 0 + 72 \gt 0\] \[ 0 + 0 + 72 \gt 0\] \[ 72 \gt 0\] Esta sentença é verdadeira.
Para $x = 5$, teremos \[3\cdot 5^2 – 18\cdot 5 + 72 \gt 0\] \[ 3\cdot 25 – 90 + 72 \gt 0\] \[75 – 90 + 72 \gt 0\] \[147 – 90 \gt 0\] \[ 57 \gt 0\] Sentença verdadeira.
Vamos escolher mais um número negativo e dois positivos, para sanar qualquer dúvida. $-5$, $2$ e $7$.
Para $x=-5$, teremos \[3\cdot (-5)^2 – 18\cdot(- 5) + 72 \gt 0\] \[3\cdot 25 + 90 + 72 \gt 0\] \[75 +90 + 72 \gt 0\] \[ 237 \gt 0\] Sentença verdadeira.
Para $x = 2$, teremos \[3\cdot 2^2 – 18\cdot 2 + 72 \gt 0 \] \[3\cdot 4 – 54 + 72 \gt 0\] \[ 12 – 54 + 72 \gt 0\] \[30 \gt 0\] Sentença verdadeira.
Para $x = 7$, teremos \[3\cdot 7^2 – 18\cdot 7 + 72 \gt 0\] \[3\cdot 49 – 126 + 72 \gt 0\] \[147 – 126 + 72 \gt 0 \] \[93 \gt 0\] Sentença verdadeira.
Fica evidenciado que para qualquer número real colocado no lugar de $x$ nessa inequação, o resultado é uma sentença verdadeira. Podemos concluir que o conjunto verdade é então o próprio conjunto dos números reais.
\[\bbox[silver,5px,border:2px solid blue]{\color{navy}{ V = R}}\]
Se a mesma inequação tivesse o sinal de desigualdade $\lt $ no lugar de $\gt$, essas sentenças todas seriam falsas e portanto o conjunto verdade da inequação seria um conjunto vazio. Assim
\[3x^2 – 18x + 72 \lt 0\] \[\bbox[silver,5px,border:2px solid blue]{\color{navy}{ V = \emptyset}}\] O mesmo aconteceria se tivéssemos os sinais de desigualdade $\ge$ ou $\le$, uma vez que teríamos a conjunção alternativa $\vee$, que tornaria as sentenças igualmente verdadeiras. É interessante notar que nestes casos o sinal da expressão é sempre igual ao sinal de $a$. Se $a\lt 0$, a expressão será sempre negativa, para qualquer número $x \in R$. Se $a \gt 0$, a expressão será positiva para qualquer valor de $x \in R$.
Agora é a sua vez de praticar. Analise os sinais das inequações e determine o conjunto verdade em cada caso.
a) $\color{navy}{x^2 – 17x + 70 \le 0}$
b) $\color{navy}{2x^2 + 4x – 48 \ge 0}$
c) $\color{navy}{ x^2 – 5x – 36 \gt 0} $
d)$\color{navy}{ 3x^2 – 108 \lt 0}$
e) $\color{navy}{5x^2 – 35x \lt 0}$
f)$\color{navy}{ 4x^2 – 12x + 44 \gt 0}$
g) $\color{navy}{5x^2 + 110 \ge 3x^2 + 14x} $
h)$\color{navy}{ 6x^2 + 54 \le 0} $
i) $\color{navy}{4x -9 \gt x^2 }$
j) $\color{navy}{x^2 – 19x + 88 \lt 0}$
l) $\color{navy}{ 7x^2 + 28x \gt 0}$
m) $\color{navy}{{\frac{2}{3}}x^2 -\frac{3}{5} \le 0} $
Obs.: Se tiver dúvida sobre a resolução de algum desses exercícios, faça contato comigo. Estes eu não vou resolver logo em seguida. Legal? Procure se virar nos trinta, meu!
Curitiba, 10 de junho de 2016
Revisado e republicado em 11 de janeiro de 2017.
Décio Adams
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Bem, já sabemos o que é uma inequação, não é? Por que complicou?
Continue lendo “01.063 – Matemática, Álgebra. Inequações do 2º Grau.”
Observamos que há termos com a variável $x$ tanto no primeiro como no segundo membro da inequação. Igualmente termos independentes da variável. Para obtermos a solução precisamos deixar a variável no primeiro membro e os termos independentes no segundo. Isso fazemos adicionando os simétricos em ambos os lados. Assim:
\[{4x – 7} \lt {2x + 1} \]
\[ \underbrace{\color{blue}{( 4x – 2x)}} +\underbrace{\color{maroon}{ (- 7 + 7) }} \lt \underbrace{\color{blue}{ (2x – 2x)}} + \underbrace{\color{maroon}{( + 1 + 7) }} \]
\[2x + 0 \lt 0 + 8 \] \[{ 2x } \lt { + 8} \]
Para concluir, vamos dividir ambos os membros pelo fator $2$, o que nos deixará a variável $x$ isolada no primeiro membro da inequação. Não há necessidade de mudança de sentido, pois ambos os termos são positivos.
\[ \frac{2x}{2} \lt \frac{+8}{2} \]
\[ x \lt 4 \]
Portanto
\[\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy} {V} = \color{navy}{\{ x\in R | x \lt +4 \}}}\]
Vamos isolar $x$ no primeiro membro, adicionando $ – 11$ aos dois membros da inequação.
\[\overbrace{\color{maroon}{ (11 – 11)}} + 3x \gt \overbrace{\color{maroon}{ (-8 -11)}} \] \[ 0 + 3x \gt – 19 \] \[ {3x} \gt {- 19} \]
Dividindo ambos os membros por $3$, iremos isolar $x$ no primeiro membro.
\[ \frac{ (3x) }{ 3 } \gt \frac { (-19) }{ 3 } \] \[x \gt {(-19/3)} \]
\[\bbox[4px,border:2px solid brown]{\color{navy} { V = \left\{ x \in R | x \gt \left(-\frac {19}{3}\right)\right \}}} \]
Temos que adicionar $\color{brown}{+6}$ e $\color{brown}{-3x}$ a ambos os membros da inequação, para isolar a variável $\color{brown}{x}$ no primeiro membro.
\[ \underbrace{\color{maroon}{ (- 6 + 6)}} +\underbrace{\color{blue}{(2x – 3x)}} \ge \underbrace{\color{blue}{(3x – 3x)}} + \underbrace{\color{maroon}{(1 +6)}}\]
\[ 0 – x \ge 0 + 7 \] \[ {-x} \ge 7 \]
Multiplicamos por $\color{brown}{ -1}$ para deixar $\color{brown}{x}$ com sinal positivo, invertendo dessa maneira a desigualdade.
\[{-x}\cdot {(-1)} \ge {+7}\cdot {(-1)}\] \[ x \le (-7) \]
\[\bbox[4px,border:2px solid brown]{\color{navy}{V = \{ x \in R | x \le (-7) \}}}\]
Para trazermos a variável para o primeiro membro, adicionamos seu simétrico $\color{brown}{3x}$, bem como o simétrico $\color{brown}{-6}$ do termo independente. Obtemos assim:
\[ \underbrace{\color{maroon}{(6 – 6)}} + 3x \le \underbrace{\color{maroon}{ (5 – 6)}} + \underbrace{\color{blue}{(-3x + 3x)}} \]
\[ 0 + 3x \le -1 + 0 \] \[ 3x \le -1 \]
Dividindo por $\color{brown}{3}$ ambos os membros, temos:
\[ \frac{3x}{3} \le \frac{(-1)}{3} \]
\[ x \le \left(-{\frac{1}{3}}\right) \]
\[\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{ V = \left\{ x \in R | x \le \left({-\frac{1}{3}}\right) \right\}}} \]
Adicionando a ambos os membros da inequação os simétricos $\color{brown}{ -4}$ e $\color{brown}{+y}$, teremos:
\[ \underbrace{\color{blue}{(3y + y) }} + \underbrace{\color{maroon}{(4 – 4)}} \le \underbrace{\color{maroon}{(7 – 4)}} + \underbrace{\color{blue}{(-y + y)}} \]
\[ 4y + 0 \le 3 + 0 \]
\[ 4y \le 3 \]
Dividindo ambos os membros por $\color{brown}{4}$, teremos:
\[ \frac{4y}{4} \le \frac{3}{4} \]
\[ y \le \left(\frac{3}{4}\right) \]
\[\bbox[4px,border:2px solid brown]{\color{navy}{ V = \left\{ x \in R | x \le \left({\frac{3}{4}}\right)\right\}}}\]
Começamos por adicionar aos dois membros os simétricos $\color{brown}{-x}$ e $\color{brown}{-15}$.
\[\underbrace{\color{maroon}{(15 – 15)}} + \underbrace{\color{blue}{(-4x – x)}} \lt \underbrace{\color{maroon}{(11 – 15)}} + \underbrace{\color{blue}{(x – x)}} \]
\[ 0 – 5x \lt -4 + 0 \] \[ -5x \lt -4 \]
Dividindo ambos os membros por $\color{brown}{-5}$, isolamos $\color{brown}{x}$ e invertemos a desigualdade de $\color{brown}{\lt}$ para $\color{brown}{\gt}$.
\[\frac{-5x}{-5} \lt \frac{-4}{-5} \] \[ x \gt \left(\frac{4}{5}\right) \]
\[\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{ V = \left\{ x \in R | x \gt \left(\frac{4}{5}\right) \right\}}}\]
Para isolarmos $\color{brown}{x}$ no primeiro membro, temos que adicionar aos dois os simétricos de $\color{brown}{4x}$ e $\color{brown}{5}$, ficando assim:
\[\underbrace{\color{blue}{6x -4x}} + \underbrace{\color{maron}{ 5 – 5}} \gt \underbrace{\color{blue}{4x – 4x}} + \underbrace{\color{maroon}{(-7 – 5)}} \]
\[ 2x + 0 \gt 0 – 12 \] \[ 2x \gt -12 \]
Dividimos por $\color{brown}{2}$ ambos os membros e teremos:
\[ \frac{2x}{2} \gt \frac{-12}{2} \] \[ x \gt -6 \]
\[\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{ V = \{ x \in R | x \gt – 6 \}}} \]
Adicionando $\color{brown}{-2}$ e $\color{brown}{-6x}$ aos dois membros isolamos $\color{brown}{x}$ no primeiro membro.
\[ \underbrace{\color{maroon}{ 2 – 2}} + \underbrace{\color{blue}{7x – 6x}} \gt \underbrace{\color{blue}{6x – 6x}} + \underbrace{\color{maroon}{4 – 2}} \]
\[ 0 + x \gt 0 + 2 \]
\[ x \gt 2 \]
\[\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{ V = \{ x \in R| x \gt 2\}}} \]
Curitiba, 02 de junho de 2016
Curitiba, 07 de janeiro de 2018 (Republicação)
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Lembremos que uma equação é uma igualdade, entre duas quantidades, representadas por números, letras e expressões de letras com números. O prefixo in é uma negação. Assim a palavra inequação, poderíamos dizer, que é a negação de uma equação. Em outras palavras é uma desigualdade. Existem alguns símbolos que usamos para indicar essas desigualdades como:
Em determinados momentos, todos esses símbolos podem aparecer em uma expressão matemática. No caso presente, estudo das inequações, iremos usar principalmente os quatro primeiros. Vejamos alguns exemplos:
Curitiba, 21 de maio de 2016.
Curitiba, 07 de janeiro de 2018 (Revisto e republicado)
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a) $$ 3x – 2y = 10 $$ $$ x + y = 13 $$ O caminho mais fácil é exprimir o valor de uma das incógnitas em função da outra, partindo da segunda equação. $$ x + y = 13$$ $$ x – x + y = 13 – x $$ $$ y = 13 – x $$ Substituindo da outra equação, teremos: $$ 3x – 2\cdot{(13 – x)} = 10 $$ $$ 3x -26 + 2x = 10 $$ $$ (3x + 2x) – 26 + 26 = 10 + 26 $$ $$ 5x = 36 $$ $$ {{5x}\over 5} = {{36}\over 5} $$ $$ x = 7,2$$ Substituindo na outra expressão: $$ y = 13 – 7,2 $$ $$ x = 5,8 $$ $$ V = \{(5,8; 7,2)\} $$
Continue lendo “01.060 – Matemática, Álgebra. Sistemas de equações com duas incógnitas. Exercícios.”
Até o último post falando de equações, vimos somente situações em que aparece apenas uma incógnita. E se nos depararmos com um problema em que haja duas incógnitas, como iremos proceder?
Com as ferramentas, ou seja, métodos de resolução vistos até agora, fica complicado. No entanto existem modos de chegarmos a uma resposta satisfatória. Depende das informações que tivermos a respeito dessas incógnitas. Geralmente é necessário saber de duas relações entre essas elas. Isso nos permitirá escrever duas equações envolvendo essas incógnitas e assim formaremos um sistema de duas equações. De posse dessas duas equações, aplicando o raciocínio adequado, poderemos determinar o valor das incógnitas. Nesse raciocínio iremos utilizar as propriedades que estudamos anteriormente para as operações, as expressões algébricas, enfim tudo que vimos até o momento.
Continue lendo “01.059 – Matemática, Álgebra. Sistemas de equações com duas incógnitas.”
Determine o conjunto verdade das equações incompletas do segundo grau que seguem.
a) $ 6x² = 0 $
Um produto é nulo se um dos fatores é nulo. No caso, temos dois fatores onde um é igual a seis (6) e o outro $ x^2$. O único fator que pode ser nulo é o segundo e portanto:
$ x^2 = 0 $
$ x = 0 $
$ V = \{0\} $
b) $ x² – 16 = 0 $
Podemos aplicar o método abreviado ou reduzido na resolução dessa equação. Assim:
$ x^2 – 16 = 0 $
${x^2 – 16 +16 = 0 + 16}$
$ x^2 = 16 $
$\sqrt[2]{x^2} = \sqrt[2]{16} $
$ x = \pm {4 } $
$ V = \{ – 4, + 4\} $
c) $ 5x² – 125 = 0 $
O mesmo caso do exercício anterior.
$ 5x^2 – 125 = 0 $
$ 5x^2 – 125 + 125 = 0 + 125 $
$ 5x^2 = 125 $
$ {{5x^2}\over 5} = {125\over {5}} $
$ x^2 = 25 $
$\sqrt[2]{x^2} = \sqrt[2]{25} $
$x = \pm 5 $
$ V = \{ -5, + 5\} $
d) $ 2x² + 10x = 0$
Esta é uma equação incompleta do tipo em que o termo independente c é nulo. O procedimento agora é diferente, como vimos na parte explicativa.
$ 2x^2 + 10x = 0 $
Entre os dois termos da equação existe um fator comum
$ 2x $
Vamos colocar em evidência esse fator comum, dividindo os dois membros por esse mesmo fator.
$ {2x} [{{2x^2 + 10x)}\over 2x}] = 0 $
$ 2x{(x + 5)} = 0 $
Para concluir, vamos igualar os dois fatores a zero e obter as duas raízes correspondentes.
$ 2x = 0 $
${2x\over 2} = {0\over 2}$
$ x = 0$
$ x + 5 = 0 $
$ x + 5 – 5 = 0 – 5 $
$ x = -5 $
$ V = \{-5, 0\} $
e) $ 7x² – 49x = 0$
O mesmo caso anterior. O fator comum entre os dois termos da equação é
$ 7x $
Colocando em evidência:
${7x}\cdot[{{7x^2 – 49x}\over 7x}] = 0 $
$ 7x[ x – 7] = 0 $
Igualando os dois fatores a zero temos:
$ 7x = 0 $
${7x\over 7} = {0\over 7}$
$ x = 0$
$ x – 7 = 0 $
$ x – 7 + 7 = 0 + 7 $
$ x = 7 $
$ V = \{0, 7\} $
f) $ x² + 4x = 0 $
Fator comum entre os dois termos $ x $. Colocando em evidência:
$ x\cdot[{{x^2 + 4x}\over x}] = 0 $
$ x\cdot [x + 4] = 0 $
Igualando os fatores à zero, teremos:
$ x = 0$
$ x + 4 = 0 $
$ x + 4 – 4 = 0 – 4$
$ x = -4$
$ V = \{-4, 0\} $
g) $ 3x² + 18x = 0$
Mais um do mesmo tipo. Fator comum é $ 3x $ Colocamos em evidência:
${3x}\cdot({{3x^2 + 18x}\over {3x}}) = 0 $
$ 3x\cdot({x + 6}) = 0 $
$ 3x = 0 $
$ x = 0 $
$ x + 6 = 0 $
$ x + 6 – 6 = 0 – 6$
$ x = -6 $
$V = \{-6, 0\} $
h) $ 2x² + 12 = 0$
Voltamos ao exemplo visto primeiro. Vamos resolver.
$2x^2 + 12 – 12 = 0 -12 $
$2x^2 = -12 $
${{2x^2}\over 2} = {-12\over 2} $
$ x^2 = -6 $
${ \sqrt[2]{x^2}} = {\sqrt[2]{-6}} $
$ {V = \emptyset} $
i) $ 10 x² – 90 = 0 $
Vamos resolver.
${ 10 x^2 – 90 + 90 = 0 + 90 }$
$ {10x^2 = 90 }$
$ {{10x^2}\over 10} = {{90}\over 10} $
${ x^2 = 9 }$
${\sqrt[2]{x^2} = \sqrt[2]{9} }$
$ x = \pm 3 $
$ V = \{-3, +3\} $
j) $ {3x^2 = 0 }$
Outro exemplo da equação que só tem o termo em $x^2$. Um produto só pode ser nulo se um dos fatores for nulo. Nesse caso, o fator que pode ser nulo é $x^2$. Portanto:
$ x^2 = 0 $
$\sqrt[2]{x^2} = \sqrt[2]{0}$
$ x = 0 $
$V = \{0\}$
l) ${10x^2 – 15x = 0}$
Estamos novamente com uma equação incompleta, onde falta o termo independente da variável, isto é, onde $x^0$. Temos um fator comum entre os dois termos restantes que é $5x$. Colocamos em evidência o fator comum, ficando:
${5x}\cdot[{{10x^2 – 15x}\over{5x}}] = 0 $
${5x[2x – 3] = 0} $
Igualando os dois fatores a zero, temos:
${5x = 0}$
$ x = 0$
${2x – 3 = 0}$
${2x = 3}$
${{2x}\over{2}} = {{3}\over {2}}$
${ x = 3/2 }$
$ V = \{0, 3/2\}$
m) ${7x^2 – 28 = 0}$
Nesta equação o termo inexistente é o que contem a variável $x^1$. Vamos pelo método abreviado:
${7x^2 – 28 = 0}$
$ {{7x^2 – 28}\over 7} = 0$
$ x^2 – 4 = 0$
${ x^2 = 4}$
${\sqrt[2]{x^2} = \sqrt[2]{4}}$
${ x = \pm{2}}$
$ { V = \{- 2, +2\}}$
n) ${3x^2 – 27 = 0 }$
O mesmo caso do anterior.
${3x^2 – 27} = 0$
${{3x^2 – 27}\over 3} = 0$
${x^2 – 9 = 0}$
${x^2 = 9}$
${\sqrt[2]{x^2} = \sqrt[2]{9}}$
${ x = \pm 3}$
$ V = \{-3, +3\} $
o) $ {5x^2 + 25 = 0}$
Vamos ver como fica esse.
${5x^2 + 25 = 0}$
${{5x^2 + 25}\over 5} = 0$
$ {x^2 + 5 = 0} $
$ x^5 = -5 $
$ \sqrt[2]{x^2} = \sqrt[2]{-5} $
$ \sqrt[2]{-5} ∉ R $
Por isso
${V = \emptyset }$
Curitiba, 13 de maio de 2016.
Republicado em 27 de dezembro de 2017.
Décio Adams
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