Categoria: Produtos notáveis

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046.6 – Matemática, álgebra. Produtos notáveis. Exercícios quadrado da soma pela diferença.

Quadrado da soma multiplicado pela diferença de dois números

Chegou o momento de usar as regras mais avançadas. Multiplique os quadrados das somas pelas diferenças dos mesmos números, usando a regra vista no post anterior.

a) $\underset{⏟}{(a x + b y)^{2}} \cdot \overset{⏞}{(a x - b y)}$

b) $\underset{⏟}{(5 + 3 x)^{2}} \cdot \overset{⏞}{(5 - 3 x)}$

c) $\underset{⏟}{(4 n + m^{2})^{2}} \cdot \overset{⏞}{(4 n - m)}$

d) $\underset{⏟}{(5 a + 3 b)^{2}} \cdot \overset{⏞}{(5 a - 3 b)}$

e) $\underset{⏟}{(7 x + 2 y)^{2}} \cdot \overset{⏞}{(7 x - 2 y)}$

f) $\underset{⏟}{(10 + 3 v)^{2}} \cdot \overset{⏞}{(10 - 3 v)}$

g) $\underset{⏟}{(p x + q y)^{2}} \cdot \overset{⏞}{(p x - q y)}$

a) $\underset{⏟}{(a x + b y)^{2}} \cdot \overset{⏞}{(a x - b y)}$ $\underset{⏟}{(a x)^{3}} + \overset{⏞}{(a x)^{2} \cdot (b y)} - \underset{⏟}{(a x) \cdot {(b y)}^{2}} - \overset{⏞}{(b y)^{3}}$

$\underset{⏟}{a^{3} x^{3}} + \overset{⏞}{a^{2} b x^{2} y} - \underset{⏟}{a b^{2} x y^{2}} - \overset{⏞}{(b y)^{3}}$

$a^{3} x^{3} + a^{2} b x^{2} y - a b^{2} x y^{2} - b^{3} y^{3}$

b) $\underset{⏟}{(5 + 3 x)^{2}} \cdot \overset{⏞}{(5 - 3 x)}$

$\underset{⏟}{5^{3}} + \overset{⏞}{5^{2} \cdot 3 x} - \underset{⏟}{5 \cdot {(3 x)}^{2}} - \overset{⏞}{(3 x)^{3}}$

$125 + 75 x - 45 x^{2} - 27 x^{3}$

c) $\underset{⏟}{(4 n + m^{2})^{2}} \cdot \overset{⏞}{(4 n - m^{2})}$

$\underset{⏟}{(4 n)^{3}} + \overset{⏞}{(4 n)^{2} \cdot (m^{2})} - \underset{⏟}{4 n \cdot {(m^{2})}^{2}} - \overset{⏞}{(m^{2})^{3}}$

$64 n^{3} + 16 n^{2} m^{2} - 4 n m^{4} - m^{6}$

d) $\underset{⏟}{(5 a + 3 b)^{2}} \cdot \overset{⏞}{(5 a - 3 b)}$

$\underset{⏟}{(5 a)^{3}} + \overset{⏞}{(5 a)^{2} \cdot (3 b)} - \underset{⏟}{5 a \cdot (3 b)^{2}} - \overset{⏞}{(3 b)^{3}}$

$125 a^{3} + 75 a^{2} b - 45 a b^{2} - 27 b^{3}$

e) $\underset{⏟}{(7 x + 2 y)^{2}} \cdot \overset{⏞}{(7 x - 2 y)}$

$\underset{⏟}{(7 x)^{3}} + \overset{⏞}{(7 x)^{2} \cdot (2 y)} - \underset{⏟}{7 x \cdot (2 y)^{2}} - \overset{⏞}{(2 y)^{3}}$

$343 x^{3} + 98 x^{2} y - 28 x y^{2} - 8 y^{3}$

f) $\underset{⏟}{(10 + 3 v)^{2}} \cdot \overset{⏞}{(10 - 3 v)}$

$\underset{⏟}{(10)^{3}} + \overset{⏞}{(10)^{2} \cdot (3 v)} - \underset{⏟}{10 \cdot {(3 v)}^{2}} - \overset{⏞}{(3 v)^{3}}$

$1000 + 300 v - 90 v^{2} - 27 v^{3}$

g) $\underset{⏟}{(p x + q y)^{2}} \cdot \overset{⏞}{(p x - q y)}$

$\underset{⏟}{(p x)^{3}} + \overset{⏞}{{(p x)}^{2} \cdot (q y)} - \underset{⏟}{p x \cdot {(q y)}^{2}} - \overset{⏞}{(q y)^{3}}$

$p^{3} x^{3} + p^{2} q x^{2} y - p q^{2} x y^{2} - q^{3} y^{3}$

Uma coleção de exercícios para a prática do conteúdo, pelos leitores/estudantes. Na dúvida, consulte e exponha sua dificuldade para que eu possa ajudá-lo.

h) $\underset{⏟}{(2 u + 3 v)^{2}} \cdot \overset{⏞}{(2 u - 3 v)}$

i) $\underset{⏟}{(5 x + 4 y)^{2}} \cdot \overset{⏞}{5 x - 4 y)}$

j) $\underset{⏟}{(3 a + 7 b c)^{2}} \cdot \overset{⏞}{(3 a - 7 b c)}$

l) $\underset{⏟}{(1 + 9 m)^{2}} \cdot \overset{⏞}{(1 - 9 m)}$

m) $\underset{⏟}{(4 p + 6 q)^{2}} \cdot \overset{⏞}{(4 p - 6 q)}$

n) $\underset{⏟}{(7 x + 3 y)^{2}} \cdot \overset{⏞}{7 x - 3 y)}$

Curitiba, 25 de junho de 2018

Décio Adams

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046.5 – Matemática, álgebra. Produtos notáveis. Exercícios sobre cubo da diferença de dois números.

Cubo da diferença

Vamos fazer o mesmo com a regra do cubo da diferença. a) $\underset{⏟}{{(4 m - 2)}^{3}}$

b) $\underset{⏟}{{(3 x - 5 y)}^{3}}$

c) $\underset{⏟}{{(9 - 5 a)}^{3}}$

d) $\underset{⏟}{{(5 - 4 x)}^{3}}$

e) $\underset{⏟}{{(10 - 5 c)}^{3}}$

f) $\underset{⏟}{{(3 a b - x)}^{3}}$

g) $\underset{⏟}{(p q^{2} - r q)^{3}}$

a) $\underset{⏟}{{(4 m - 2)}^{3}}$

$\underset{⏟}{{(4 m)}^{3}} - \overset{⏞}{3 \cdot (4 m)^{2} \cdot 2} + \underset{⏟}{3 \cdot (4 m) \cdot 2^{2}} - \overset{⏞}{2^{3}}$

$64 m^{3} - 96 m^{2} + 48 m - 8$

b) $\underset{⏟}{{(3 x - 5 y)}^{3}}$

$\underset{⏟}{(3 x)^{3}} - \overset{⏞}{3 \cdot (3 x)^{2} \cdot (5 y)} + \underset{⏟}{3 \cdot (3 x) \cdot (5 y)^{2}} - \overset{⏞}{{(5 y)}^{3}}$

$27 x^{3} - 135 x^{2} y + 225 x y^{2} - 125 y^{3}$

c) $\underset{⏟}{{(9 - 5 a)}^{3}}$

$\underset{⏟}{(9)^{3}} - \overset{⏞}{3 \cdot (9)^{2} \cdot (5 a)} + \underset{⏟}{3 \cdot 9 \cdot (5 a)^{2}} - \overset{⏞}{(5 a)^{3}}$

$729 - 1215 a + 675 a^{2} - 125 a^{3}$

d) $\underset{⏟}{{(5 - 4 x)}^{3}}$

$\underset{⏟}{5^{3}} - \overset{⏞}{3 \cdot 5^{2} \cdot (4 x)} + \underset{⏟}{3 \cdot 5 \cdot (4 x)^{2}} - \overset{⏞}{{(4 x)}^{3}}$

$125 - 300 x + 120 x^{2} - 64 x^{3}$

e) $\underset{⏟}{{(10 - 5 c)}^{3}}$

$\underset{⏟}{10^{3}} - \overset{⏞}{3 \cdot (5)^{2} \cdot (5 c)} + \underset{⏟}{3 \cdot 10 \cdot {(5 c)}^{2}} - \overset{⏞}{{(5 c)}^{3}}$

$1000 - 375 c + 750 c^{2} - 125 c^{3}$

f) $\underset{⏟}{{(3 a b - x)}^{3}}$

$\underset{⏟}{{(3 a b)}^{3}} - \overset{⏞}{3 \cdot {(3 a b)}^{2} \cdot x} + \underset{⏟}{3 \cdot (3 a b) \cdot x^{2}} - \overset{⏞}{x^{3}}$

$27 a^{3} b^{3} - 27 a^{2} b^{2} x + 9 a b x^{2} - x^{3}$

g) $\underset{⏟}{{(p q^{2} - r q)}^{3}}$

$\underset{⏟}{{(p q^{2})}^{3}} - \overset{⏞}{3 \cdot {(p q^{2})}^{2} \cdot r q} + \underset{⏟}{3 \cdot (p q^{2}) \cdot {(r q)}^{2}} - \overset{⏞}{{(r q)}^{3}}$

$p^{3} q^{6} - 3 p^{2} q^{5} r + 3 p q^{4} r^{2} - q^{3} r^{3}$

Exercícios para você leitor treinar sua habilidade. Em caso de dúvida, não perca tempo. Faça contato e exponha sua dificuldade. Estou à disposição para ajudar.

h) $\underset{⏟}{(7 x - 5 y z)^{3}} = ?$

i) $\underset{⏟}{(m n - r)^{3}} = ?$

j) $\underset{⏟}{(3 a - 2 b c)^{4}} = ?$

l) $\underset{⏟}{(u - v x)^{3}} = ?$

m) $\underset{⏟}{(6 f - 2 h)^{3}} = ?$

n) $\underset{⏟}{(5 z - 3 y)^{3}} = ?$

o) $\underset{⏟}{(4 x - 7 y)^{3}} = ?$

Curitiba, 26 de junho de 2018

Décio Adams

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046.4 – Matemática, álgebra. Produtos notáveis. Exercícios cubo da soma.

Cubo da soma de dois números

Use agora a regra do cubo da soma de dois números para obter os polinômios de quatro termos resultantes das expressões abaixo.

a) $\underset{⏟}{{(7 + 2 j)}^{3}}$

b) $\underset{⏟}{{(x + 3 y z)}^{3}}$

c) $\underset{⏟}{{(4 f + 5 m)}^{3}}$

d) $\underset{⏟}{{(m a + n b)}^{3}}$

e) $\underset{⏟}{{(11 + 4 r)}^{3}}$

a) $\underset{⏟}{{(7 + 2 j)}^{3}}$

$\underset{⏟}{7^{3}} + \overset{⏞}{3 \cdot 7^{2} \cdot 2 j} + \underset{⏟}{3 \cdot 7 \cdot {(2 j)}^{2}} + \overset{⏞}{(2 j)^{3}}$

$343 + 294 j + 84 j^{2} + 8 j^{3}$

b) $\underset{⏟}{{(x + 3 y z)}^{3}}$

$\underset{⏟}{x^{3}} + \overset{⏞}{3 \cdot x^{2} \cdot (3 y z)} + \underset{⏟}{3 \cdot x \cdot {(3 y z)}^{2}} + \overset{⏞}{{(3 y z)}^{3}}$

$x^{3} + 9 x^{2} y z + 27 x y^{2} z^{2} + 27 y^{3} z^{3}$

c) $\underset{⏟}{{(4 f + 5 m)}^{3}}$

$\underset{⏟}{{(4 f)}^{3}} + \overset{⏞}{3 \cdot {4 f}^{2} \cdot (5 m)} + \underset{⏟}{3 \cdot (4 f) \cdot {(5 m)}^{2}} + \overset{⏞}{{(5 m)}^{3}}$

$64 f^{3} + 240 f^{2} m + 125 m^{3}$

d) $\underset{⏟}{{(m a + n b)}^{3}}$

$\underset{⏟}{(m a)^{3}} + \overset{⏞}{3 \cdot {(m a)}^{2} \cdot (n b)} + \underset{⏟}{3 \cdot (m a) \cdot {(n b)}^{2}} + \overset{⏞}{{(n b)}^{3}}$

$m^{3} a^{3} + 3 m^{2} n a^{2} b + 3 m n^{2} a b^{2} + n^{3} b^{3}$

e) $\underset{⏟}{{(11 + 4 r)}^{3}}$

$\underset{⏟}{11^{3}} + \overset{⏞}{3 \cdot 11^{2} \cdot (4 r)} + \underset{⏟}{3 \cdot 11 \cdot {(4 r)}^{2}} + \overset{⏞}{{(4 r)}^{3}}$

$1331 + 1452 r + 528 r^{2} + 64 r^{3}$

Exercícios para você treinar. Não perca tempo. Dúvidas, entre em contato e peça esclarecimentos.

f) $\underset{⏟}{(3 a + 2 b)^{3}} = ?$

g) $\underset{⏟}{(5 + x y)^{3}} = ?$

h) $\underset{⏟}{(10 m + 7 n)^{3}} = ?$

i) $\underset{⏟}{(1 + 3 n^{2})^{3}} = ?$

j) $\underset{⏟}{6 v + 2 z)^{3}} = ?$

l) $\underset{⏟}{8 r + 4 q)^{3}} = ?$

m) $\underset{⏟}{7 i + 3 j)^{3}} = ?$

Curitiba, 25 de junho de 2018

Décio Adams

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046.3 – Matemática, álgebra. Produtos Notáveis. Exercícios

Produto da soma de dois números, pela sua diferença.

Usando a regra do produto da soma de dois números pela sua diferença, obtenha os binômios resultantes das multiplicações abaixo.

a) $\underset{⏟}{(7 + 2 x) (7 - 2 x)}$

b) $\underset{⏟}{(5 - 3 y) (5 + 3 y)}$

c) $\underset{⏟}{(a b^{2} + b) (a b^{2} - b)}$

d) $\underset{⏟}{(x y + x z) (x y - x z)}$

e) $\underset{⏟}{(4 m - 3 n) (4 m + 3 n)}$

f) $\underset{⏟}{(7 x^{3} + 2 y^{2}) (7 x^{3} - 2 y^{2})}$

a) $\underset{⏟}{(7 + 2 x)} \overset{⏞}{(7 - 2 x)}$

$\underset{⏟}{7^{2} - {(2 x)}^{2}}$

$49 - 4 x^{2}$

b) $\underset{⏟}{(5 - 3 y)} \overset{⏞}{(5 + 3 y)}$

$\underset{⏟}{5^{2} - {(3 y)}^{2}}$

$25 - 9 y^{2}$

c) $\underset{⏟}{(a b^{2} + b)} \overset{⏞}{(a b^{2} - b)}$

$\underset{⏟}{{(a b^{2}}^{2} - b^{2}}$

$a^{2} b^{4} - b 2$

d) $\underset{⏟}{(x y + x z)} \overset{⏞}{(x y - x z)}$

$\underset{⏟}{{(x y)}^{2} - {(x z)}^{2}}$

$x^{2} y^{2} - x^{2} z^{2}$

e) $\underset{⏟}{(4 m - 3 n)} \overset{⏞}{(4 m + 3 n)}$

$\underset{⏟}{{(4 m)}^{2} - {(3 n)}^{2}}$

$16 m^{2} - 9 n^{2}$

f) $\underset{⏟}{(7 x^{3} + 2 y^{2})} \overset{⏞}{(7 x^{3} - 2 y^{2})}$

$\underset{⏟}{(7 x^{3})^{2} - (2 y^{2})^{2}}$

$49 x^{6} - 4 y^{4}$

Agora é a vez do leitor/estudante. Pratique na resolução dos produtos seguintes.

g) $\underset{⏟}{(6 + 2 x y) (6 - 2 x y)} = ?$

h) $\underset{⏟}{(4 x - 3 y) 94 x + 3 y)} = ?$

i) $\underset{⏟}{(a - b c) (a + b c)} = ?$

j) $\underset{⏟}{(m^{2} + 3 n) (m^{2} - 3 n)} = ?$

l) $\underset{⏟}{(u v - 5 z) (u v + 5 z)} = ?$

m) $\underset{⏟}{(2 p - 5 q) (2 p + 5 q)} = ?$

Em caso de dúvida, entre em contato para esclarecer.

Curitiba, 25 de junho de 2018

Décio Adams

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23 de junho de 201827 de maio de 2020

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046.2 – Matemática, álgebra. Exercícios de produtos notáveis. Quadrado da diferença de dois números.

Quadrado da diferença entre dois números.

Usando a regra do quadrado da diferença entre dois números, resolva as expressões abaixo.

a) ${(5 a - 2 b)}^{2}$

b) ${(a^{2} i - b^{3} j)}^{2}$

c) ${(2 v x - 3 u y)}^{2}$

d) ${(4 q^{3} - 6 p^{2})}^{2}$

e) ${(12 - 3 a^{3})}^{2}$

f) ${(15 - 3 x)}^{2}$

g) ${(7 x - 8 y)}^{2}$

Vamos à resolução.

a) $\underset{⏟}{(5 a - 2 b)^{2}}$

$\underset{⏟}{(5 a)^{2}} + \overset{⏞}{- 2 \cdot 5 a \cdot 2 b} + \underset{⏟}{(a b)^{2}}$

$25 a^{2} - 20 a b + 4 b^{2}$

b) $\underset{⏟}{(a^{2} i - b^{3} j)^{2}}$

$\underset{⏟}{[(a^{2}) i]^{2}} - \overset{⏞}{2 \cdot a^{2} i \cdot b^{3}} + {(b^{3})}^{2}$

$a^{4} i^{2} - 2 a^{2} b^{3} i + b^{6}$

c) $\underset{⏟}{(2 v x - 3 u y)^{2}}$

$(2 v x)^{2} - 2 \cdot (2 v x) \cdot (3 u y) + {(3 u y)}^{2}$

$4 v^{2} x^{2} - 12 u v x y + 9 u^{2} y^{2}$

d) $\underset{⏟}{(4 q^{3} - 6 p^{2})^{2}}$

$\underset{⏟}{(4 q^{3})^{2}} - \overset{⏞}{2 \cdot (4 q^{3}) \cdot (6 p^{2})} + \underset{⏟}{(6 p^{2})^{2}}$

$16 q^{6} - 48 q^{3} p^{2} + 36 p^{4}$

e) $\underset{⏟}{(12 - 3 a^{3})^{2}}$

$\underset{⏟}{(12)^{2}} - \overset{⏞}{2 \cdot 12 \cdot 3 a^{3}} + \underset{⏟}{(3 a^{3})^{2}}$

$144 - 72 a^{3} + 9 a^{6}$

f) $\underset{⏟}{(15 - 3 x)^{2}}$

$\underset{⏟}{(15)^{2}} - \overset{⏞}{2 \cdot 15 \cdot (3 x)} + \underset{⏟}{(3 x)^{2}}$

$225 - 90 x + 9 x^{2}$

g) $\underset{⏟}{(7 x - 8 y)^{2}}$

$\underset{⏟}{(7 x)^{2}} - \overset{⏞}{2 \cdot 7 x \cdot 8 y} + \underset{⏟}{(8 y)^{2}}$

$49 x^{2} - 112 x y + 64 y^{2}$

Resolva você estes que vem a seguir.

h) $(3 x - 5 y)^{2}$

i) $(5 - 8 x y)^{2}$

j) $(m n - 5 n)^{2}$

l) $(4 j - 6 n)^{2}$

m) $(f g - 5 h)^{2}$

n) ${(10 – 7p)^2$

o) $(12 - 9 r)^{2}$

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046.1 – Matemática, álgebra. Exercícios de produtos notáveis. Quadrado da soma.

Exercícios de produtos notáveis.

Quadrado da soma de dois números

Usando a regra do quadrado da soma de dois números, obtenha os trinômios quadrados perfeitos que resultam das expressões a seguir. a) ${(u v + z)}^{2}$ b) ${(5 m + r)}^{2}$ c) ${(7 + 2 p)}^{2}$ d) ${(a + 6 b)}^{2}$ e) ${(10 x^{2} + y^{2})}^{2}$ f) ${(m p^{3} + n r^{2})}^{2}$

Continue lendo “046.1 – Matemática, álgebra. Exercícios de produtos notáveis. Quadrado da soma.”

20 de junho de 201827 de maio de 2020

044.2 – Matemática, álgebra – Produtos notáveis; Quadrado da soma multiplicado pela diferença.

– Produto do quadrado da soma, pela diferença de dois números.

$\underset{⏟}{(a + b)^{2}} \cdot \overset{⏞}{(a - b)}$

Já sabemos que o quadrado da soma é um trinômio quadrado perfeito (trinômio soma). Podemos usar o resultado imediatamente.

$\underset{⏟}{(a^{2} + 2 a b + b^{2})} \overset{⏞}{(a - b)}$

$a a^{2} + a (2 a b) + a b^{2} + (- b) a^{2} + (- b) (2 a b) + (- b) b^{2}$

$a^{3} + 2 a^{2} b + a b^{2} - a^{2} b - 2 a b^{2} - b^{3}$

$a^{3} + \underset{⏟}{2 a^{2} b - a^{2} b} + \overset{⏞}{a b^{2} - 2 a b^{2}} - b^{3}$

$a^{3} + a^{2} b - a b^{2} - b^{3}$

Podemos enunciar a regra para obter o produto do quadrado de dois números pela sua diferença, como segue.

“O produto do quadrado de dois números, pela sua diferença é dado pelo cubo do primeiro termo, mais o quadrado do primeiro multiplicado pelo segundo, menos o primeiro multiplicado pelo quadrado do segundo, menos o cubo do segundo termo”.

Vamos tentar por em prática? Seja:

$\underset{⏟}{{(2 x + y)}^{2}} \cdot \overset{⏞}{(2 x - y)}$

$(4 x^{2} + 4 x y + y^{2}) (2 x - y)$

${(2 x)}^{3} + {(2 x)}^{2} y - 2 x y^{2} - y^{3}$

$8 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2} - y^{3}$

Vamos exercitar um pouco? Faz bem, não é verdade?!

a) $(3 x - y)^{2} (3 x + y) = ?$

b) $(6 - 2 z)^{2} (6 + 2 z) = ?$

c) $(a b - m)^{2} (a b + m) - ?$

d) $(5 n - 2 m)^{2} (5 n + m) = ?$

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044.3 – Matemática, álgebra – Produtos notáveis; Produto do quadrado da diferença pela soma de dois números.

– Produto do quadrado da diferença entre dois números pela sua soma.*

$\underset{⏟}{(a - b)^{2}} \cdot \overset{⏞}{(a + b)}$

O procedimento é semelhante ao anterior.

$\underset{⏟}{(a^{2} - 2 a b + b^{2})} \cdot \overset{⏞}{(a + b)}$

$a^{2} a + (- 2 a b) (a) + a b^{2} + a^{2} b + (- 2 a b) (b) + (b^{2}) b$

$a^{3} - 2 a^{2} b + a b^{2} + a^{2} b - 2 a b^{2} + b^{3}$

$a^{3} + \underset{⏟}{- 2 a^{2} b + a^{2} b} + \overset{⏞}{a b^{2} - 2 a b^{2}} + b^{3}$

$a^{3} - a^{2} b - a b^{2} + b^{3}$

“O produto entre o quadrado da diferença entre dois números e a sua soma, é igual ao cubo do primeiro termo, menos o produto entre o quadrado do primeiro e o segundo termo, menos o produto entre o primeiro termo e o quadrado do segundo, mais o cubo do segundo termo”.

Obs.: Para memorizar, fica bastante fácil. Basta observar que os termos são obtidos de mesmo modo, apenas há a diferença entre os sinais dos termos. Se conseguir criar um mecanismo que permita recordar essas sequências, terá meio caminho andado para lembrar dos enunciados.

Vamos por em prática.

$\underset{⏟}{(m a + n)} \cdot \overset{⏞}{(m a - n)^{2}}$

$\underset{⏟}{(m a + n)} \cdot \overset{⏞}{[(m a)^{2} - 2 m n a + n^{2}]}$

$m^{3} a^{3} - 2 m^{2} n a^{2} - 2 m n^{2} a + n^{3}$

Exercícios. Efetuar as multiplicações a seguir.

a) $(a b - c)^{2} (a b + c) = ?$

b) $(2 m - 3 n)^{2} (2 m + 3 n) - ?$

c) $(4 - 2 x)^{2} (4 + 2 x) = ?$

d) $(r s - t u)^{2} (r s + t u) = ?$

e) $(2 v - 3 z)^{2} (2 v + 3 z) = ?$

Vamos deixar os demais exercícios para um momento próximo. Esses são trabalhosos, mas em momentos de aplicação, ajudam a economizar um bocado de tempo no desenvolvimento de expressões maiores. Sem esquecer de um assunto que vem pouco à frente, que é a fatoração, onde fazemos o processo inverso do que fazemos aqui.

Curitiba, 20 de junho de 2018

Décio Adams

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044.1 – Matemática, álgebra – Produtos notáveis – Cubo da diferença

**– É a vez do Cubo da Diferença de dois números**

Para manter a continuidade, vamos considerar os mesmos números (letras) e desenvolver o produto.

$\underset{⏟}{(a - b)^{3}}$

Novamente desmembramos numa multiplicação de potências de mesma base.

$\underset{⏟}{(a - b)^{2}} \overset{⏞}{(a - b)}$

$\underset{⏟}{(a^{2} - 2 a b + b^{2})} \cdot \overset{⏞}{(a - b)}$

$a^{2} a - 2 a^{2} b + a b^{2} + a^{2} (- b) - 2 a b (- b) + b^{2} (- b)$

$a^{3} - 2 a^{2} b + a b^{2} - a^{2} b + 2 a b^{2} - b^{3}$

Agrupando os termos semelhantes e somando os coeficientes:

$a^{3} + \underset{⏟}{- 2 a^{2} b - a^{2} b} + \overset{⏞}{a b^{2} + 2 a b^{2}} - b^{3}$

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$

Se compararmos esse polinômio com o que foi obtido no caso do cubo da soma de dois números, veremos que eles são exatamente iguais, exceto dois sinais (-) no segundo e quarto termos. Assim, podemos escrever a regra.

“O cubo da diferença entre dois números é dado pelo cubo do primeiro termo, menos o triplo do produto entre o quadrado do primeiro e o segundo termo, mais o triplo do produto do primeiro termo pelo quadrado do segundo, menos o cubo do segundo termo”.

Para lembrar mais facilmente.

A ordem dos expoentes nas variáveis segue a mesma sequência do cubo da soma, apenas os termos pares (segundo e quarto), tem um sinal (-) negativo.

Para aplicar a regra, vamos a um exemplo.

${(a x - b y)}^{3}$

O primeiro termo é ax e o segundo termo é by. Vamos agora aplicar a regra

O cubo do primeiro termo é

${(a x)}^{3}$

$a^{3} x^{3}$

O triplo do quadrado do primeiro multiplicado pelo segundo termo é

$3 {(a x)}^{2} (b y)$

$3 a^{2} b x^{2} y$

O triplo do primeiro termo multiplicado pelo quadrado do segundo é

$3 a b^{2} x y 2$

O cubo do segundo termo é

${(b y)}^{3}$

$b^{3} y^{3}$

Escrevendo na ordem correta e aplicando os sinais teremos

$a^{3} x^{3} - 3 a^{2} b x^{2} y + 3 a b^{2} x y^{2} - b^{3} y^{3}$

Hora de exercitar. Não podemos esquecer disso.

Desenvolver os cubos das diferenças.

a) $(3 x - 4 y)^{3} = ?$

b) $(p q - 2 r)^{3} = ?$

c) $(u v - 3 z)^{3} = ?$

d) $(3 i - 2 j)^{3} = ?$

e) $(5 x - 7 y)^{3} = ?$

f) $(2 x - 5 x y)^{3} = ?$

g) $(7 m - 3 n)^{3} = ?$

h) $(5 x - 4 y)^{3} = ?$

Curitiba, 20 de junho de 2018

Décio Adams

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