Hora de treinar a cuca!

Vamos determinar o conjunto verdade de algumas inequações do segundo grau, fazendo o estudo de sua variação de sinais em relação às raízes.

a)  $-5x^2+25x+70<0$

Vamos começar por identificar os coeficientes numéricos, comparando com a forma geral. Temos que $a=-5$, $b=25$ e $c=70$.

Para facilitar os cálculos, iremos dividir todos os termos por $-5$, simplificando e teremos $$\frac{-5x^2}{-5}+\frac{25x}{-5}+\frac{70}{-5}<0$$ $$x^2–5x–14<0$$  Agora os coeficientes passam a ser $a=1$, $b=-5$ e $c=-14$. É o momento de  determinar o discriminante $$\mathrm{\Delta }=b^2–4\cdot a\cdot c$$ $$\mathrm{\Delta }=(-5{)}^2–4\cdot 1\cdot (-14)$$ $$\mathrm{\Delta }=25+56$$ $$\mathrm{\Delta }=81$$ O discriminante é positivo e portanto teremos duas raízes reais e diferentes que tornarão a expressão igual a zero. Calculando as raízes $$x=\frac{-b\pm \sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}$$ $$x=\frac{-(-5)\pm \sqrt{81}}{2\cdot 1}$$ $$x=\frac{5\pm 9}{2}$$ $$x^{\prime }=\frac{5+9}{2}=\frac{14}{2}=7$$ $$x”=\frac{5–9}{2}=\frac{-4}{2}=-2$$

Temos pois para valores que anulam a expressão em $x$ os números $-2$ e $7$. Vejamos como fica o comportamento na Reta Real.

$$\underbrace{-\mathrm{\infty }\leftarrow =========}-2\circ \underbrace{————-}7\circ \underbrace{============\to \mathrm{\infty }}$$

Vimos que para valores externos das raízes, isto é, nesse caso para $x<-2$ ou $x>7$ a expressão terá o mesmo sinal do coeficiente $a$ na inequação em sua forma original, sem simplificação. Vimos acima que $a=-5$ ou seja $a<0$, o que nos leva à conclusão de que o sinal  será negativo para esses valores. Já para os valores compreendidos entre $-2$ e $7$, a expressão terá o sinal contrário de $a$, portanto positivo. Assim deduzimos que o conjunto verdade dessa inequação é dado por: $$V=\{x\in R|x<-2\vee x>7\}$$

b)$3x^2+15x-72\ge 0$

Identificamos os coeficientes $a=3$, $b=15$ e $c=-72$.  Observando esses valores, percebemos que é possível simplificar a expressão, dividindo todos os termos por $3$, o que nos dá $$\frac{3x^2}{3}+\frac{15x}{3}–\frac{-72}{3}$$ $$x^2+5x–24\ge 0$$ Temos agora os novos coeficientes $a=1$, $b=5$ e $c=-24$. Vamos determinar o discriminante. $$\mathrm{\Delta }=b^2–4\cdot a\cdot c$$ $$\mathrm{\Delta }=5^2–4\cdot 1\cdot -24$$ $$\mathrm{\Delta }=25+96$$ $$\mathrm{\Delta }=121$$ Temos novamente $\mathrm{\Delta }>0$ e em consequência duas raízes reais e diferentes.

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}$$ $$x=\frac{-5\pm \sqrt{121}}{2\cdot 1}$$ $$x=\frac{-5\pm 11}{2}$$ $$x^{\prime }=\frac{-5+11}{2}=\frac{6}{2}=3$$ $$x”=\frac{-5–11}{2}=\frac{-16}{2}=-8$$ Lançando esses valores na Reta Real, fica:

$$\underbrace{-\mathrm{\infty }\leftarrow ============(-8)\bullet }\underbrace{———-}\underbrace{3\bullet ============\to \mathrm{\infty }}$$

As raízes $-8$ e $3$ anulam a expressão, enquanto os valores externos tornam a expressão positiva, por ter no mesmo sinal de $a$. Os valores internos tornarão a expressão negativa, que é o sinal contrário de $a$. Como a inequação é $\ge 0$, o conjunto verdade será também dado por:

$$V=\{x\in R|x\le -8\vee x\ge 3\}$$

c)$x^2-13x+42\le 0$

Os coeficientes numéricos são $a=1$, $b=-13$ e $c=42$. Notamos que agora não há simplificação a ser feita, pois o coeficiente $a=1$ e a expressão está na sua forma mais simples. Vejamos o discriminante:$$\mathrm{\Delta }=b^2–4\cdot a\cdot c$$ $$\mathrm{\Delta }=(-13{)}^2–4\cdot 1\cdot 42=169–168=1$$ Temos então que $\mathrm{\Delta }>0$ e novamente as raízes são reais e diferentes. $$x=\frac{-b\pm \sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}$$ $$x=\frac{-(-13\pm \sqrt{1}}{2\cdot 1}$$ $$x=\frac{13\pm 1}{2}$$ $$x^{\prime }=\frac{13+1}{2}=\frac{14}{2}=7$$ $$x”=\frac{13–1}{2}=\frac{12}{2}=6$$ Lançando os valores $6$ e $7$ na Reta Real, teremos:

$$\underbrace{-\mathrm{\infty }\leftarrow —————-}\underbrace{6\bullet ========7\bullet }\underbrace{———————-\to \mathrm{\infty }}$$

Para valores de $x$ a esquerda de $6$ ou a direita de $7$, a expressão será positiva, isto é, o mesmo sinal de $a$, que é positivo. Para valores internos do intervalo $6$ e $7$, a expressão será negativa, o sinal contrário de $a$. Assim sendo, a desigualdade da inequação é $\le$, o conjunto verdade será formado pelos números entre $6$ e $7$, inclusive.

$$V=\{x\in R|6\le x\le 7\}$$

 d)$3x^2–18x+72>0$

Notamos que é possível simplificar a expressão, pois todos os coeficientes são múltiplos de $3$. Então $$\frac{3x^2}{3}–\frac{18x}{3}+\frac{72}{3}$$ $$x^2–6x+24>0$$

Agora os nossos coeficientes são $a=1$, $b=-6$ e $c=24$. Vamos ao discriminante.

$$\mathrm{\Delta }=b^2–4\cdot a\cdot c$$ $$\mathrm{\Delta }=(-6{)}^2\cdot 1\cdot 24=36–96=-60$$ Consequentemente constatamos que $\mathrm{\Delta }<0$, o que nos leva a conclusão de que nenhum número real tornará a expressão igual a zero. Como fica a inequação? Não temos ponto de referência para dizer que a expressão será positiva ou negativa para esse ou aquele valor. Vamos escolher três valores, sendo um negativo, o próprio zero e um positivo, substituindo e verificando o resultado. Sejam esses números $-3$, $0$ e $5$.

Para $x=-3$, teremos $$3x^2-18x+72>0$$ $$3\cdot (-3{)}^2–18\cdot (-3)+72>0$$ $$3\cdot 9+54+72>0$$ $$27+54+72>0$$ $$153>0$$ Esta sentença é verdadeira.

Para $x=0$, teremos $$3\cdot 0–18\cdot 0+72>0$$ $$0+0+72>0$$ $$72>0$$ Esta sentença é verdadeira.

Para $x=5$, teremos $$3\cdot 5^2–18\cdot 5+72>0$$ $$3\cdot 25–90+72>0$$ $$75–90+72>0$$ $$147–90>0$$ $$57>0$$ Sentença verdadeira. 

Vamos escolher mais um número negativo e dois positivos, para sanar qualquer dúvida. $-5$, $2$ e $7$.

Para $x=-5$, teremos $$3\cdot (-5{)}^2–18\cdot (-5)+72>0$$ $$3\cdot 25+90+72>0$$ $$75+90+72>0$$ $$237>0$$ Sentença verdadeira. 

Para $x=2$, teremos $$3\cdot 2^2–18\cdot 2+72>0$$ $$3\cdot 4–54+72>0$$ $$12–54+72>0$$ $$30>0$$ Sentença verdadeira.

Para $x=7$, teremos $$3\cdot 7^2–18\cdot 7+72>0$$ $$3\cdot 49–126+72>0$$ $$147–126+72>0$$ $$93>0$$ Sentença verdadeira.  

Fica evidenciado que para qualquer número real colocado no lugar de $x$ nessa inequação, o resultado é uma sentença  verdadeira. Podemos concluir que o conjunto verdade é então o próprio conjunto dos números reais.

$$V=R$$

Se a mesma inequação tivesse o sinal de desigualdade $<$ no lugar de $>$, essas sentenças todas seriam falsas e portanto o conjunto verdade da inequação seria um conjunto vazio. Assim

$$3x^2–18x+72<0$$ $$V=\mathrm{\varnothing }$$ O mesmo aconteceria se tivéssemos os sinais de desigualdade $\ge$ ou $\le$, uma vez que teríamos a conjunção alternativa $\vee$, que tornaria as sentenças igualmente verdadeiras. É interessante notar que nestes casos o sinal da expressão é sempre igual ao sinal de $a$. Se $a<0$, a expressão será sempre negativa, para qualquer número $x\in R$. Se $a>0$, a expressão será positiva para qualquer valor de $x\in R$.

Agora é a sua vez de praticar. Analise os sinais das inequações e determine o conjunto verdade em cada caso.

a) $x^2–17x+70\le 0$

b) $2x^2+4x–48\ge 0$

c) $x^2–5x–36>0$

d)$3x^2–108<0$

e) $5x^2–35x<0$

f)$4x^2–12x+44>0$

g) $5x^2+110\ge 3x^2+14x$

 h)$6x^2+54\le 0$

i) $4x-9>x^2$

 j) $x^2–19x+88<0$

l) $7x^2+28x>0$

m) $\frac{2}{3}{x}^2-\frac{3}{5}\le 0$

Obs.: Se tiver dúvida sobre a resolução de algum desses exercícios, faça contato comigo. Estes eu não vou resolver logo em seguida. Legal? Procure se virar nos trinta, meu!

Curitiba, 10 de junho de 2016

Revisado e republicado em 11 de janeiro de 2017.

Décio Adams

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