Vamos trabalhar mais um pouco com radicais?

1. Efetue as operações indicadas entre radicais.

a) ${\frac{{\sqrt[3]{2401}}\cdot{(2)}\cdot{\sqrt[3]{7}}}{\sqrt{343}}}$

Fatorando os radicandos e exprimindo na forma exponencial

${\frac{{\sqrt[3]{7^{4}}}\cdot{(2)}\cdot{\sqrt[3]{7}}}{\sqrt{7^{3}}}}$

Simplificando os radicais

${\frac{{\sqrt[3]{7^{3}\cdot {7}}}\cdot{(2)}\cdot{\sqrt[3]{7}}}{\sqrt{7^{2}\cdot{7}}}}$

${\frac{{{7}\cdot\sqrt[3]{7}}\cdot{(2)}\cdot{\sqrt[3]{7}}}{{7}\cdot\sqrt{7}}}$

${\frac{{{14}\cdot{\sqrt[3]{7}}}}{{7}\cdot\sqrt{7}}}$

${\frac{{{2}\cdot{\sqrt[3]{7}}}}{\sqrt{7}}}$

Reduzindo ao mesmo índice: m.m.c (2 e 3) = 6

${\frac{{{2}\cdot\sqrt[6]{7^{2}}}}{\sqrt[6]{7^{3}}}}$

${{2}\cdot\sqrt[6]{\frac{7^{2}}{7^{3}}}}$

${{2}\cdot\sqrt[6]{7^{2 – 3}}}$

${{2}\cdot\sqrt[6]{7^{-1}}}$

b) ${\left[\frac{\left({\sqrt[5]{2048}} : {\sqrt[5]{15625}}\right)\cdot{\sqrt[3]{5^{4}}}}{{3}\cdot\sqrt[3]{5^{2}}}\right]}$

Exprimindo os radicandos na forma de potências por fatoração:

${\left[\frac{\left({\sqrt[5]{2^{11}}}\right) : \left({\sqrt[5]{5^{6}}}\right)\cdot{\sqrt[3]{5^{4}}}}{{3}\cdot\sqrt[3]{5^{2}}}\right]}$

${\left[\frac{\left({\sqrt[5]{2^{10}\cdot{2}}}\right) : \left( {\sqrt[5]{5^{5}\cdot{5}}}\right)\cdot{\sqrt[3]{5^{3}\cdot{5}}}}{{3}\cdot\sqrt[3]{5^{2}}}\right]}$

${\left[\frac{\left({{4}\cdot\sqrt[5]{2}}\over{{5}\cdot\sqrt[5]{5}}\right)\cdot{{5}\cdot\sqrt[3]{5}}}{{3}\cdot\sqrt[3]{5^{2}}}\right]}$

Reduzindo os radicais ao mesmo índice: mmc(3; 5) = 15 e simplificando os fatores comuns.

${\left[\frac{\left({{4}\cdot\sqrt[15]{2^{3}}}\over{{5}\cdot\sqrt[15]{5^{3}}}\right)\cdot{{5}\cdot\sqrt[15]{5^{5}}}}{{3}\cdot\sqrt[15]{5^{10}}}\right]}$

${\left[\frac{\left({{4}\cdot\sqrt[15]{2^{3}}}\over{\sqrt[15]{5^{3}}}\right)\cdot{\sqrt[15]{5^{5}}}}{{3}\cdot\sqrt[15]{5^{10}}}\right]}$

${\left({4\sqrt[15]{{2^{3}}{5^{5}}}}\over\sqrt[15]{5^{3}}\right)}\cdot{\left({1}\over{3}\sqrt[15]{5^{10}}\right)}$

${{4\sqrt[15]{{2^{3}}{5^{5}}}}\over{{3}\sqrt[15]{{5^{3}}\cdot{5^{10}}}}}$

${\left({4}\over{3}\right)\cdot\sqrt[15]{{2^{3}}\over{5^{8}}}}$

c) ${\left({{a^2}\sqrt[3]{{b^5}\cdot{c^4}}}\over{{b^3}\sqrt[3]{{a^4}\cdot{c^5}}}\right)}$

Introduzindo os fatores externos nos radicais teremos:

${\left({\sqrt[3]{{a^6}\cdot{b^5}\cdot{c^4}}}\over{\sqrt[3]{{a^4}\cdot{b^6}\cdot{c^5}}}\right)}$

Simplificando os fatores comuns sobra:

${\left({\sqrt[3]{{a^2}\over{b}\cdot{c}}}\right)}$

d) ${\left[{\left({3{x}\sqrt[3]{x^2 + y}}\right)\cdot\left({2{y}\sqrt{x^2 – y}}\right)}\over{{9}\sqrt[3]{x^4 – y^2}}\right]}$

Cancelando os fatores comuns, fica:

${\left[{\left({{x}\sqrt[3]{x^2 + y}}\right)\cdot\left({2{y}\sqrt{x^2 – y}}\right)}\over{{3}\sqrt[3]{x^4 – y^2}}\right]}$

Introduzindo os fatores externos nos radicais:

${\left[{\left({\sqrt[3] {{x^{3}}\cdot{(x^2 + y)}}}\right)\cdot\left(\sqrt[2]{{2^{2}{y^{2}}\cdot {(x^2 – y)}}}\right)}\over{\sqrt[3] {{3^{3}} {(x^4 – y^2)}}}\right]}$

Reduzindo os radicais ao mesmo índice: mmc(2;3) = 6

${\left[{\left({\sqrt[6] {{x^{6}}\cdot{(x^2 + y)^{2}}}}\right)\cdot\left(\sqrt[6]{{2^{6}{y^{6}}\cdot {(x^2 – y)^{3}}}}\right)}\over{\sqrt[3] {{3^{3}} {(x^4 – y^2)}}}\right]}$

${\sqrt[6]{{{2^{6}\cdot{x^{6}}\cdot{y^{6}}\cdot{(x^{2} +y)}^{2}\cdot{(x^{2} – y)}^{3}}}\over{{3^{6}} {(x^4 – y^2)}^{2}}}}$

${{{2xy}\over{3}}\sqrt[6]{{{(x^{2} +y)}^{2}\cdot{(x^{2} – y)}^{3}}\over{{(x^2 + y)^{2}(x^2 -y)^{2}}}}}$

${{{2xy}\over{3}}\sqrt[6]{x^{2} – y}}$

Agora é sua vez

Efetue as operações com os radicais e simplifique o que for possível.

a) ${\sqrt[3]{4096}\cdot\sqrt[5]{(x + y)}^{10}}$

b)${{{2x}\sqrt[2]{(a^{2} + b)^{3}}\cdot\sqrt[3]{(a^{2} + b)^{2}}}\over\sqrt[3]{(a^{4} – b^{2})}}$

c) ${{\sqrt[3]{(4x^{2} – 12x + 9)}\cdot\sqrt[2]{(x^{2} – 1)}}\over\sqrt[2]{(x + 3)\cdot(x + 1)}}$

d)${{{5x^{2}}\sqrt[3]{(x + y^{2})^{6}}}\over{{6y}\sqrt[2]{(x^{2} – y^{4}}}}$

e)${{{(2x – y)}\cdot\sqrt[3]{2x + y}}\over{\sqrt[2]{(4x^{2} – y^{2})}}}$

f) ${{{3a}\sqrt[2]{2a}} + {{5b}\sqrt[6]{8a^3}} – {{2b}\sqrt[4]{4a^2}}}$

g)${\left[{\sqrt[6]{(x^2 – 1)}^2}\cdot{\sqrt[3]{(x^2 + 1)}^2}\right]\cdot{2y}\sqrt[2]{x^2 – 1}}$

h)${\left[{{\sqrt{(2a + b)}^3}\cdot{\sqrt[5]{(2a + b)}^2}}\over{{3ab}\sqrt[5]{(2a – b)\cdot(4a^2 – b^2)}}\right]}$

Se tiver dificuldades na solução dos exercícios propostos, entre em contato por meio de um dos canais abaixo listados e resolveremos as dificuldades.

Curitiba, 27 de setembro de 2019.

Décio Adams

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