No post anterior, aprendemos a multiplicar os números com apenas um algarismo. Espero ter conseguido mostrar como se procede e que tenha dominado esse conteúdo. Havendo alguma dúvida, por favor, peça maiores explicações, fazendo um comentário expondo sua dificuldade. E quando os fatores forem números com mais de um algarismo, como iremos proceder? A operação é a mesma, apenas torna-se difícil fazer a representação concreta de conjuntos, depois contar os elementos para obter a resposta. Mas não se aflija. Novamente usaremos a escrita na forma de colunas e multiplicaremos todos os algarismos de um fator, por todos os algarismos do outro fator, escrevendo os resultados sob as colunas correspondentes. Se houver mais de uma linha, adicionaremos os valores de cada coluna, partindo da direita para a esquerda. A soma encontrada será o produto dos números. Nada melhor do que mostrar como se procede, com um bom exemplo resolvido.
${18\cdot 4 = ?}$
18
X 4
Começamos da direita para esquerda, multiplicando ${4\cdot 8 = 32}$. O produto resultou em mais de uma dezena. Colocamos o algarismo das unidades (2), na direita, abaixo do quatro e reservamos as (3) dezenas para serem adicionadas ao resultado da multiplicação de ${4\cdot 1 = 4}$; adicionamos as dezenas reservadas ${4 + 3 = 7}$. Colocando o 7 à esquerda do dois, teremos o resultado da multiplicação.
18
x4
72 (setenta e dois é o produto: ${4\cdot 18 = 72}$).
Um outro exemplo: ${6\cdot 35 = ?}$
35
X 6
Começando novamente da direita: ${6\cdot 5 = 30}$. O algarismo das unidades é (0) e reservamos três dezenas para o próximo passo. Fazendo ${6\cdot 3 = 18}$. Adicionamos as três dezenas e temos ${18 + 3 = 21}$, que será escrito à esquerda do (0) das unidades. Teremos:
É isso que o Criador disse aos primeiros homens a caminhar sobre a Terra. Mas a nossa multiplicação aqui é um pouco diferente. Vamos multiplicar números, começando por entender o que significa essa operação. Observe o exemplo.
Note que o conjunto de dois elementos foi adicionado três vezes, ou seja, temos uma adição de parcelas iguais, onde cada parcela tem dois elementos. Sempre que surge a ocasião de simplificar a forma de escrever ou seja traduzir em palavras ou símbolos uma sentença matemática, nós o fazemos. Nesse caso, podemos fazer a multiplicação e fica assim:
${3\cdot {♦,♦,} = {3\cdot 2} = 6}$
Lemos aqui: “Tres vezes dois é igual a seis”. Os dois números multiplicados recebem o nome de fatores.
A multiplicação na verdade é nada mais nada menos que uma adição de parcelas iguais. É importante lembrar desse detalhe, pois será muito útil em situações que virão pela frente.
Observe que nos exemplos e exercícios anteriores, propositalmente eu coloquei números de modo que sempre o algarismo do minuendo é maior que o do subtraendo. O objetivo era mostrar como se procede nesse caso.
Agora, vamos ver o que fazer quando se trata de subtrair um número maior de um menor. Olha só:
46 – 29 =
4 6
– 2 9
Observe que na coluna das dezenas temos (6 – 9 = ?). Com o que aprendemos até aqui, não é possível subtrair 9 unidades de onde há somente 6 delas. O que as pessoas, principalmente nas comunidades menores, onde todos se conhecem, fazem se por acaso faltar açúcar para adoçar o café ou o chá? Alguém corre até a vizinha e pede uma xícara ou copo do produto emprestado. Quando comprar, devolve e pronto. Nós vamos fazer algo parecido. Veja o algarismo das dezenas. Ele tem unidades sobrando em relação ao subtraendo e pode emprestar uma dezena ao 6, formando então 16, o que torna possível a subtração ( 16 – 9 = 7).
Como o 4 emprestou uma dezenas de unidades ao seu “vizinho” 6, ele agora só possui mais 3 dezenas e a operação fica assim (3 – 2 = 1). Colocamos os dois algarismos nas colunas e formamos o número 17, que é a diferença dos números dados.
46
–
29
17
Subtraindo manualmente 3
607 – 259 =
6 0 7
-2 5 9
Subtraindo manualmente 4
348
Note que nas unidades temos (7 – 9 = ?). Não é possível. Precisamos emprestar do vizinho. Mas a casa vizinha está vazia, não mora ninguém (0). Vamos emprestar uma unidade de centenas do 6, nessa ordem. Uma centena tem dez dezenas e o (0) também vai precisar emprestar para poder subtrair dele o 5. Então pegamos uma das 10 dezenas e juntamos ao 7, formando 17 e as outras 9 dezenas ficam no lugar do (0) e podemos fazer a subtração (17 – 9=8). Depois (9 – 5 = 4) e por último (5 – 2 = 3). Não podemos esquecer que o 6 emprestou uma de suas centenas aos vizinhos “mais pobres” para que eles pudessem pagar a “conta” (kkkkkkk).
Colocamos os resultados nas suas colunas e temos
607 – 259 = 348.
3479 – 1684 =
3 4 7 9
-1 6 8 4
Na coluna das unidades temos (9 – 4 = 5). Na coluna das dezenas (7 – 8=?) o que é impossível. Vamos ver se o vizinho empresta uma centena. O vizinho tem 4 unidades de centena e pode emprestar uma. Fica (17 – 8 = 9). Agora nas centenas ficou (3 – 6 =?) é impossível. Novamente emprestamos do vizinho, mais rico, que tem 3 milhares e pode emprestar um. Ficamos com (13 – 6 = 7) e por último nos milhares ficamos com (2 – 1 = 1). Temos todos os algarismos para formar o número que é a diferença.
3 4 7 9
-1 6 8 4
Subtraindo manualmente 5
1 7 9 5
Vamos ver se ficou entendido. Se ficar alguma dúvida, pergunte que eu esclareço depois. Chegou a vez de fazer exercícios.
Efetue as subtrações.
73 – 32 =
92 – 57 =
167 – 86 =
462 – 349 =
853 – 537 =
651 – 423 =
1567 – 925 =
3749 – 1567 =
20534 – 12528 =
5781 – 4059 =
6724 – 2549 =
17243 – 8934 =
304752 – 95863 =
Prova real
Dissemos no começo do texto que a subtração é a operação inversa da adição. Se isso é verdadeiro, deve ser possível tirar a prova, isto é, verificar se o resultado está correto. Vamos ver como é que se faz isso?
Se: 607 – 259 = 348, então
Prova real da subtração
348 + 259 = 607
Se fizermos a soma do resto (diferença) com o subtraendo, encontraremos o minuendo. Isso sempre será verdadeiro e vale a mesma coisa, apenas em sentido inverso para tirar a prova da soma.
Faça a prova real dos resultados da lista de exercícios deixada acima. Assim você comprova que fez a subtração da forma correta.
Se houver dúvidas, entre em contato por meio de um dos canais abaixo e peça ajuda. Não fique em dificuldades, peça auxílio para sanar o problema.
Começaremos por dizer que a subtração é a operação inversa da adição. Se na adição nós juntamos, reunimos os elementos de mais de um conjunto, na subtração fazemos o contrário. Retiramos, diminuimos os elementos de um conjunto(subtraendo), dos elementos de outro conjunto(minuendo) normalmente maior. Por exemplo:
Na forma de conjuntos, basta contar os elementos a serem subtraidos(subtraendo), retirando-os do conjunto (minuendo) e teremos um conjunto que é igual a diferença entre os dois. No exemplo temos 7 elementos no minuendo e 3 no subtraendo. Restaram 4 elementos no conjunto diferença. Para conferir se está certo, basta contar os elementos do resto, junto com os elementos do subtraendo e deveremos encontrar o minuendo. Você pode usar os dedos das suas mãos, dos pés, outros objetos para formar os conjuntos que ajudarão a efetuar essas operações. Com isso logo, logo, saberá de cor e salteado a diferença entre esses números pequenos, ficando mais fácil obter o resultado.
Vimos no início do nosso estudo dos logaritmos que
${log_a{b} = x}$, tem como condição de existência que tenhamos:
${a > 0, a ≠ 1}$ ⇔ ${0 < a ≠ 1}$
${b > 0}$
Se estas condições não forem satisfeitas o logaritmo não existe. Isso nos leva a um tipo de expressão em que precisamos analisar uma ou mais situações e estabelecer a condição de existência daquele(s) logaritmo(s) especificamente.
São também denominados logaritmos naturais e se originaram dos trabalhos desenvolvidos e publicados por John Neper (Napier). Mais tarde a base desses logaritmos teve seu valor determinado por Euler, sendo usada largamente em diferentes áreas da atividade humana. Essa base é simbolizada pela letra:
${ e ≅ 2,71828183}$
Na prática usamos apenas a parte inteira e as duas primeiras casas decimais.
Vamos recordar de uma transformação possível nos radicais. Vimos lá que:
$\sqrt[a]{b^n} = b^{{n}\over {a}}$
Obs.: Convertemos o radical em uma potência de expoente fracionário.O índice do radical é o denominador do expoente e o expoente do radicando é o numerador.
Isso nos permite aplicar esse recurso na logaritmação de radicais. Não esquecendo que o numerador da fração/expoente é o expoente do radicando e o denominador é o índice do radical. Assim teremos:
Chegou sua vez de exercitar, tomando os exemplos como base.
e)$ log_7{\sqrt[5]{7^4}}$
f) $log_{10}{\sqrt[6]{1000}}$
g)$ log_{12}{\sqrt[8]{{13}^6}} $
h) $ log_3{\sqrt[5]{9^2}}$
i) $ log_a{\sqrt[m]{b^n}} $
j) $ log_a{\sqrt[p]{c^{2p}}} $
l) $ log_h{\sqrt[w]{g^v}} $
m) $ log_4{\sqrt[3]{9^5}}$
Enquanto você resolve os exercícios, vou continuar a preparar mais um post, dando outro passo nesse assunto. Se tiver dúvidas, peça esclarecimentos por um dos canais abaixo.
