– Quadrado da diferença de dois números
A mesma coisa que acontece no caso da soma, também ocorre com a diferença. Os números são representados por letras, formando no final a multiplicação de dois binômios iguais. Seja o exemplo:
$\underbrace{( a – b)^2} $
A letra $a$ é o primeiro termo e a letra $b$ é o segundo termo da diferença.
$\underbrace{( a – b)}\cdot{\underbrace{(a – b)}} $
Cada termo do primeiro fator é multiplicado por todos os termos do segundo fator. O que resulta em:
$\underbrace{{a}\cdot {a}} + \underbrace{ {a}\cdot {(-b) }} + \underbrace{{(-b)}\cdot {a}} + \underbrace{{-b}\cdot{b}} $
$ a^\underbrace{(1+ 1)} \underbrace{- ab – ba} + b^\underbrace{(1 + 1)} $
${ a^2 – 2ab + b^2} $
Os dois termos (- ab) e (-ba), são semelhantes, pois a ordem dos fatores pode ser alterada sem causar problemas no resultado. Basta aplicar a propriedade comutativa da multiplicação. Assim passamos a ter que:
“O quadrado da diferença entre dois números é igual ao quadrado do primeiro termo, menos o duplo produto (dobro) do primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo”.
Bom como lembrete!
Também aqui os expoentes das partes literais seguem a mesma sequência como acontece no quadrado da soma. A única diferença é que os sinais que precedem os termos, são alternadamente +, – e +. Isso facilita a recordação do resultado de um produto notável desse tipo.
Expoentes de $a$: $2 > 1 > 0$$\Rightarrow$ ordem decrescente
Expoentes de $b$: $ 0 < 1 < 2$$\Rightarrow$ ordem crescente
Se tivermos para $a$ o valor $7$ e para $b$ o valor $2$ e substituirmos na forma da diferença e na forma de trinômio quadrado, teremos:
${(a – b)}^2$
${(7 – 2)^2} = 5^2 = 25$
$ a^2 – 2ab + b^2 $
$ 7^2 – 2\cdot{7}\cdot{2} + {2}^2$
$ 49 – 28 + 4 = 21 + 4 = 25$
NOTA: Percebemos que o resultado é o mesmo.
Vamos exercitar:
a) $\underbrace{(x – y)^2}$
O primeiro termo é a letra $x$ e o segundo termo é a letra $y$.
$\underbrace{(x – y )}\cdot\underbrace{(x – y)}$
$ {x^2 – 2xy + y^2}$
b) $\underbrace{(3x – 2y)^2}$
O primeiro termo é $3x$ e o segundo termo é $2y$.
$\underbrace{3x – 2y}\cdot{\underbrace{3x – 2y}}$
${(3x)}^2 – \underbrace{ 2\cdot {(3x)}{(2y)}} +{(2y)}^2$
$ {9x^2 – 12xy + 4y^2} $
c) $\underbrace{(ab – bc)^2}$
O primeiro termo é $ab$ e o segundo termo é $bc$.
$\underbrace{(ab – bc)}\cdot\underbrace {(ab – bc)} $
${(ab)}^2 – \underbrace{ 2\cdot{(ab)}{(bc)}} + {(bc)}^2 $
$ {a^{2}b^{2} – 2ab^{2}c + b^{2}c^{2} }$
d) $\underbrace{(5 – 2a)^2}$
$\underbrace {(5 – 2a)}\cdot{\underbrace{(5 – 2a)}}$
$ {5^2 -\underbrace{ 2\cdot 5\cdot{2a}} + {(2a)}^2}$
${ 25 – 20a + 4a^2 }$
Obs.: Note que tanto o quadrado da soma como da diferença, resulta sempre em um trinômio, onde há dois termos que são quadrados e um termo que representa o produto dos dois termos. Costumeiramente esses trinômios recebem o nome de Trinômio quadrado perfeito. Voltaremos a falar neles em outro momento, ou seja por ocasião da fatoração.
Resolva aplicando a regra acima, os quadrados das diferenças entre dois números da seguinte sequência.
a)${(5ax – 3bx)}^2= ?$
b)${(Axy – Byz)}^2= ?$
c)${(4rp^2 – 3pq)}^2= ?$
d)${(5xy^3 – 3xy^2)}^2= ?$
e)${(mz – my)}^2= ?$
f)${(2aj – 3bj)}^2= ?$
g)${(6gx – 7gy)}^2= ?$
h)${(3my – 4n)}^2= ?$
Curitiba, 09 de junho de 2018
Décio Adams
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