Hexágono regular
Recapitulando os polígonos regulares vistos até aqui, veremos que em todos eles existe um ponto central, onde ocorre a divisão da circunferência em triângulos congruentes.
No triângulo equilátero temos o baricentro.
O quadrado tem esse ponto determinado pelas duas diagonais, que são perpendiculares entre si, formando quatro ângulos de 90º.
O pentágono regular também tem esse ponto. É o centro geométrico do polígono.
Hexágono
Seguindo o mesmo critério, as linhas medianas irão dividir o hexágono em seis triângulos equiláteros. Cada um dos ângulos centrais mede então $60^{0}$. Os outros dois ângulos dos triângulos juntos medem $120^{0}$, sendo que são congruentes e portanto medem também $60^{0}$.
Sendo triângulos equiláteros, sabemos que a altura, neste caso vem a ser o apótema do hexágono; o raio R é congruente ao lado do hexágono. Então podemos determinar o apótema pela expressão:
$ l² = a² + {\left(l\over 2\right)}^{2}$$\Leftrightarrow$$a² = {{4\cdot l² – l²}\over4}$
$\sqrt {a²} = \sqrt{{3\cdot l²}\over4}$
$a = {{l\sqrt{3}}\over 2}$
Área do triângulo e do hexágono.
$S_{\Delta} = {{{{l\cdot l\sqrt{3}}}\over 2}\over 2}$
$S_{\Delta} = {{l²\sqrt{3}}\over4}$
A área do hexágono é a área de um triângulo multiplicado por 6.
$S_{hex} = 6\cdot{l²\sqrt{3}\over4} = 3\cdot{l²\sqrt{3}\over 2}$
Medida dos ângulos internos do hexágono regular.
Cada um dos seis vértices do hexágono é formado por dois ângulos adjacentes de 60^{0}. Isso faz com que cada ângulo interno seja igual a 120^{0}.
Desta forma a soma dos ângulos internos do hexágono regular é dada por:
$S_{i6} = 6\cdot 120º$
$S_{i6} = 720º$
Círculos inscrito e circunscrito ao hexágono
O lado do hexágono é a medida do raio da circunferência circunscrita e o apótema é a medida do raio da circunferência inscrita. Veja a figura.
Exercício 1. Um hexágono tem lado medindo ${l = 2,0 m}$. Determinar: a) o raio da circunferência circunscrita; b) o raio da circunferência inscrita; c) a área de um dos triângulos equiláteros internos; d) a área total do hexágono.
a) o raio da circunferência circunscrita é congruente ao lado do hexágono
${R = 2,0 m}$
b)o raio da circunferência inscrita é o apótema do hexágono.
$a = {{l\sqrt{3}}\over2}$$\Leftrightarrow$$a = {{2\sqrt{3}}\over 2}$
$a = \sqrt{3} m$
c)Temos acima a fórmula da área do triângulo.
$S_{\Delta} = {{l²\sqrt{3}}\over 4}$$\Leftrightarrow$$S_{\Delta}={{2,0}^2\sqrt{3}\over 4}$
$S_{\Delta} = \sqrt{3} m²$
d) a área toda é seis vezes a área do triângulo.
$S_{hex}= {6\cdot{l²\sqrt{3}}\over 4}$
$S_{hex} = {6\cdot\sqrt{3} m²}$
Exercício 2. Um hexágono regular está inscrito em uma circunferência de raio $R = 80,0 cm$. Determinar: a) o lado do hexágono; b) o apótema do hexágono; c) a área de um dos triângulos que formam o hexágono; d) a área total do hexágono;
a)as diagonais que unem os vértices dos ângulos internos opostos, determinam o centro da figura e dividem o hexágono em seis triângulos equiláteros. Assim ficamos com o lado igual ao raio da circunferência.
$l = R$$\Leftrightarrow$$ l = 80,0 cm$
b)o apótema coincide com a altura do triângulo equilátero.
$a = {{l\cdot\sqrt{3}}\over 2}$
$a = {{{80,0}\cdot\sqrt{3}}\over2} = 40,0\sqrt{3}cm$
c)$S_{\Delta} = {{l²\sqrt{3}}\over4}$
$S_{\Delta} = {{{80,0}^{2}\sqrt{3}}\over 4}$$\Leftrightarrow$$ S_{\Delta} = {{{6400,0}\sqrt{3}}\over4} = 1600,0\sqrt{3} cm^2$
d)o hexágono é formado por seis triângulos.
$S_{hex} = 3\cdot{{l^2\sqrt{3}}\over 2}$
$S_{hex} = 3\cdot{{{80,0}^{2}\sqrt{3}}\over2} = {9600,0}\sqrt{3} cm^2$
Heptágono regular
É sem dúvida um dos polígonos com poucos lados que é mais difícil de construir. Isso pelo fato de a divisão dos $360^{0}$ por sete ser um número decimal não exato. Isso torna as medidas dos lados sempre aproximados, bem como os ângulos.
Vejamos
${360 \div 7 = 51,428571…^{0}}$ ou ${51^{0}25’42,857…”}$
Nem mesmo fazendo a divisão em graus, minutos e segundos o resultado é exato, mas difere muito pouco disso.
Sabendo que a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é de $180^{0}$, teremos que os dois ângulos restantes de cada triângulo será:
$ {\hat{r} + \hat{s} + \hat{t} = 180^{0}}$
${{(51º25’42,857…”)} + \hat{s} + \hat{t} = 180^{0}}$
Como os dois ângulos são congruentes $\hat{s} = \hat{t}$
${2\cdot\hat{s} = 180º – 51,428571º}$$\Leftrightarrow$${2\cdot\hat{s} = 128,57143º}$
${\hat{s} = 64,28572º}$
Temos aí a dificuldade de construir esse polígono, mesmo usando instrumentos de desenho.
O processo de construção do heptágono regular requer o uso de instrumentos de desenho, como régua, esquadro e principalmente compasso. Usei a ideia aplicando as opções do paint e consegui fazer algo que se aproxima da figura correta.
O heptágono, traçando-se um segmento que une os vértices ao meio dos lados opostos, fica dividido em sete triângulos isósceles, cujo ângulo central é o determinado acima $51,428571…º$ o que resulta em ângulos de $64,28572…º$ adjacentes aos lados do heptágono. O apótema dividirá esses ângulos internos em dois triângulos retângulos congruentes.
Cada um dos dois triângulos retângulos que obtemos com o traçado do apótema têm como lados o raio R, l/2 e o apótema. R é a hipotenusa. Logo:
${R² = a² +{\left(l\over2\right)}²}$ (I)
${{l\over2} = {R\cdot{cos(64,28572º)}}}$$\Leftrightarrow$${l = 2\cdot{R}\cdot{cos(64,28572º)}}$
${l\simeq {0,868}\cdot{R}}$ (II)
O lado do hexágono é aproximadamente igual a 0,868 R.
Substituindo (II) em (I):
${R^2 = a^2 + \left({{0,868\cdot{R}}\over 2}\right)^{2}}$$\Leftrightarrow$${a^2 = R^2 – {{R^2\cdot{(0,753)}}\over 4}}$
${\sqrt{a^2} = \sqrt{{{4R^2 – 0,753R^2}\over 4}}}$$\Leftrightarrow$$a = \sqrt{{R^2\cdot{(4 – 0,753)}\over 4}}$
$a = R\cdot\sqrt{(3,247)}\over 2 $$\Leftrightarrow$$a = R\cdot{(1,8019)}\over 2$
${a\simeq 0,9R}$
O apótema de um heptágono regular é aproximadamente igual a nove décimos do raio da circunferência circunscrita.
Área de um Heptágono regular
Primeiro vamos estabelecer a área de cada um dos triângulos isósceles que formam um heptágono regular.
A base é o lado: $ l\simeq 0,868 R$
A altura é o apótema: $a\simeq 0,9R$
$S_{\Delta} = {{(0,868)\cdot R}\cdot {(0,9)\cdot R}\over 2}$ $\Leftrightarrow$$S_{\Delta} = {{{0,78}\cdot{R}}\over 2}$
$S_{\Delta} = 0,39R$
Sendo sete triângulos, basta multiplicar o resultado por esse número.
$S_{hep} = 7\cdot{(0,39R)}$$\Leftrightarrow$$S_{hep} \simeq{2,73R}$
Exercício 1. Um heptágono é inscrito num círculo de raio $R = 1,2 m$. Determine: a) o lado do heptágono; b) o apótema do heptágono; c) a área de cada triângulo isósceles que formam o heptágono; d) a área do heptágono.
$R = 1,2 m$
a) $l \simeq 0,868 R$
$l\simeq {0,868}\cdot {1,2}\simeq{1,042} m$
b)$a \simeq {0,9}\cdot {R} $
$a\simeq{0,9}\cdot {1,2}\simeq 1,080 m$
c)$S_{\Delta_{7}}\simeq {0,39}\cdot {R}$
$S_{\Delta_{7}}\simeq {0,39}\cdot{1,2} \simeq{0,468} m²$
d)$S_{hep}\simeq{2,73}\cdot{R}$
$S_{hep}\simeq{2,73}\cdot{1,2}\simeq {3,276} m^2$
Exercício 2. O apótema de um heptágono é igual a $a = 0,50 m$. Determine: a) o lado do apótema; b) a área de um dos triângulos internos; c) o raio do círculo circunscrito ao heptágono; d) a área do heptágono.
$a = {0,50}m$
$a\simeq{0,9}R$$\Leftrightarrow$$ R = {a\over{0,9}}$
a)$l\simeq{0,868}R$$\Leftrightarrow$$l\simeq{0,868}\cdot{{0,50}\over{0,9}}$
$l\simeq {{0,434}\over{0,9}}\simeq{0,482}\, m$
b)$S_{\Delta_{7}} = {0,39}\cdot {a\over{0,9}}$
$S_{\Delta_{7}}= {0,39}\cdot{0,50\over{0,9}}\simeq{0,216} m^2$
c) $a\simeq{0,9}R$
$R \simeq{\left(a\over{0,9}\right)}\simeq\left({0,50}\over{0,9}\right)\simeq{0,556} m$
d)$S_{hep}= {{2,73}\cdot{R}}$$\Leftrightarrow$$S_{hep}\simeq{2,73}\cdot{0,556}$
$S_{hep}\simeq 1,518 m^2$
Diagonais de um polígono
Quantas diagonais podemos traçar em um polígono de n lados?
Vimos que uma diagonal une dois vértices não consecutivos. Assim, tomando um vértice, os dois que lhe ficam consecutivos são excluídos, tal como o próprio vértice. Isso nos permite traçar, a partir de um vértice, tantas diagonais quantos forem os vértices, menos 3:
${D_{v} = n_{v} – 3}$ $\Rightarrow$ diagonais de um vértice.
Cada diagonal une dois vértices, o que nos leva a ter que dividir o número total aparente por dois.
${D_{p} = {{{(n – 3)}\cdot n}\over 2}}$$\Leftrightarrow$$ {D_{p} ={{n² -3n}\over2}}$
Este é o número de diagonais de um polígono. Vamos exercitar!
Exemplo 1. Quantas diagonais tem um pentágono?
${n_{v} = 5}$
${D_{pen} = {{n² – 3\cdot n}\over 2}}$$\Leftrightarrow$${D_{pen}= {{5² -3\cdot5}\over 2}}$
${D_{pen}= {{25 – 15}\over 2}}$$\Leftrightarrow$${D_{pen}= {10\over2} = 5}$
O pentágono tem cinco diagonais.
Exemplo 2. Quantas diagonais tem um quadrado?
${n_{v} = 4}$
${D_{qua}= {{4² – 3\cdot 4}\over 2}}$$\Leftrightarrow$$ {D_{qua}= {{16 – 12}\over 2}}$
${D_{qua} = {4\over 2} = 2}$$\Rightarrow$ quadrado tem duas diagonais.
Exemplo 3. Calcule o número de diagonais de um hexágono.
$ n_{v} = 6 $
${D_{hex}= {{6² – 3\cdot{6}}\over 2}}$$\Leftrightarrow$${D_{hex} = {{36 – 18}\over 2}}$
${D_{hex}= {18\over 2} = 9}$$\Rightarrow$ o hexágono tem 9(nove) diagonais.
Exemplo 4. Quantas diagonais tem um dodecágono?
${n_{v} = {12}}$
${D_{12} = {{(12)^2 – 3\cdot {12}}\over2}}$$\Leftrightarrow$${D_{12}={{144 – 36}\over 2}}$
${D_{12} = {{144 – 36}\over 2}$$\Leftrightarrow$${D_{12} = {{108}\over 2} = 54}$ – O dodecágono tem 54 diagonais.
Exemplo 5. Quantas diagonais possui um polígono de 20 lados?
$n_{v} = 20$
$D_{20}= {{20}^2 – 3\cdot{20}}\over 2}$$\Leftrightarrow$$D_{20} = {{400 – 60}\over 2}$
$D_{20}={{340}\over 2} = 170$
O polígono de 20 lados admite 170 diagonais.
Soma dos ângulos internos de um polígono.
Vimos que as diagonais dividem o polígono em triângulos isósceles, que se inscrevem em um círculo com o qual coincidem os vértices. Dessa forma os ângulos centrais, que tem vértice no centro do círculo, tem a medida obtida pela divisão da volta completa pelo número de lados.
$\hat{a}_{c} = {360\over n}$
Prolongando um lado além do vértice, temos um ângulo externo, que têm a mesma medida do ângulo central dos triângulos. Cada ângulo interno é suplementar do ângulo central dos triângulos.
$\hat{a}_{i} = {180º – \hat{a}_{c}}$$\Leftrightarrow$$\hat{a}_{i} = 180^{0} – {360^{0}\over n}$
$\hat{a}_{i} = {{{180^{0}\cdot n} -360^{0}}\over n}$
A soma dos ângulos internos é igual a medida de um ângulo interno multiplicada pelo número de vértices, que é igual ao número de lados.
$S_{a_{i}} = n\cdot{180^{0} – {360^{0}\over n}}$
$S_{a_{i}}= {180^{0}\cdot n – 360^{0}}$
Exemplo 1. Qual é a soma dos ângulos internos de um polígono de nove lados?
$S_{a_{9}} = {180^{0}\cdot n – 360^{0}}$
$S_{a_{9}} = 180^{0}\cdot 9 – 360^{0}$
$S_{a_{9}}= 1620^{0} – 360^{0} = 1240^{0}$
Exemplo 2. Determine a soma dos ângulos internos de um polígono de 12 lados.
$S_{a_{12}} = 180º\cdot 12 – 360 $
$S_{a_{12}} = 2160º – 360º = 1800º$
Exercícios para resolver.
01. Os hexágonos são polígonos que apresentam seis lados, seis ângulos internos e seis vértices. A respeito dos hexágonos regulares inscritos em uma circunferência, assinale a alternativa correta.
a) Um hexágono é chamado regular quando ele possui ângulos iguais, lados congruentes e não existe a necessidade de que seja convexo para isso.
b) Um hexágono regular inscrito tem a medida do apótema igual à medida do raio do círculo que o circunscreve.
c) Um hexágono regular inscrito tem a medida do lado igual à medida do raio do círculo que o circunscreve.
d) Um hexágono regular é chamado inscrito quando todos os seus lados são tangentes a uma circunferência.
e) Um hexágono regular inscrito possui apótema e lado iguais.
02. Qual é a medida do lado $l$ de um hexágono regular cujo apótema mede$a = 3,0 cm$?
a) $2\sqrt{3} cm$
b) $2 cm$
c) $\sqrt{3} cm$
d) $3\sqrt{3} cm$
e) $6\sqrt{3} cm$
03. Determine a medida do apótema de um hexágono regular, sabendo que a medida de seu lado é igual a $l =2\sqrt{3} cm.
a) $2\sqrt{3} cm$
b)$1 cm$
c) $2 cm$
d) $3 cm$
e) $\sqrt{3} cm$
04. Determine a medida do apótema de um hexágono regular inscrito em uma circunferência de diâmetro igual a $D= 12 cm$.
a) $2\sqrt{3} cm$
b) $3\sqrt{2} cm$
c) $3\sqrt{3} cm$
d) $6\sqrt{2} cm$
e) $6\sqrt{3} cm$
05. (FUVEST-2014). Uma das piscinas do Centro de Práticas Esportivas da USP tem o formato de três hexágonos regulares congruentes, justapostos, de modo que cada par de hexágonos tem um lado em comum, conforme representado na figura abaixo. A distância entre lados paralelos de cada hexágono é de 25 metros.
Assinale a alternativa que mais se aproxima da área da piscina.
a) $S\simeq1600 m²$;
b)$S\simeq1800 m²$;
c)$S\simeq2000 m²$;
d)$S\simeq2200 m²$
e)$S\simeq2400 m²$
06. Determine o apótema de um hexágono regular cujo lado mede $l = 200\sqrt{3}cm$. Depois calcule a área do hexágono.
07. Determine a área de um hexágono regular cujo lado mede $l = 4,0 cm$. Determine o perímetro desse polígono.
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Curitiba, 15 de novembro de 2019
Décio Adams
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