Tag: #aritmética

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Matemática – Aritmética. Divisão exata e aproximada de números.

Divisão decimal aproximada.

Quando estudamos a divisão, vimos que grande parte das vezes essa operação não é exata, sobrando ao final do processo, um resto menor que o divisor. Naquele momento deixamos de efetuar esse complemento da operação. Ficamos com o resultado:

  • $\color{navy}{quociente\cdot divisor + resto = dividendo}$

Agora, vamos determinar o resultado da operação, com uma aproximação na forma de número decimal. Para isso recorremos à colocação de uma vírgula após o último algarismo inteiro obtido no quociente e acrescentamos um zero no resto. A partir daí tentamos continuar a divisão. Se ainda não for possível, acrescentamos um zero ao quociente e mais outro no resto. Podemos continuar assim indefinidamente. Talvez em algum momento ocorra uma divisão exata, ou então teremos uma dízima periódica, quando um ou mais algarismos começam a se repetir no quociente. O melhor de tudo é fazer isso na prática. 

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Matemática – Aritmética

Multiplicação de números por dez, seus múltiplos e sub-múltiplos

Vamos multiplicar os decimais por 10!

Anteriormente falamos na multiplicação de números inteiros por ${10}$ e seus múltiplos. Agora que já conhecemos os números com aproximação decimal após a vírgula, vamos ver como ficam eles, quando multiplicados por ${10, 100, 1000 ou 0,1; 0,01; 0,001}$ e assim por diante.

Vamos lembrar, onde foi que colocamos a vírgula, quando fizemos as divisões não exatas. Não foi depois dos algarismos ditos inteiros? Pois é isso mesmo. De forma que um número inteiro, tem, depois de seu último algarismo uma vírgula, que fica subentendida, uma vez que não há parte decimal. Vamos ver o que acontece com a vírgula, nessa multiplicação.

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Matemática – Aritmética – Notação exponencial ou científica

Epa! Que bicho é esse?

A matemática é aplicada em todos os campos da atividade humana. Não raro temos a necessidade de escrever números extremamente pequenos e outras tantas vezes nos deparamos com outros números imensamente grandes. Tanto em uma situação, quanto em outra, acabamos ficando com dificuldades de exprimir ou mesmo fazer a leitura correta desses números extremos. 

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13.4.1 – Matemática – Aritimética operações com radicais.

Vamos trabalhar mais um pouco com radicais?

  1. Efetue as operações indicadas entre radicais.

a) ${\frac{{\sqrt[3]{2401}}\cdot{(2)}\cdot{\sqrt[3]{7}}}{\sqrt{343}}}$

Fatorando os radicandos e exprimindo na forma exponencial

${\frac{{\sqrt[3]{7^{4}}}\cdot{(2)}\cdot{\sqrt[3]{7}}}{\sqrt{7^{3}}}}$

Simplificando os radicais

${\frac{{\sqrt[3]{7^{3}\cdot {7}}}\cdot{(2)}\cdot{\sqrt[3]{7}}}{\sqrt{7^{2}\cdot{7}}}}$

${\frac{{{7}\cdot\sqrt[3]{7}}\cdot{(2)}\cdot{\sqrt[3]{7}}}{{7}\cdot\sqrt{7}}}$

${\frac{{{14}\cdot{\sqrt[3]{7}}}}{{7}\cdot\sqrt{7}}}$

${\frac{{{2}\cdot{\sqrt[3]{7}}}}{\sqrt{7}}}$

Reduzindo ao mesmo índice: m.m.c (2 e 3) = 6

${\frac{{{2}\cdot\sqrt[6]{7^{2}}}}{\sqrt[6]{7^{3}}}}$

${{2}\cdot\sqrt[6]{\frac{7^{2}}{7^{3}}}}$

${{2}\cdot\sqrt[6]{7^{2 – 3}}}$

${{2}\cdot\sqrt[6]{7^{-1}}}$

b) ${\left[\frac{\left({\sqrt[5]{2048}} : {\sqrt[5]{15625}}\right)\cdot{\sqrt[3]{5^{4}}}}{{3}\cdot\sqrt[3]{5^{2}}}\right]}$

Exprimindo os radicandos na forma de potências por fatoração:

${\left[\frac{\left({\sqrt[5]{2^{11}}}\right) : \left({\sqrt[5]{5^{6}}}\right)\cdot{\sqrt[3]{5^{4}}}}{{3}\cdot\sqrt[3]{5^{2}}}\right]}$

${\left[\frac{\left({\sqrt[5]{2^{10}\cdot{2}}}\right) : \left( {\sqrt[5]{5^{5}\cdot{5}}}\right)\cdot{\sqrt[3]{5^{3}\cdot{5}}}}{{3}\cdot\sqrt[3]{5^{2}}}\right]}$

${\left[\frac{\left({{4}\cdot\sqrt[5]{2}}\over{{5}\cdot\sqrt[5]{5}}\right)\cdot{{5}\cdot\sqrt[3]{5}}}{{3}\cdot\sqrt[3]{5^{2}}}\right]}$

Reduzindo os radicais ao mesmo índice: mmc(3; 5) = 15 e simplificando os fatores comuns.

${\left[\frac{\left({{4}\cdot\sqrt[15]{2^{3}}}\over{{5}\cdot\sqrt[15]{5^{3}}}\right)\cdot{{5}\cdot\sqrt[15]{5^{5}}}}{{3}\cdot\sqrt[15]{5^{10}}}\right]}$

${\left[\frac{\left({{4}\cdot\sqrt[15]{2^{3}}}\over{\sqrt[15]{5^{3}}}\right)\cdot{\sqrt[15]{5^{5}}}}{{3}\cdot\sqrt[15]{5^{10}}}\right]}$

${\left({4\sqrt[15]{{2^{3}}{5^{5}}}}\over\sqrt[15]{5^{3}}\right)}\cdot{\left({1}\over{3}\sqrt[15]{5^{10}}\right)}$

${{4\sqrt[15]{{2^{3}}{5^{5}}}}\over{{3}\sqrt[15]{{5^{3}}\cdot{5^{10}}}}}$

${\left({4}\over{3}\right)\cdot\sqrt[15]{{2^{3}}\over{5^{8}}}}$

c) ${\left({{a^2}\sqrt[3]{{b^5}\cdot{c^4}}}\over{{b^3}\sqrt[3]{{a^4}\cdot{c^5}}}\right)}$

Introduzindo os fatores externos nos radicais teremos:

${\left({\sqrt[3]{{a^6}\cdot{b^5}\cdot{c^4}}}\over{\sqrt[3]{{a^4}\cdot{b^6}\cdot{c^5}}}\right)}$

Simplificando os fatores comuns sobra:

${\left({\sqrt[3]{{a^2}\over{b}\cdot{c}}}\right)}$

d) ${\left[{\left({3{x}\sqrt[3]{x^2 + y}}\right)\cdot\left({2{y}\sqrt{x^2 – y}}\right)}\over{{9}\sqrt[3]{x^4 – y^2}}\right]}$

Cancelando os fatores comuns, fica:

${\left[{\left({{x}\sqrt[3]{x^2 + y}}\right)\cdot\left({2{y}\sqrt{x^2 – y}}\right)}\over{{3}\sqrt[3]{x^4 – y^2}}\right]}$

Introduzindo os fatores externos nos radicais:

${\left[{\left({\sqrt[3] {{x^{3}}\cdot{(x^2 + y)}}}\right)\cdot\left(\sqrt[2]{{2^{2}{y^{2}}\cdot {(x^2 – y)}}}\right)}\over{\sqrt[3] {{3^{3}} {(x^4 – y^2)}}}\right]}$

Reduzindo os radicais ao mesmo índice: mmc(2;3) = 6

${\left[{\left({\sqrt[6] {{x^{6}}\cdot{(x^2 + y)^{2}}}}\right)\cdot\left(\sqrt[6]{{2^{6}{y^{6}}\cdot {(x^2 – y)^{3}}}}\right)}\over{\sqrt[3] {{3^{3}} {(x^4 – y^2)}}}\right]}$

${\sqrt[6]{{{2^{6}\cdot{x^{6}}\cdot{y^{6}}\cdot{(x^{2} +y)}^{2}\cdot{(x^{2} – y)}^{3}}}\over{{3^{6}} {(x^4 – y^2)}^{2}}}}$

${{{2xy}\over{3}}\sqrt[6]{{{(x^{2} +y)}^{2}\cdot{(x^{2} – y)}^{3}}\over{{(x^2 + y)^{2}(x^2 -y)^{2}}}}}$

${{{2xy}\over{3}}\sqrt[6]{x^{2} – y}}$

Agora é sua vez

Efetue as operações com os radicais e simplifique o que for possível.

a) ${\sqrt[3]{4096}\cdot\sqrt[5]{(x + y)}^{10}}$

b)${{{2x}\sqrt[2]{(a^{2} + b)^{3}}\cdot\sqrt[3]{(a^{2} + b)^{2}}}\over\sqrt[3]{(a^{4} – b^{2})}}$

c) ${{\sqrt[3]{(4x^{2} – 12x + 9)}\cdot\sqrt[2]{(x^{2} – 1)}}\over\sqrt[2]{(x + 3)\cdot(x + 1)}}$

d)${{{5x^{2}}\sqrt[3]{(x + y^{2})^{6}}}\over{{6y}\sqrt[2]{(x^{2} – y^{4}}}}$

e)${{{(2x – y)}\cdot\sqrt[3]{2x + y}}\over{\sqrt[2]{(4x^{2} – y^{2})}}}$

f) ${{{3a}\sqrt[2]{2a}} + {{5b}\sqrt[6]{8a^3}} – {{2b}\sqrt[4]{4a^2}}}$

g)${\left[{\sqrt[6]{(x^2 – 1)}^2}\cdot{\sqrt[3]{(x^2 + 1)}^2}\right]\cdot{2y}\sqrt[2]{x^2 – 1}}$

h)${\left[{{\sqrt{(2a + b)}^3}\cdot{\sqrt[5]{(2a + b)}^2}}\over{{3ab}\sqrt[5]{(2a – b)\cdot(4a^2 – b^2)}}\right]}$

Se tiver dificuldades na solução dos exercícios propostos, entre em contato por meio de um dos canais abaixo listados e resolveremos as dificuldades.

Curitiba, 27 de setembro de 2019.

Décio Adams

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013.5 Matemática, aritmética. Redução de radicais ao mesmo índice.

Redução ao mesmo índice.

Vimos que é importante dar atenção ao índice dos radicais, especialmente na realização de algumas operações com eles. Então vejamos se é possível fazer algo para que estes índices se tornem iguais em radicais onde eles são diferentes. Vamos ver um exemplo bem simples.

$\sqrt {3} \cdot \root 3\of {5} =?$

No primeiro temos o índice 2 (subentendido) e no segundo o índice é 3. Lembram-se de um assunto visto anteriormente denominado Mínimo múltiplo comum?  ou apenas mmc? Pois é hora de recorrer a essa ferramenta de cálculo.

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013.3 – Matemática, aritmética. Simplificação de radicais

Vamos tornar os radicais mais simples

O que vimos no post anterior, permite fazer algumas transformações que nos ajudam em muitas situações a obter um radical mais simples ou escrito de forma mais conveniente à situação com que nos deparamos.

Tomemos como exemplo o radical.

$\root 6 \of {2000} = ?$

Decompondo o radicando $2000$ em seus fatores primos, teremos:

$\root 6 \of {{2^4}\cdot {5^3}}=?$

Transformando em potências com expoentes fracionários fica:

${2^ \frac{4}{6}}\cdot{5^ \frac{3}{6}} = ?$

Simplificando os expoentes ficamos com:

${2^ \frac{2}{3}}\cdot {5^\frac{1}{2}} =?$

Reescrevendo na forma de radical, fica:

$\root 3\of {2^2}\cdot \sqrt {5} $

Resultou um produto de dois radicais de índices diferentes e expoentes menores.

Vejamos um exemplo diferente:

$\root 3 \of {1728} =?$

Em fatores primos, temos:           

$\root 3 \of{{2^6}\cdot{3^3}} = ?$

Em forma de expoentes fracionários:

${2^\frac{6}{3}}\cdot {3^\frac{3}{3}} =?$

${{2^2}\cdot {3^1} = 4\cdot 3 = 12}$

Neste caso temos um radicando com raiz exata e não há mais necessidade do uso de radical.

Vamos ver outro exemplo:

$\root 5 \of {256} = ?$

Começamos novamente decompondo em fatores primos.

$\root 5 \of {2^6} = \root 5 \of {{2^5}\cdot {2}} $

Obs.: a potência $2^6$ foi desdobrada em multiplicação de potências de mesma base $ {2^5}\cdot {2}$.

${2^\frac{5}{5}}\cdot {2^\frac{1}{5}} = 2\cdot {\root 5 \of2}$

Veja que ficou bem simplificado o radical.

Mais um exemplo:

$\sqrt {216} = ?$

Da decomposição em fatores primos resulta:

$\sqrt {{2^3}\cdot {3^3}}= ?$

Escrevendo as potências como produtos de potências de mesma base, fica:

$\sqrt{{2^2}\cdot{2}\cdot{3^2}\cdot{3}} =?$

${2\cdot 3}\cdot \sqrt{2\cdot3} = 6\cdot\sqrt{6}$

Novo exemplo: $\root 3\of {10125} =?$ 

$\root 3\of {{3^4}\cdot{5^3}} =?$

$\root 3\of {{3^3}\cdot{3}\cdot{5^3}} = ?$

$ 3\cdot \root 3\of {3}\cdot {5} = 15\cdot\root 3\of{3}$

Último exemplo.

$\root 5\of {23328} = ?$

Decompondo em fatores primos.

$\root 5\of {{2^5}\cdot{3^6}} =?$

$\root 5\of{{2^5}\cdot{3^5}\cdot{3}} = 2\cdot {3}\cdot\root 5\of {3} = 6\cdot\root 5\of {3}$

Aproveite para treinar esse assunto. Simplifique os radicais da listagem abaixo.

I) $\root 3\of {243} =?$

II) $\root 5\of {9216} =?$

III)$\sqrt {6912} =?$

IV)$\root 7\of {1024} =?$

V) $\root 4\of {50000} =?$

VI) $\sqrt {24696} =?$

VII)$\sqrt {18000} =?$

VIII)$\root 3\of {10000} =?$

IX) $\root 5\of {18225} =?$

X) $\sqrt {10648} =?$

Havendo dúvidas, entre em contato para esclarecer e resolver suas dificuldades.

Curitiba, 10 de novembro de 2018

Décio Adams

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013.1 – Matemática, aritmética. Radiciação de naturais.

O caminho inverso. – Radiciação.

 

Assim como em outras situações, estamos vendo que, a cada nova operação matemática que aprendemos, logo depois aparece outra, que faz o caminho contrário. E não seria diferente com a potenciação.

  • Vamos pegar um número, potência de 3. Esse número vai ser 243. Vamos decompor em seus fatores, para sabermos qual é o expoente ao qual foi elevada a base 3, para encontrar 243.
  • O número é ímpar e por isso não divisível por dois ou seus múltiplos. Para seguir somamos os algarismos que formam o número $2 + 4 + 3 = 9$ que é divisível por $3$

  • Fizemos cinco divisões sucessivas por $3$, até resultar quociente $1$. Dessa forma temos que $\color{Blue}{3^5 = 243}$
  • Então podemos representar:
  • $\color{Blue}{243 = 3^5 = 3\times3\times3\times3\times3} $

A base 3, elevada ao expoente 5 e obtemos a potência 243.

  • Neste caso dizemos que 3 é a raiz quinta de 243.

Essa operação inversa se denomina Radiciação  e se representa na forma de um radical, onde temos:

  • Radicando é número cuja raiz estamos determinando.
  • Índice é o número que indica o expoente ao qual deve ser elevada a raiz para resultar o radicando.
  • Raiz é a base da potenciação que resulta no radicando.

Assim, usando o símbolo:\[\bbox[4px,border:2px solid olive]{\color{Blue}{ \root 5 \of {243} = 3}}\]

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011.3 – Matemática, aritmética. Potenciação de potências e expoente exponencial

Buscas na internet.

Pesquisando na internet, descobri que nos últimos dias a procura pelo assunto potenciação, por parte dos internautas, aumentou quase 100%. Isso significa que estou atacando um dos assuntos mais procurados. Vamos seguir mais um pouco. Apresentar mais uns detalhes sobre o assunto.

  • Vamos ver como se faz uma multiplicação de potências iguais.
  • Assim: $\color{Blue}{3^2\times 3^2\times 3^2\times 3^2 = (3^2)^4}$
  • Temos agora uma potência de potência, isto é, três elevado ao quadrado, elevado a quarta potência.
  • Vamos aplicar no começo, a regrinha da multiplicação de potências de mesma base.
  • Teremos:$\bbox[4px,border:2px solid olive]{\color{Blue}{3^{(2+2+2+2)} = 3^8}}$

Se observarmos bem, os expoentes na expressão $\color{Blue}{{[(3)^2]}^4}$, vemos que, se multiplicarmos os expoentes $\color{Blue}{2\times 4= 8}$ ou seja a soma dos expoentes das potências iguais.

Dessa forma pode-se afirmar que:

  • “Para elevar uma potência a outra potência, basta conservar a base e multiplicar os expoentes”.
  • Vamos exercitar um pouco?
    • $\color{Blue}{[(4)^2]^3 = 4^{(2\times 3)} = 4^6}$
    • $\color{Blue}{[(7)^3]^3 = 7^{(3\times 3)} = 7^9}$
    • $\color{Blue}{[(11)^4]^2 = (11)^(4\times 2) = (11)^8}$
    • $\color{Blue}{{[(5)^4]^5} = 5^{(4\times 5)} = 5^{20}}$

Fica muito simples perceber que a operação potenciação apresenta bem mais possibilidades de aplicações úteis, do que meramente substituir uma multiplicação por uma expressão mais simples, mais curta. Começam a pintar várias novidades. O que vimos até aqui é apenas um pequeno vislumbre do que é possível. Mas vamos devagar. Um degrau de cada vez.

Vamos recordar o que já vimos até aqui?

  • Transformar potências em multiplicações de fatores iguais.
    • $\color{Blue}{7^3 = ?}$
    • $\color{blue}{5^2 = ?}$
    • $\color{Blue}{8^6 = ?}$
    • $\color{Blue}{3^4 = ?}$
    • $\color{Blue}{2^5 = ?}$
  • Escrever na forma de potências as multiplicações.
    • $\color{Blue}{3\times3\times3\times3\times5\times5\times5 = ?}$
    • $\color{Blue}{5\times5\times5\times5\times5\times5 = ?}$
    • $\color{Blue}{4\times4\times4\times4\times4\times4\times4\times4 = ?}$
    • $\color{Blue}{{11}\times{11}\times{11}\times{11}\times{11} = ?}$
    • $\color{Blue}{7\times7\times7\times7 = ?}$
  • Escrever o resultado das potências.
    • $\color{Blue}{3^3 = ?}$
    • $\color{Blue}{5^3 = ?}$
    • $\color{Blue}{2^5 = ?}$
    • $\color{Blue}{7^1 = ?}$
    • $\color{navy}{6^0 = ?}$
    • $\color{navy}{(500)^0 = ?}$
    • $\color{navy}{(50)^1 = ?}$
  • Efetuar as multiplicações de potências de mesma base.
    • $\color{Blue}{{3^2}\times{3^4}\times{3^2}\times{3^3}\times{3^5} = ?}$
    • $\color{Blue}{{5^4}\times{5^3} = ?}$
    • $\color{Blue}{{4^0}\times{4^3}\times{4^5} = ?}$
    • $\color{Blue}{{6^2}\times{6^3}\times{6^3}\times{6^2} = ?}$
    • $\color{Blue}{{7^5}\times{7^1}\times{7^2} =?}$
  • Efetuar as divisões das potências de mesma base.
    • $\color{Blue}{{(5^8)}\div {(5^3)} = ?}$
    • $\color{Blue}{{(13)^5}\div{(13)^2} = ?}$
    • $\color{Blue}{{(4^7)}\div{(4^7)} = ?}$
    • $\color{Blue}{{(6^3)}\div{(6^1)} = ?}$
    • $\color{Blue}{{(8^6)}\div{(8^5)} = ?}$
  • Vamos dar mais um passinho?
    • E se o expoente for uma potência?
    • $\color{Blue}{{{5^3}^2} = 5^9}$
  • Trata-se agora de um expoente exponencial. Antes de elevarmos a base ao expoente, precisamos efetuar a potência desse expoente. Ou seja, precisamos efetuar o $\color{Brown}{3^2= 9}$ e depois elevar o 5 à nona potência. Teremos então: $\color{Brown}{5^{9}}$

Note que se multiplicássemos os expoentes ($\color{Brown}{3\times 2 =6}$, teríamos $\color{Brown}{5^{3\times 2} = 5^6}$, que é totalmente diferente. Notamos que a coisa fica um pouco mais complexa. Portanto cuidado. Potência de potência não é o mesmo que potência com expoente exponencial. Felizmente o uso dessa forma é menos comum, do que a primeira. Um pouco de exercício faz bem, né!

  • Efetue as potências indicadas.
    • $\color{Blue}{{{7^5}^2} = ?}$
    • $\color{Blue}{{{5^3}^1} = ?}$
    • $\color{Blue}{{{6^4}^3} = ?}$
    • $\color{Blue}{{{8^3}^4} = ?}$
    • $\color{Blue}{{{9^2}^3} = ?}$
  • Transforme os expoentes das potências em exponenciais.
    • $\color{Blue}{3^{32} = ?}$
    • $\color{Blue}{7^{243} = ?}$
    • $\color{Blue}{(13)^{27} = ?}$
    • $\color{Blue}{5^{625} = ?}$
    • $\color{Blue}{9^{256} = ?}$
  • Adendo: Um leitor me enviou a seguinte pergunta, ou melhor questão: Realizar a divisão que ele encontrou num livro ou apostila e não entendeu como resolver.

  • Exercício de divisão
    Exercício de divisão
  • A divisão apresentada é a divisão de duas potências. Seria assim:
  • $\color{navy}{{{{{{2^3}^2}^1}^8}^7}^6}\div {{{{{{4^2}^2}^8}^0}^9}^6}$
  • Vemos uma sucessão de potências em número de 6 (seis). À primeira vista parece algo difícil de resolver. Se fôssemos desenvolver tudo, iriamos fazer uma montanha de cálculos desnecessários. Não podemos esquecer que a matemática tem alguns atalhos que nos levam à resposta num piscar de olhos. Aquele problema gigante, se resolve num clic.
  • Acompanhem o raciocínio. Na potência dividendo, temos no quarto expoente de cima para baixo o número 1(um). Isto significa que iremos elevar 1(um) ao expoente que existir acima dele e o resultado só pode ser 1(um). Continuando vamos ter:
  • $\color{Blue}{2^1 = 2}$
  • Para terminar temos $\color{Blue}{3^2 = 9}$
  • Reduzimos o dividendo à potência $\color{Blue}{2^9}$
  • No divisor vamos encontrar na terceira posição, do último expoente para baixo. Sabemos que qualquer expoente para 0(zero), resulta igual a 0.
  • O próximo expoente é 8, e vamos ter $\color{Blue}{8^0 = 1}$
  • Na sequência temos o expoente 2 e fica $\color{Blue}{2^1 = 2}$
  • Terminamos com $\color{Blue}{2^2 = 4}$
  • Passamos a ter $\color{Blue}{4^4} = {(2^2)}^4 = {2^{2×4}} =2^8 $
  • Efetuando a divisão $\color{Blue}{{2^9}\div{2^8} = 2^{9-8} = 2^1 = 2}$.
  • Este resultado comprova que a resposta indicada na figura é a correta.
  • Andamos mais um passo. Se você for um dos que procuraram pelo assunto potenciação na internet e tiver interesse em aprofundar o assunto, entre em contato comigo nos endereços que constam abaixo do artigo. Estou a disposição para orientar e tirar suas dúvidas. Legal?

Curitiba, 05 de novembro de 2018.

Décio Adams

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011.2 – Matemática, aritmética. Operações com naturais – Potenciação. Operações com potencias.

Operações com potências

Vamos começar por um ponto bem simples.

  • Seja: $\color{Brown}{3^5 \times 3^2 = 243 \times 9 = 2187}$
  • Mas podemos fazer: $\color{Brown}{(3\times 3\times 3\times 3\times 3)\times (3\times 3) = ?}$

Note que agora temos uma multiplicação de $\color{Brown}{7}$(sete) fatores iguais e podemos escrever então:

  • \[\bbox[4px,border:2px solid olive]{\color{Brown}{3^5 \times 3^2 = 3^{(5+2)} = 3^7}}\]

Isso nos mostra que, quando multiplicamos potências de mesma base, podemos somar os expoentes e deixar o resultado na forma exponencial.

  • “Para resolver um produto de potências de mesma base, somamos os expoentes e conservamos a base”.

Não vou usar aqui letras para substituir os números, pois ainda não falei de álgebra. Estou tratando apenas de aritmética, onde não entram símbolos alfabéticos.

  • Vamos exercitar?
  • $\color{Brown}{6^2\times6^4 =?}$
  • $\color{Brown}{4^3\times4^2\times4^5=?}$
  • $\color{Brown}{2^1\times2^2\times2^2\times2^3=?}$
  • $\color{Brown}{5^3\times5^4\times5^2=?}$
  • Obs.: eu coloquei de propósito no terceiro exercício uma potência de expoente $\color{Blue}{1}$. Por que isso? Existe uma demonstração para provar isso, mas trataremos disso daqui a pouco. Mas se o expoente é $\color{Blue}{1}$, significa que teríamos uma multiplicação de $\color{Blue}{1}$(um) fator igual a $\color{Brown}{2}$. Então o seu resultado só poderia ser dois. Por extensão, todos os números escritos sem expoente, tem automaticamente como expoente o número $\color{Brown}{1}$, subentendido. De maneira que não é preciso escreve-lo, pois sabemos que ele existe. Em outro momento vamos demonstrar quanto vale uma potência de expoente $\color{Brown}{0}$ (zero).
  • E se em em vez de multiplicar potências de mesma base, estivermos dividindo essas potências?
  • Assim: $\color{Brown}{2^7 : 2^5 = 128 : 32 = 4}$

Podemos notar que $\color{Brown}{4 = 2^2}$.

  • Olhando bem para o resultado, vemos que esse último expoente é igual a $\color{Brown}{(7 – 5)}$, ou seja a diferença entre os expoentes do dividendo e do divisor. Então podemos resolver a divisão de potências de mesma base, fazendo a subtração dos expoentes (dividendo – divisor) e conservar a base. Vamos ver outros exemplos.
  • $\color{Brown}{6^5 : 6^3 = 6^{(5-3)} = 6^2}$
  • $\color{Brown}{7^8 : 7^5 = 7^{(8-5)}=7^3}$
  • $\color{Brown}{3^{12} : 3^7 = 3^{(12 – 7)} = 3^5}$

É possível perceber que a divisão dessa forma fica facilitada. Em lugar de multiplicarmos os números, encontrar o resultado das potências e depois dividir, para transformar novamente em potência, fazemos apenas uma subtração e o resultado aparece de forma simples.

  • “Para dividir potências de mesma base, conservamos a base e efetuamos a subtração do expoente do dividendo menos o do divisor”.

Assim fica fácil. São os primeiros degraus, antes dos outros que vem a seguir.

Falei antes que iria demonstrar por que os números com expoente $\color{brown}{1}$, são iguais à base. É bem fácil.

  • $\bbox[4px,border:2px solid olive]{\color{Brown}{3^5 : 3^4 = 3^{(5-4)} = 3^1}}$
  • Vamos desenvolver as potências:
    • $\color{Brown}{(3\times 3\times 3\times 3\times 3) : (3\times 3\times 3\times 3) = 243 : 81  = 3}$

    A divisão feita na forma de potências resultou $\color{Brown}{3^1}$ e com os números representados pelas potências o resultado foi $\color{Brown}{3}$. Será que pode mudar o valor do resultado, pelo simples fato de representar os números de forma diferente?

    É claro que não. Isso invalidaria uma das fórmulas de cálculo. E então podemos dizer que $\color{Brown}{3^1 = 3}$. Isso se aplica a todos os números. O número escrito sem expoente, sempre se subentende que ele têm por natureza o expoente $\color{Brown}{1}$. Certo?

    “Potências de expoente igual a unidade, tem valor igual à base”.

    Agora vamos ver outro caso

    • $\color{Brown}{6^2 : 6^2 = 6^{(2 -2 )} = 6^0}$

    Desenvolvendo as potências:

    • $\color{Brown}{(6\times 6) : (6\times 6) = 36 : 36 = 1}$

    O resultado das duas formas de fazer a divisão deu diferente. Já vimos que isso não pode acontecer. Qual é a conclusão?

    • $\bbox[4px,border:2px solid olive]{\color{Brown}{6^0=1}}$

    Novamente isso se aplica a qualquer número. Se o seu expoente for igual a $\color{Brown}{0}$ (zero), o valor do número é $\color{Brown}{1}$.

    • “Qualquer potência de expoente $0$(zero) tem valor igual a unidade”.

    • Uns exercícios para treinar.

      • Efetue as multiplicações de potências de mesma base.
        • $\color{Blue}{7^3\times7^2\times7=?}$
        • $\color{Blue}{5^2\times5^4\times5^3 =?}$
        • $\color{Blue}{8^7\times8^3=?}$
        • $\color{Blue}{3^4\times3^2=?}$
      • Efetue as divisões de potências de mesma base.
        • $\color{Blue}{(12)^5 : (12)^2 =?} $
        • $\color{Blue}{(15)^6:(15)^2=?}$
        • $\color{Blue}{9^4:9^1=?}$
        • $\color{Blue}{8^5:8^5=?}$
        • $\color{Blue}{7^4:7^3=?}$
        • $\color{Blue}{3^5 : 3^4 =?}$
        • $\color{Blue}{(11)^3 : (11)^3 = ?}$
        • $\color{Blue}{(45)^7 : (45)^7 = ?}$
        • $\color{Blue}{5^7 : 5^6 = ?}$

    Se for de seu desejo, é fácil criar novos exercícios semelhantes. Os números estão à sua disposição. Eles não reclamam, não cobram nada mais do que atenção e raciocínio.

    Obs.:Em caso de dúvida, faça contato para esclarecer e sanar sua dificuldade, usando um dos meios fornecidos logo abaixo. Mesmo que a dificuldade seja de outra ordem, dentro de matemática, talvez eu possa ajudá-lo. Não espere a dúvida ficar velha, de cabelos brancos e criar problemas. 

    Curitiba, 05 de novembro de 2018

    Décio Adams

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