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27 de dezembro de 20171 de julho de 2020

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01.057 – Matemática, Álgebra. Equações incompletas do 2ºGrau, exercícios resolvidos.

Resolvendo exercícios

Determine o conjunto verdade das equações incompletas do segundo grau que seguem.

a) $ 6x² = 0 $

Um produto é nulo se um dos fatores é nulo. No caso, temos dois fatores onde um é igual a seis (6) e o outro $ x^2$. O único fator que pode ser nulo é o segundo e portanto:

$ x^2 = 0 $

$ x = 0 $

$ V = \{0\} $

b) $ x² – 16 = 0 $

Podemos aplicar o método abreviado ou reduzido na resolução dessa equação. Assim:

$ x^2 – 16 = 0 $

${x^2 – 16 +16 = 0 + 16}$

$ x^2 = 16 $

$\sqrt[2]{x^2} = \sqrt[2]{16} $

$ x = \pm {4 } $

$ V = \{ – 4, + 4\} $

c) $ 5x² – 125 = 0 $

O mesmo caso do exercício anterior.

$ 5x^2 – 125 = 0 $

$ 5x^2 – 125 + 125 = 0 + 125 $

$ 5x^2 = 125 $

$ {{5x^2}\over 5} = {125\over {5}} $

$ x^2 = 25 $

$\sqrt[2]{x^2} = \sqrt[2]{25} $

$x = \pm 5 $

$ V = \{ -5, + 5\} $

d) $ 2x² + 10x = 0$

Esta é uma equação incompleta do tipo em que o termo independente c é nulo. O procedimento agora é diferente, como vimos na parte explicativa.

$ 2x^2 + 10x = 0 $

Entre os dois termos da equação existe um fator comum

$ 2x $

Vamos colocar em evidência esse fator comum, dividindo os dois membros por esse mesmo fator.

$ {2x} [{{2x^2 + 10x)}\over 2x}] = 0 $

$ 2x{(x + 5)} = 0 $

Para concluir, vamos igualar os dois fatores a zero e obter as duas raízes correspondentes.

$ 2x = 0 $

${2x\over 2} = {0\over 2}$

$ x = 0$

$ x + 5 = 0 $

$ x + 5 – 5 = 0 – 5 $

$ x = -5 $

$ V = \{-5, 0\} $

e) $ 7x² – 49x = 0$

O mesmo caso anterior. O fator comum entre os dois termos da equação é

$ 7x $

Colocando em evidência:

${7x}\cdot[{{7x^2 – 49x}\over 7x}] = 0 $

$ 7x[ x – 7] = 0 $

Igualando os dois fatores a zero temos:

$ 7x = 0 $

${7x\over 7} = {0\over 7}$

$ x = 0$

$ x – 7 = 0 $

$ x – 7 + 7 = 0 + 7 $

$ x = 7 $

$ V = \{0, 7\} $

f) $ x² + 4x = 0 $

Fator comum entre os dois termos $ x $. Colocando em evidência:

$ x\cdot[{{x^2 + 4x}\over x}] = 0 $

$ x\cdot [x + 4] = 0 $

Igualando os fatores à zero, teremos:

$ x = 0$

$ x + 4 = 0 $

$ x + 4 – 4 = 0 – 4$

$ x = -4$

$ V = \{-4, 0\} $

g) $ 3x² + 18x = 0$

Mais um do mesmo tipo. Fator comum é $ 3x $ Colocamos em evidência:

${3x}\cdot({{3x^2 + 18x}\over {3x}}) = 0 $

$ 3x\cdot({x + 6}) = 0 $

$ 3x = 0 $

$ x = 0 $

$ x + 6 = 0 $

$ x + 6 – 6 = 0 – 6$

$ x = -6 $

$V = \{-6, 0\} $

h) $ 2x² + 12 = 0$

Voltamos ao exemplo visto primeiro. Vamos resolver.

$2x^2 + 12 – 12 = 0 -12 $

$2x^2 = -12 $

${{2x^2}\over 2} = {-12\over 2} $

$ x^2 = -6 $

${ \sqrt[2]{x^2}} = {\sqrt[2]{-6}} $

$ {V = \emptyset} $

i) $ 10 x² – 90 = 0 $

Vamos resolver.

${ 10 x^2 – 90 + 90 = 0 + 90 }$

$ {10x^2 = 90 }$

$ {{10x^2}\over 10} = {{90}\over 10} $

${ x^2 = 9 }$

${\sqrt[2]{x^2} = \sqrt[2]{9} }$

$ x = \pm 3 $

$ V = \{-3, +3\} $

j) $ {3x^2 = 0 }$

Outro exemplo da equação que só tem o termo em $x^2$. Um produto só pode ser nulo se um dos fatores for nulo. Nesse caso, o fator que pode ser nulo é $x^2$. Portanto:

$ x^2 = 0 $

$\sqrt[2]{x^2} = \sqrt[2]{0}$

$ x = 0 $

$V = \{0\}$

l) ${10x^2 – 15x = 0}$

Estamos novamente com uma equação incompleta, onde falta o termo independente da variável, isto é, onde $x^0$. Temos um fator comum entre os dois termos restantes que é $5x$. Colocamos em evidência o fator comum, ficando:

${5x}\cdot[{{10x^2 – 15x}\over{5x}}] = 0 $

${5x[2x – 3] = 0} $

Igualando os dois fatores a zero, temos:

${5x = 0}$

$ x = 0$

${2x – 3 = 0}$

${2x = 3}$

${{2x}\over{2}} = {{3}\over {2}}$

${ x = 3/2 }$

$ V = \{0, 3/2\}$

m) ${7x^2 – 28 = 0}$

Nesta equação o termo inexistente é o que contem a variável $x^1$. Vamos pelo método abreviado:

${7x^2 – 28 = 0}$

$ {{7x^2 – 28}\over 7} = 0$

$ x^2 – 4 = 0$

${ x^2 = 4}$

${\sqrt[2]{x^2} = \sqrt[2]{4}}$

${ x = \pm{2}}$

$ { V = \{- 2, +2\}}$

n) ${3x^2 – 27 = 0 }$

O mesmo caso do anterior.

${3x^2 – 27} = 0$

${{3x^2 – 27}\over 3} = 0$

${x^2 – 9 = 0}$

${x^2 = 9}$

${\sqrt[2]{x^2} = \sqrt[2]{9}}$

${ x = \pm 3}$

$ V = \{-3, +3\} $

o) $ {5x^2 + 25 = 0}$

Vamos ver como fica esse.

${5x^2 + 25 = 0}$

${{5x^2 + 25}\over 5} = 0$

$ {x^2 + 5 = 0} $

$ x^5 = -5 $

$ \sqrt[2]{x^2} = \sqrt[2]{-5} $

$ \sqrt[2]{-5} ∉ R $

Por isso

${V = \emptyset }$

Curitiba, 13 de maio de 2016.

Republicado em 27 de dezembro de 2017.

Décio Adams

22 de dezembro de 201730 de junho de 2020

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01.051 – Matemática, Álgebra, Equação do segundo grau.

Equação do segundo grau

Vimos a equação do primeiro grau, onde a incógnita (variável), tem o expoente igual a unidade. Agora é a vez de termos uma igualdade algébrica, com uma incógnita e o expoente máximo é igual a 2. A forma algébrica dessa equação é formada por um trinômio, igualado a zero. Assim:

$$\color{NavyBlue}{ ax^2 + bx +c = 0} $$

As letras a, b e c, substituem as constantes, isto é, os coeficientes numéricos. Assim, temos um termo com expoente 2, um termo com expoente 1 e o terceiro termo, chamado de termo independente, pois não contém variável, onde consideramos o expoente da mesma igual a zero (0).

Um pouco de história.

A equação do segundo grau é conhecida, em sua forma primitiva há milhares de anos. Há notícias dela nos registros da época dos babilônios. Posteriormente vários matemáticos da Índia deixaram trabalhos relacionados com ela. Hoje usamos na resolução das equações do segundo grau uma fórmula, que leva o nome de um desses matemáticos. É conhecida como Fórmula de Bhaskara. Somos levados a acreditar que foi ele quem desenvolveu a fórmula, porém ela já existia. Ele apenas lhe deu a forma final, ou seja, ele a aprimorou, dando-lhe a forma aproximada do que usamos hoje. Foi no fim da Idade Média, começo do Renascimento que ela recebeu os retoques finais, ficando como é hoje. Vejamos o que é afinal essa fórmula.

$$\color{Sepia}{{x} = { – b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}\over2a}}$$

Na hora de determinar as soluções de qualquer equação do segundo grau, bastará usar esta fórmula e teremos como resultado dois valores, o que é uma característica dessas equações. O número de raízes (soluções) corresponde ao numeral indicativo do grau.

Mas cabe uma pergunta, que provavelmente, pelo menos alguns, estarão se fazendo nesse momento. Como se chega a essa fórmula, partindo da forma geral da equação? Será que alguém, em uma linda noite de luar, olhou para as estrelas e, num lampejo de clarevidência, teve uma iluminação, sentou-se e escreveu a fórmula? Isso seria uma linda fábula infantil, que, nos dias de hoje, até as crianças teriam dificuldade em aceitar. E logicamente não foi assim. Provavelmente o raciocínio foi sendo aperfeiçoado ao longo de gerações, até que se deparou finalmente com essa forma que usamos hoje, o que ocorreu depois da era renascentista.

Vamos ver como se pode mostrar que a fórmula é realmente a solução para as equações do segundo grau. É necessário usar alguns artifícios e aplicar o raciocínio algébrico, aritmético até chegar ao resultado final. Começamos por eliminar o termo independente no primeiro membro, pela adição de um termo (- c) aos dois membros da equação. Assim teremos:

$$\color{Sepia}{ax^2 + bx + c – c = -c }$$

$$\color{Sepia}{ax^2 + bx = -c }$$

Se multiplicarmos todos os termos da igualdade por um determinado valor, a igualdade permanece. Não podemos introduzir elementos estranhos na expressão e por isso vamos multiplicar tudo por $${4a}$$, o que nos leva à seguinte expressão.

$${(ax^2 + bx)}\cdot{(4a)} = {(-c)}\cdot{(4a)} $$

$${ 4a^2x^2 + 4abx} = -4ac $$

Observemos o primeiro membro da equação, nesse ponto. Podemos notar que está faltando apenas um termo $ b^2$ para resultar em um trinômio quadrado perfeito, isto é, o quadrado da soma de dois números. Então podemos chegar a isso, se adicionarmos esse termo aos dois membros da equação e teremos:

$${4a^2x^2 + 4abx + b^2} = {b^2 – 4ac}$$

Se o primeiro membro agora é um trinômio quadrado perfeito, podemos substituí-lo pelo quadrado da soma correspondente. Basta extrairmos a raiz quadrada dos termos que são quadrados perfeitos e poderemos escrever:

$${4a^2x^2 + 4abx + b^2} = {(2ax + b)}^2 $$

Agora podemos substituir na equação do segundo grau o primeiro membro por esse quadrado da soma.

$${(2ax + b)}^2 = b^2 – 4ac $$ Na continuação, extraímos a raiz quadrada de ambos os membros, o que resulta assim:

$$\sqrt{{(2ax + b)}^2} = \sqrt{b^2 – 4ac} $$

Note que no primeiro membro, temos a raiz quadrada de um binômio elevado ao quadrado, o que nos permite cancelar o índice com o expoente, isto é, resta apenas o binômio, sem o expoente nem o radical. Fica assim:

$$ 2ax + b = \sqrt{b^2 – 4ac} $$

Se somarmos aos dois membros o simétrico do termo b, teremos:

$$ 2ax + b – b = -b\pm\sqrt{b^2 – 4ac} $$

$$ 2ax = – b\pm\sqrt{b^2 – 4ac} $$

Dividindo ambos os membros por (2a), estaremos terminando a demonstração.

$${2ax\over 2a} = {{-b\pm\sqrt{b^2 – 4ac}}\over 2a}$$

$$\color{Orchid}{{x} ={{-b^+_-\sqrt{b^2 – 4ac}}\over 2a}}$$

E esta é a fórmula mostrada no começo, conhecida mundialmente como Fórmula de Bhaskara e usada em toda parte para solucionar inúmeros problemas envolvendo as equações do segundo grau.

Lembre-se do que falamos nos parágrafos anteriores. Essas equações têm duas soluções ou raízes. Como isso é obtido?

Olhando bem para a fórmula, vemos que o radical existente no segundo membro é precedido pelos sinais (+) e (-). Isso se deve ao fato de que um número elevado ao quadrado, sempre resulta em positivo. Consequentemente, para cada número positivo, existem duas raízes quadradas simétricas. Por exemplo: $\sqrt{ + 4} = \pm {2}$, pois tanto ${(+2)}^2 = + 4 $ quanto ${(-2)}^2 = +4$

Podemos então dizer que existem duas soluções ou raízes (x’ e x”) para a equação do segundo grau. Iremos obter essas soluções, da seguinte maneira:

$${x’} = {{-b +\sqrt{b^2 – 4ac}}\over 2a} $$

$${x”} = {{-b – \sqrt{b^2 – 4ac}}\over 2a} $$

Uma das soluções é obtida pela soma do resultado da raiz quadrada e a outra pela subtração. Isso traz algumas considerações que serão vistas mais adiante. Por enquanto, vejamos como se aplica essa fórmula na solução de uma equação do segundo grau.

Obs.:Essa demonstração não é cobrada em provas e concursos, salvo em se tratando de concurso para professores de matemática. Eu costumo mostrar para que o aluno saiba que ela não surgiu do nada. Existe todo um raciocínio que leva a esse resultado final. Mesmo não sendo exigida a memorização da demonstração, o fato de saber que ela existe e é obtida seguindo uma lógica, serve de estímulo ao entendimento e aplicação da mesma.

Seja a equação $$\color{Red}{x^2 + x – 6 = 0}$$

Começamos por identificar os coeficientes numéricos. Vamos comparar essa equação com a forma geral. Escrevendo lado à lado, temos:

$${ax^2 + bx + c = 0} $$

$${x^2 + x – 6 = 0}$$

Comparando as duas, vemos que o coeficiente ${a = 1} $ ${b = 1}$ ${c} = {-6} $. Substituindo na fórmula, teremos:

$${x} = {{-1 \pm\sqrt{1^2 – 4\cdot {1}\cdot{(-6)}}}\over {2\cdot{1}}} $$

$${x} = {{-1\pm\sqrt{1 + 24}}\over 2} $$

$${x} = {{-1\pm\sqrt{25}}\over 2}$$

$${x} = {{-1\pm5}\over 2} $$

Agora é a hora de separar para obter as duas raízes.

$${x’} = {{-1 + 5}\over 2} $$

$$ {x’} = {{4\over 2}}$$

$ x’ = 2 $

$${x”} = {{-1 – 5}\over 2}$$

$${x”} = {-6\over 2} $$

$ x” = -3$

Daí resulta que: \[\color{Blue}{V = \{ -3, 2\}}\]

A equação dada, torna-se uma expressão verdadeira se substituirmos o x por -3 ou por 2. Basta verificar.

$$\begin{align} {(-3)}^2 + (-3) – 6 = 9 – 3 – 6 &= 0\end{align}$$

$$\begin{align}{2^2 + 2 – 6} = 4 + 2 – 6 &= 0\end{align}$$

Agora é hora de praticar.

Determine os conjuntos verdade ou as soluções das equações do segundo grau a seguir.

a)$\color{Sepia}{x^2 -4x + 3 = 0}$

b)$\color{Sepia} {x^2 -2x – 15 = 0} $

c)$\color{Sepia} {x^2 + 2x -35 = 0}$

d)$\color{Sepia} {4x^2 -8x + 3 = 0}$

e)$\color{Sepia} {3x^+ 5x – 2 = 0} $

f)$\color{Sepia} {4x^2 + 4x – 15 = 0}$

g)$\color{Sepia}{x^2 + 3x – 40 = 0}$

Curitiba, 06 de maio de 2016. Republicado em 22 de dezembro de 2017.

Décio Adams

22 de dezembro de 201730 de junho de 2020

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01.050 – Matemática, álgebra. Equações do primeiro grau, exercícios resolvidos e para resolver.

Exercícios de equações do primeiro grau

Vamos determinar o conjunto verdade das equações do primeiro grau a seguir.

a)\[\color{Sepia}{7 y – 2 = 26}\] \[{7 y – 2 + 2} = {26 + 2}\] \[{7y} = {28}\] \[{(7y)\over{7}} = {(28\over 7}\] \[y = 7 \]

\[\color{Orchid}{V =\{7\}}\]

b) \[\color{Sepia}{ 25 – 3x = 17 – 7}\] \[25 – 3x -25 = 10 – 25\] \[ -3x = -15\]\[{-3x\over-3}= {-15\over -3}\] \[x = 5\]

\[\color{Orchid}{ x =\{5\}}\]

c)$$\color{Sepia}{ 4x + 12 – x = 25 – 7 }$$

$ 4x – x + 12 – 12 = 18 – 12 $

$3x = 6 $

$ {3x\over 3} = {6\over 3}$

$ x = 2$

\[\color{Orchid}{V=\{2\}}\]

d)$$\color{Sepia}{ 6x – 9 = x + 26}$$

$ 6x – 9 + 9 -x = x – x + 26 + 9 $

$5x = 35 $

${5x\over 5} = {35\over 5} $

$ x = 7 $

\[\color{Orchid}{V =\{7\}}\]

e)$$\color{sepia}{{2\over 3}{x} +{ 5} = {44\over{ 4}}}$$

${2\over3}{x}+ (+ 5 – 5) = 11 – 5 $

${2\over 3}{x}\cdot 3 = 6\cdot 3 $

$ 2x = 18 $

${2x\over 2} = {18\over 2} $

$ x = 9 $

\[\color{Orchid}{V=\{ 9\}}\]

Resolvendo alguns problemas.

José vendeu em sua loja, no decorrer de um dia de semana, várias quantidades de uma mesma mercadoria. Dependendo das quantidades e disposição dos clientes, ele concedeu alguns descontos. Vendeu 3 unidades a um cliente, pelo valor de $R\$ 140,00$. Outro pagou por duas unidades $R\$ 100,00$ e um terceiro pagou por uma unidade $R\$ 60,00$. Qual foi o valor médio de venda de cada unidade?

Vamos representar por$ x $ o valor médio de venda de cada unidade. Podemos assim escrever uma pequena equação.

$\begin{align}{3x + 2x + x} = {140,00 + 100,00 + 60,00}\end{align} $

$\begin{align}{6x} = 300,00\end{align} $

$\begin{align}{6x\over 6} = {300,00\over 6}\end{align}$

$\begin{align} {x} = {50,00}\end{align}$

$$\color{Orchid}{V = R\$ 50,00}$$.

As seis unidades foram vendidas pelo preço médio de $\color{Indigo}{R\$ 50,00}$

2. Uma peça de tecido tem, ao todo, $40\,m$ de comprimento. Uma confecção usa esse tecido para fabricar conjuntos de moleton. Cada conjunto consome 2,5 m de tecido. Quantos conjuntos podem ser fabricados com 5 peças de tecido?

A nossa incógnita nesse problema é a quantidade de conjuntos e vamos representa-la pela letra $y$. O total de tecido obtemos multiplicando o comprimento de cada peça por $5$. Esse total é igual ao número de conjuntos pelo comprimento do tecido gasto na confecção de cada um. Assim:

$\begin{align}{2,5y} = 5\cdot 40\end{align}$

$\begin{align}{2,5y\over 2,5} = {200\over 2,5}\end{align} $

$\begin{align}{y} = {80}\end{align}$

\[\color{Orchid}{V = 80}\].

Podem ser fabricados 80 conjuntos com as 5 peças de tecido.

Alguns exercícios para treinar em seu caderno ou bloco de anotações.

a) Determine o conjunto verdade (solução) das equações do primeiro grau listadas a seguir.

I) $\color{Brown}{24 – 3x = x – 16}$

II)$\color{Brown}{{5\over3}x +{ 8\over6} = {12\over4}}$

III)$\color{Brown}{2x + 7 = 5x + 22}$

IV)$\color{Brown}{{4/3}x – 5/2 = 3x – 42}$

V)$\color{Brown}{81 – 5y = – 3y + 11}$

VI)$\color{Brown}{ – 64 + 2x – 7/2 = 9}$

VII)$\color{Brown}{ 18 + 5y – 9/5 = y -4}$

VIII)$\color{Brown}{ 3x + 25 = – x + 5}$

IX) $\color{Brown}{7x – 26 = 2x + 14}$

X) $\color{Brown}{ 243 – 9x = 27 – 3x}$

b)Resolva, usando equações do primeiro grau, os pequenos problemas propostos a seguir.

I) Dona Elisa resolveu dar uma volta no Shopping Center que havia nas redondezas. Enquanto ia vendo as vitrines, viu um par de sapatos que lhe agradou. Comprou um que lhe servia e na cor preferida por ${ R\$ 145,00}$. Na continuação do seu passeio encontrou também um cinto de que estava necessitada. O preço era de promoção e ela decidiu adquirir o cinto, que custou ${R\$ 45,00}$. Também comprou uma blusa para combinar com uma saia que ganhara de presente do amigo secreto por ocasião do Natal. O preço foi de ${R\$ 55,00}$. A fome bateu e foi até a praça de alimentação, onde comeu uma salada de frutas, junto com um copo de água de coco. Havia verificado que seu limite no cartão de crédito, ao sair de casa, era de ${R\$ 300,00}$. Depois de pagar as compras e o lanche, verificou que ainda lhe restavam ${R\$ 37,00}$ do limite. Qual foi o preço que pagou pela salada de frutas com o copo de água de côco?

II) Pedro foi ao centro da cidade a procura de brinquedos para comprar de presente de Natal para a família. Levava suas contas a sério e não poderia gastar mais do que ${R\$ 500,00}$ nas compras que iria fazer. A vida andava difícil. Começou comprando um par de sandálias para a esposa por ${R\$ 115,00}$, também um tênis para a filha por ${R\$ 83,00}$. Foi até a loja de brinquedos onde adquiriu um boneco dos power rangers para o filho caçula por ${R\$ 145,00}$. Faltava o presente para o filho mais velho, que queria um par de tênis de marca. vamos ajudar Pedro a saber de quanto pode dispor na compra do tênis para o filho, sem ultrapassar o valor inicialmente estabelecido como limite?

III)Joãozinho recebeu de sua mãe uma nota de ${R\$ 50,00}$, junto com um bilhete onde estavam anotadas as compras que deveria trazer da mercearia de seu José, onde fazia o abastecimento da família das pequenas compras do dia-a-dia. Ao chegar no estabelecimento, Joãozinho viu um doce de que gostava muito. Ficou pensando se daria uma sobrinha para comprar um daqueles doces que tanto gostava. No bilhete constavam: 1,0 kg de carne moída de primeira, 1,0 kg de tomate bem maduro, 0,5 kg de cebola, um pacote de 500 g de espaguetti para fazer uma macarronada, dois pés de alface, uma dúzia de ovos, dois litros de leite UHT integral. O menino foi juntando suas compras num pequeno carrinho. O açougueiro colocou um punhado de carne moída e pôs na balança. Na etiqueta do preço constava ${R\$ 22,50}$. Na balança das verduras alguns tomates totalizaram ${R\$ 5,80}$, as cebolas custaram ${R\$ 3,75}$; o pacote de espaguetti saiu por ${R\$ 4,25}$ e os dois litros de custaram ${R\$ 3,20}$ cada um. Os ovos ficaram por ${R\$3,85}$ e cada pé de alface não ficou por menos de ${R\$ 1,35}$. Ajude o Joãozinho a verificar se dá para comprar um daqueles doces, que custam ${R\$ 2,50}$ cada um? Será que vai dar?

Curitiba, 06 de maio de 2016. Melhorado e republicado em 22 de dezembro de 2017.

Décio Adams

21 de dezembro de 201728 de junho de 2020

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01.047 – Matemática, Álgebra. Divisão.

Divisão em álgebra

O processo de divisão algébrica, torna-se por vezes bem complexo. Mas podemos verificar o que é possível fazer. Começamos por monômios, com fatores semelhantes. Subiremos um degrau de cada vez e quando vemos estamos no topo.

Vejamos o exemplo:

$$\color{Sepia}{{15a^4b^3x^2}\div{5a^2bx^2}} $$

Para facilitar vamos colocar na forma de divisão indicada, isto é, como uma fração algébrica.

$${{15a^{4}b^{3}x^{2}}\over{5a^{2}bx^{2}}} $$

Continue lendo “01.047 – Matemática, Álgebra. Divisão.”

17 de dezembro de 201727 de junho de 2020

01.045 – Matemática, Álgebra. Produtos notáveis – Exercícios de fixação.

Exercícios de produtos notáveis.

Usando a regra do quadrado da soma de dois números, obtenha os trinômios quadrados perfeitos que resultam das expressões a seguir. a)${(uv + z)}^2 $ b)$ {(5m + r)}^2 $ c)$ {(7 + 2p)}^2$ d)${(a + 6b)}^2$ e)${(10x^{2 }+ y^{2})}^2$ f)${(mp^{3} + nr^{2})}^2$
Faça o mesmo usando a regra do quadrado da diferença entre dois números, com as expressões abaixo. a)${(5a – 2b)}^2$ b)$ {(a^{2}i – b^{3}j)}^2$ c)$ {(2vx – 3uy)}^2$ d)$ {(4 q^{3} – 6p^{2})}^{2} $ e)${(12 – 3 a^{3})}^2$ f)$ {(15 – 3x)}^2$ g)$ {(7x – 8y)}^2 $
Usando a regra do produto da soma de dois números pela sua diferença, obtenha os binômios resultantes das multiplicações abaixo. a)${(7 + 2x)}{(7 – 2x)}$ b)${(5 – 3y)}{(5 + 3y)}$ c)$ {(ab^{2} + b)}{(ab^{2} – b)}$ d)${(xy + xz)}{(xy – xz)}$ e)$ {(4m – 3n)}{(4m + 3n)}$ f)$ {(7x^{3} + 2y^{2})}{(7x^{3} – 2y^{2})}$
Use agora a regra do cubo da soma de dois números para obter os polinômios de quatro termos resultantes das expressões abaixo. a)${2a + 5b)}^3$ b)${(7 +2j)}^3$ c)$ {(x + 3yz)}^3$ d)$ {(4l + 5m)}^3$ e)${(ma + nb)}^3 $ f)${(11 + 4r)}^3 $
Vamos fazer o mesmo com a regra do cubo da diferença. a)${(4m – 2)}^3$ b)${(3x – 5y)}^3$ c)${(9 – 5a)}^3$ d)${(5 – 4x)}^3 $ e)${(10 – 5c)}^3 $ f)${(3ab – x)}^3$ g)${(pq^{2} – rq)}^3$
Chegou o momento de usar as regras mais avançadas. Multiplique os quadrados das somas pelas diferenças dos mesmos números, usando a regra vista no post anterior. a)${(ax + by)}^{2}\cdot {(ax – by)} $ b)$ {(5 + 3x)}^{2}\cdot{(5 – 3x)} $ c)$ {(4n + m^{2})}^{2}\cdot{(4n – m)} $ d)${(5a + 3b)}^{2}\cdot{(5a – 3b)} $ e)${(7x + 2y)}^{2}\cdot{7x -2y)} $ f)${(10 + 3v)}^{2}\cdot{(10 – 3v)}$ g)${(px + qy)}^{2}\cdot{(px – qy)} $
Agora vamos multiplicar o quadrado das diferenças, pelas somas dos dois números, conforme a regra vista. a)${(3x – 2y)}^{2}\cdot{(3x + 2y)} $ b)${(5a – bx)}^{2}\cdot{(5a + bx)}$ c)${(1 – 5x)}^{2}\cdot{(1 + 5x)}$ d)$ {(6t – 4s)}^{2}\cdot{(6t+ 4s)}$ e)${(8l – z)}^{2}\cdot{(8l +z)} $ f)${(4n – 5m)}^{2}\cdot{(4n +5m)}$ g)${(r – pq)}^{2}\cdot{(r + pq)} $

Para sanar as dúvidas, vamos verificar se esses polinômios estão realmente corretos e isso podemos fazer, substituindo as letras por valores. Se efetuarmos as operações, seguindo os dois caminhos, os resultados devem ser obrigatoriamente iguais, do contrário há algo errado no polinômio, ou então a regra é furada. Vamos tirar essa dúvida.

Escolhendo dois números, que iremos substituir por x e y, podemos verificar as regras uma por uma. Vamos atribuir o valor 7 à letra x e o valor 3 à letra y.

Agora vamos tomar os produtos notáveis, na ordem em que os estudamos.

Quadrado da soma:

$$\color{Sepia}{{ (x + y) }^2 }$$

$\color{Blue}{ x^2 + 2xy + y^2 }$

Vamos substituir as letras x e y, pelos valores 7 e 3, efetuando os cálculos.

${( 7 + 3)}^2$

${(10)}^2 $

Que resulta no número $\color{Red}{100}$.

${(7)^2 + 2\cdot 7\cdot 3 + (3)^2 }$

$ { 49 + 42 + 9}$

$ {91 + 9} $

$$\color{Red}{100}$$

Também resulta no número 100. Isso nos mostra que a regra do quadrado da soma está correta, pois tanto a substituição direta no binômio soma e sua elevação ao quadrado, quanto a substituição no trinômio quadrado perfeito, resultaram no mesmo valor, ou seja 100.

E o quadrado da diferença?

$$\color{Sepia}{ (x – y)}^2$$

$\color{Blue}{x^2 – 2xy + y^2}$

Substituindo as letras pelos seus respectivos valores teremos:

${(7 – 3)}^2$

$ {4}^2 $

$\color{Red}{ 16} $

${(7)^2 – 2\cdot 7\cdot 3 + (3)^2} $

$ {49 – 42 + 9} $

${ 7 + 9} $

$\color{Red}{ 16} $

Novamente, os resultados deram iguais. O que nos demonstra que a regra do quadrado da soma também é válida.

Produto da soma, pela diferença.

$$\color{Sepia}{{(x + y )}{( x- y)}}$$

$\color{Blue}{ x^2 – y^2} $

Fazendo a substituição teremos:

${ (7 + 3)} {(7 – 3)} $

$\color{Red}{{10 \cdot 4} = {40}}$

${7^2 – 3^2} $

${49 – 9}$

$\color{Red}{40}$

Mas não é que deu igual! A regra do produto da soma pela diferença, também está verificada. Interessante não é?! A matemática é uma maravilha e não morde. Basta prestar atenção e começar a entender desde a base. O resto é mera consequência.

Mas ainda falta verificar mais coisas. Como fica o cubo da soma?

$$\color{Sepia}{{(x + y)}^3}$$

$\color{Blue}{x^3 +3 x^{2}y + 3xy^{2}+ y^3} $

${(7 +3)}^3 $

${(10)}^3$

$\color{Red}{ 1000} $

${7^3 + 3\cdot{7}^2\cdot 3 + 3\cdot 7\cdot {3}^2 + 3^3} $

$ {343 + 3\cdot 49\cdot 3 + 3\cdot 7\cdot {3}^2 + 3^3}$

${343 + 441 + 189 + 27 } $

$\color{Red}{1000} $

Maravilha. O cubo da soma também está corretíssimo. Isso é bom, não acha?

O cubo da diferença, parece que nem precisa verificar, mas vamos tirar a prova assim mesmo.

$$\color{Sepia}{{(x – y )}^3}$$

$\color{Blue} {x^3 – 3x^{2}y + 3xy^{2} – y^3}$

Substituindo as letras pelos números, temos;

${( 7 – 3)}^3 $

$ {4}^3 $

$\color{Reed} {64}$

${7^3 – 3\cdot {7}^2\cdot 3 + 3\cdot 7\cdot{3}^2 – 3^3 }$

${343 – 3\cdot 49\cdot 3 + 3\cdot 7\cdot 9 – 27}$

${ 343 – 441 + 189 – 27} $

${532 – 468} $

$\color{Red}{64}$

Uau! Também deu certo. Não vejo a hora de verificar o resto.

Produto do quadrado da soma, pela diferença.

$$\color{Sepia}{{(x + y)}^2\cdot{(x – y)}}$$

$\color{Blue}{x^3 +x^{2}y – xy^{2} – y^3} $

Vamos substituir os números agora.

${( 7 + 3)}^2\cdot {(7 -3)} $

${(10)}^{2}\cdot 4 $

$ {100\cdot 4}$

$\color{Red}{ 400} $

${(7^3 + 7^2\cdot 3 – 7\cdot 3^2 – 3^3} $

$ {343 + 49\cdot 3 – 7\cdot 9 – 27}$

${ 343 + 147 – 63 – 27} $

$ {490 – 90} $

$\color{Red}{400} $

Não resta dúvida. Deu certo mais uma vez.

Produto do quadrado da diferença, pela soma dos dois números.

$$\color{Sepia}{{(x – y)}^{2}\cdot{(x + y)}}$$

$\cpçpr{Blue}{x^3 – x^{2} y – xy^{2} + y^3 } $

Na substituição ficamos com:

${( 7 – 3)}^2\cdot{(7 + 3)} $

$ {4}^2\cdot {(10)} $

$ 16\cdot 10 $

$\color{Red}{160} $

${7^3 – 7^{2}\cdot 3 – 7\cdot{3}^2 + 3^3} $

${ 343 – 147 – 63 + 27}$

$ {370 – 210} $

$\color{Red}{160}$

Fechou de vez. Todas as regras vistas estão corretas e podem ser usadas sem problema. Não resta a menor dúvida.

Eu estou imaginando que alguém, neste momento, depois de ver a resolução de todas as regras, irá dizer: Mas por que vou usar tantos cálculos, se a forma direta é muito mais rápida e simples?

Sou levado a concordar com você. Realmente o cálculo feito com os números, sem todas as potências, sinais, multiplicações e tudo mais é bem mais curto e igualmente correto. Mas, no futuro, continuando os estudos, surgirão momentos, como por exemplo na fatoração, quando estas regras se tornarão extremamente úteis. Posso garantir, sem a menor dúvida, que você irá me agradecer, se conseguir lembrar ou encontrar um lugar qualquer em que isso esteja anotado para poder usar e facilitar sua vida, especialmente quem for continuar seus estudos em alguma área que utiliza matemática como ferramenta constante. Se você não for continuar nesse sentido, não fique triste, pois o conhecimento não ocupa espaço, o raciocínio se desenvolve e é aplicável em inúmeras situações, até mesmo onde você menos espera. Ao aprender estas coisas não estará gastando seu cérebro, que é como os músculos. Quanto mais usa, melhor eles funcionam. Sua memória e mesmo seu cérebro irão lhe agradecer muito pelos exercícios aos quais você os submete, pois isso os mantém ágeis e funcionando à perfeição. A memória é uma coisa natural de nosso cérebro. Ele registra e armazena tudo que vivemos em cada momento, do nascimento até o momento da morte. Pouco lhe importa se você quer ou não lembrar dos fatos. Eles ficam registrados. Por isso, quanto mais você a usar para armazenar coisas úteis, melhor para você mesmo, para sua saúde física e mental. Tudo isso pode até ajudar a retardar o eventual aparecimento de doenças como Alzheimer, Parkinson. Não que isso seja um remédio para evitar esses males, mas que ajuda e muito, disso não resta dúvida.

Curitiba, 16 de abril de 2016. Republicado em 17 de dezembro de 2017.

Décio Adams

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17 de dezembro de 201727 de junho de 2020

01.044 – Matemática, Álgebra, Produtos notáveis (continuação)

Agora o bicho vai pegar

Vamos avançar mais um pouco com os produtos notáveis. Nem todos os livros apresentam esses tópicos, mas vale a pena conhecer, se você deseja ir um pouco mais longe, desenvolver mais suas aptidões.

**– Vamos ver o Cubo da Soma de dois números**

Os dois números, serão novamente representados por duas letras. Para manter a sequência adotada nos primeiros três casos, vamos usar novamente as letras $\color{Red}a$ e $\color{Red}b$ para isso.

$$\color{Brown}{{( a + b)}^3}$$

Podemos separar a potência de expoente 3 em um produto de potências de mesma base, com uma com expoente 2 e outra com expoente 1. Assim:

$$\color{Sepia}{{{( a + b)}^2}{(a + b)}}$$

Como já sabemos o resultado do quadrado da soma, podemos agora fazer a multiplicação do trinômio quadrado perfeito resultante, pela soma dos números $\color{Red}a$ e $\color{Red}b$.

$\color{Brown}{{(a^2 + 2ab + b^2)}{(a + b)}}$

${(a^2)}{a} + {(2ab)}{a} +{(b^2)}{a} + {(a^2)}{b} + {(2ab)}{b} + {(b^2)}{b}$

$a^3 + 2a^2b + b^2a + a^2b + 2ab^2+ b^3$

Temos agora um polinômio com seis termos, onde existem dois pares de termos semelhantes. Vamos agrupar estes termos e depois efetuar a adição de seus coeficientes numéricos.

$a^3 + 2a^2b + a^2b + 2ab^2 + ab^2 + b^3 $

$$\color{NavyBlue}{a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3}$$

O resultado é um polinômio de quatro termos e podemos enunciar a regra para sua obtenção da seguinte maneira:

“O cubo da soma de dois números é igual ao cubo do primeiro termo, mais o triplo do produto entre o quadrado do primeiro termo e o segundo termo, mais o triplo do produto do primeiro termo, pelo quadrado do segundo, mais o cubo do segundo termo”.

Para lembrar mais facilmente.

Na parte literal a variável do primeiro termo tem o expoente 3 no primeiro termo, expoente 2 no segundo termo, expoente 1 no terceiro termo e expoente 0 no quarto termo. A variável do segundo termo segue o inverso, isto é, seus expoentes estão em ordem crescente.

Vejamos um outro exemplo para resolver, aplicando essa regra.

$$\color{Sepia}{{( 2x + 3y)}^3}$$

Para facilitar, vamos por partes. O primeiro termo é 2x e o seu cubo é

$$\color{Red}{{(2x)}^3}$$

$$\color{Red}{8 x^3}$$

O triplo do quadrado do primeiro, multiplicado pelo segundo termo será:

$ {3\cdot{(2^2x^2) (3y)}}$

$\color{Brown}{36 x^2y}$

O triplo do primeiro termo, multiplicado pelo quadrado do segundo será:

$ {3\cdot{2x}\cdot{(3^{2}y^{2})}}$

$\color{Brown}{54xy^{2}} $

O cubo do segundo termo será

${(3y)}^3$

$\color{Red}{27y^3}$

Falta apenas escrever os termos na ordem correta, para terminar:

$$\color{NavyBlue}{ 8x^3 + 36 x^{2}y + 54xy^{2} + 27y^3 }$$

Podemos dizer que esse polinômio de quatro termos é um cubo perfeito.

**É a vez do Cubo da Diferença de dois números**

Para manter a continuidade, vamos considerar os mesmos números (letras) e desenvolver o produto.

$$\color{Brown}{{( a – b )}^3}$$

Novamente desmembramos numa multiplicação de potências de mesma base.

$\color{Sepia}{{( a – b )}^{2} {(a – b)}}$

$ {(a^2 – 2ab + b^2)}{( a – b )} $

$ a^{2}{a} – 2a{a}b + a{b^{2}} + a^{2}{(-b)} – 2ab{(-b)} + b^{2}{(-b)} $

$ a^{3} – 2a^{2}b + ab^{2} – a^{2}b +2ab^{2} – b^{3} $

Agrupando os termos semelhantes e somando os coeficientes:

$ a^{3} – 2a^{2} b – a^{2}b + ab^{2} + 2ab^{2} – b^{3} $

$$\color{NavyBlue}{ a^{3} – 3a^{2}b + 3ab^{2} – b^{3}} $$

Se compararmos esse polinômio com o que foi obtido no caso do cubo da soma de dois números, veremos que eles são exatamente iguais, exceto dois sinais (-) no segundo e quarto termos. Assim, podemos escrever a regra.

“O cubo da diferença entre dois números é dado pela cubo do primeiro termo, menos o triplo do produto entre o quadrado do primeiro e o segundo termo, mais o triplo do produto do primeiro termo pelo quadrado do segundo, menos o cubo do segundo termo”.

Para lembrar mais facilmente.

A ordem dos expoentes nas variáveis segue a mesma sequência do cubo da soma, apenas os termos pares (segundo e quarto), tem um sinal (-) negativo.

Para aplicar a regra, vamos a um exemplo.

$$\color{Brown}{{( ax – by)}^{3}}$$

O primeiro termo é ax e o segundo termo é by. Vamos agora aplicar a regra.

O cubo do primeiro termo é

${(ax)}^{3} $

$\color{Sepia} {a^{3}x^{3}} $

O triplo do quadrado do primeiro multiplicado pelo segundo termo é

$ {3{(ax)}^{2}{(by)}}$

$\color{Sepia}{{3a^{2}bx^{2}y }}$

O triplo do primeiro termo multiplicado pelo quadrado do segundo é

$ {3ab^{2}xy{2} }$

O cubo do segundo termo é

$ {(by)} ^{3} $

$b^{3}y^{3} $

Escrevendo na ordem correta e aplicando os sinais teremos

$$\color{NavyBlue}{{ a^{3}x^{3} – 3 a^{2}bx^{2}y + 3ab^{2}xy^{2} – b^{3}y^{3} }}$$

Produto do quadrado da soma, pela diferença de dois números.

$$\color{Brown}{{( a + b)}^{2}\times {(a – b)}}$$

Já sabemos que o quadrado da soma é um trinômio quadrado perfeito (trinômio soma). Podemos usar o resultado imediatamente.

${( a^{2} + 2ab + b^{2})} {(a – b)} $

$ {a}{a^{2}} + {a}{(2ab)} + {a}{b^{2}} +{(-b)}{a^{2}} + {(-b)}{(2ab)} + {(-b)}{b^{2}} $

$ a^{3} + 2a^{2}b + ab^{2} – a^{2}b – 2ab^{2} – b^{3} $

$ a^{3} + 2a^{2}b – a^{2}b + ab^{2} – 2ab^{2} – b^{3} $

$$\color{NavyBlue}{a^{3} + a^{2}b -ab^{2} – b^{3}} $$

Podemos enunciar a regra para obter o produto do quadrado de dois números pela sua diferença, como segue.

“O produto do quadrado da soma de dois números, pela sua diferença é dado pelo cubo do primeiro termo, mais o quadrado do primeiro multiplicado pelo segundo, menos o primeiro multiplicado pelo quadrado do segundo, menos o cubo do segundo termo”.

Vamos tentar por em prática? Seja:

$$\color{Sepia}{{(2x + y)}^{2}\cdot{(2x – y)}}$$

${(4x^{2} + 4xy + y^{2})}{(2x – y)} $

$ {(2x)}^{3} + {(2x)}^{2}{y} – 2x{y^{2}} – {y^{3}} $

$$\color{Orchid}{ {8x^3 + 4x^{2}y – 2xy^2 – y^3 }}$$

Produto do quadrado da diferença entre dois números pela sua soma.

$$\color{Brown}{{( a – b )}^{2}\cdot{(a + b)}}$$

O procedimento é semelhante ao anterior.

${( a^{2} – 2ab + b^{2})} {(a + b)} $

$ a^{2}a + {(- 2ab)}{(a)} + ab^{2} + a^{2}b + {(- 2ab)}{(b)} + {(b^{2})}{b} $

$ a^{3} – 2a^{2}b + ab^{2} + a^{2}b – 2ab^{2} + b^{3} $

$ a^{3} -2a^{2}b + a^{2}b + ab^{2} -2ab^{2} + b^{3} $

$ a^{3} – a^{2}b – ab^{2} + b^{3}$

$$\color{Indigo}{ a^{3} – a^{2}b – ab^{2} + b^{3} }$$

“O produto entre o quadrado da diferença entre dois números e a sua soma, é igual ao cubo do primeiro termo, menos o produto entre o quadrado do primeiro e o segundo termo, menos o produto entre o primeiro termo e o quadrado do segundo, mais o cubo do segundo termo”.

Obs.: Para memorizar, fica bastante fácil. Basta observar que os termos são obtidos de mesmo modo, apenas há a diferença entre os sinais dos termos. Se conseguir criar um mecanismo que permita recordar essas sequências, terá meio caminho andado para lembrar dos enunciados.

Vamos por em prática.

$ {( ma + n)} {(ma – n)}^{2} $

${( ma + n)}{[(ma)^{2} – 2mna + n^{2}]} $

$\color{Orchid}{ m^{3}a^{3} – m^{2}na^{2} – mn^{2}a + n^{3}}$$

Vamos deixar os exercícios para um momento próximo. Esses são trabalhosos, mas em momentos de aplicação, ajudam a economizar um bocado de tempo no desenvolvimento de expressões maiores. Sem esquecer de um assunto que vem pouco à frente, que é a fatoração, onde fazemos o processo inverso do que fazemos aqui.

Curitiba, 15 de abril de 2016. Republicado em 17 de dezembro de 2017. Atualizado em 07 de junho de 2018.

Décio Adams

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17 de dezembro de 201727 de junho de 2020

01.043 – Matemática, Álgebra. Produtos notáveis.

O que é algo notável?

Tudo que tem uma característica que chama atenção, tem algo além do comum, pode ser apontado como algo notável. Então, a expressão Produtos notáveis tem algo de importante e com aplicações relevantes em algum assunto mais adiante. Vejamos quais são esses casos.

Quadrado da soma de dois números.

Você provavelmente irá pensar que é mais fácil efetuar a soma e depois calcular a potência, ou seja elevar ao quadrado. Mas, se os números estiverem representados por letras, ou letras e números, como fica? Vamos ver?

$$\color{BrickRed}{ a + b} $$

É a adição dos números representados por letras e fica indicada. Vamos elevar ao quadrado:

$$\color{OrangeRed}{{( a + b)}^2}$$

Temos a multiplicação de um binômio por ele mesmo, sendo a o primeiro termo e b o segundo.

${(a + b)}\cdot{(a + b)} $

$ {a}\cdot {a} + {a}\cdot{b} + {b}\cdot {a} + {b}\cdot{b}$

${ a^2 + ab + ba + b^2} $

Há dois termos semelhantes, embora estejam com a ordem das letras invertida, isso não significa nada. Podemos usar a propriedade comutativa da multiplicação e colocar ambos na mesma ordem. Aqui estamos vendo uma aplicação da propriedade vista no estudo das quatro operações. Lá ela não parecia ter importância, mas aqui já fica claro que para alguma coisa serve.

${ a^2 + ab + ab + b^2}$

$$\color{NavyBlue}{ a^2 + 2ab + b^2}$$

O resultado é um trinômio, cujo primeiro termo é o primeiro termo da soma elevado ao quadrado, o segundo termo é o dobro do produto do primeiro pelo segundo termo e o terceiro termo é o quadrado do segundo termo da soma. Isso nos permite estabelecer a regra que pode ser usada em qualquer caso de uma soma de dois números, elevada ao quadrado.

“O quadrado da soma de dois números é igual ao quadrado do primeiro termo, mais o duplo produto (dobro) do primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo”.

Bom para lembrar!

Se observar bem, verá que o primeiro termo da soma, aparece primeiro com o expoente 2, depois com o expoente 1 e por último com o expoente 0, o que o torna igual a 1 (unidade). Já o segundo termo tem os expoentes em ordem inversa: 0, 1 e por último 2.

Vamos aplicar isso em alguns exemplos:

a) $\color{Indigo}{{(2x + y)}^2}$

Primeiro termo é 2x o segundo termo é y.

${{(2x)}^2 + 2\cdot 2\cdot{x}{y} + y^2}$

${{(2^2)\cdot (x^2)}\cdot 2\cdot{x}{y} + (y^2)}$

$$\color{Purple}{4x^2 + 4xy + y^2}$$

b) $\color{Indigo}{{(3m + 5)}^2}$

O primeiro termo é 3m e o segundo termo é 5.

$ {{(3m)}^2 + 2\cdot 3\cdot {m}\cdot 5 + 5^2}$

$$\color{Purple}{9m^2 + 30m + 25}$$

c) $\color{Indigo}{{( 6 + 4xy)}^2}$

O primeiro termo é 6 e o segundo termo é 4xy.

${6^2 + 2\cdot 6\cdot {(4xy)} + {(4xy)}^2 }$

$$\color{Purple}{36 + 48xy + 16x^2y^2}$$

d) $\color{Indigo}{{( p + 3q)}^2}$

Primeiro termo é p o segundo termo é 3q.

$ p^2 + 2\cdot p\cdot 3q + {(3q)}^2 $

$$\color{Purple}{p^2 + 6pq + 9q^2}$$

Resolva aplicando a regra vista os quadrados da soma de dois números, na lista a seguir.

a)$\color{Orchid}{{(3ax + 2by)}^2}$

b)$\color{Orchid}{{(7n + 3m)}^2}$

c)$\color{Orchid}{{(2 + 8mx)}^2}$

d)$\color{Orchid}{{(5a + 3b)}^2}$

e)$\color{Orchid}{{(11 + 5mn)}^2}$

f)$\color{Orchid}{{(4mx + 7n)}^2}$

g)$\color{Orchid}{{(6xy^2 + 2x^2y)}^2}$

h)$\color{Orchid}{{(9pq + 13)}^2}$

Quadrado da diferença de dois números

A mesma coisa que acontece no caso da soma, também ocorre com a diferença. Os números são representados por letras, formando no final a multiplicação de dois binômios iguais. Seja o exemplo:

$$\color{BrickRed}{{( a – b)}^2}$$

A letra a é o primeiro termo e a letra b é o segundo termo da diferença.

$$\color{NavyBlue}{{( a – b)}{(a – b)}}$$

Cada termo do primeiro fator é multiplicado por todos os termos do segundo fator. O que resulta em:

${a}\cdot {a} + {a}\cdot {(-b) } + {(-b)}\cdot {a} + {-b}\cdot{b} $

$ a^{(1+ 1)} – ab – ba + b^{(1 + 1)} $

$$\color{Orchid}{ a^2 – 2ab + b^2}$$

Os dois termos (- ab) e (-ba), são semelhantes, pois a ordem dos fatores pode ser alterada sem causar problemas no resultado. Basta aplicar a propriedade comutativa da multiplicação. Assim passamos a ter que:

“O quadrado da diferença entre dois números é igual ao quadrado do primeiro termo, menos o duplo produto (dobro) do primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo”.

Bom para lembrar!

Também aqui os expoentes das partes literais seguem a mesma sequência como acontece no quadrado da soma. A única diferença é que os sinais que precedem os termos, são alternadamente +, – e +. Isso facilita a recordação do resultado de um produto notável desse tipo.

Vamos exercitar:

a) $\color{Indigo}{{(x – y)}^2}$

O primeiro termo é a letra x e o segundo termo é a letra y.

${(x – y )}{(x – y)}$

$$\color{Orchid}{x^2 – 2xy + y^2}$$

b) $\color{Indigo}{{(3x – 2y)}^2}$

O primeiro termo é 3x e o segundo termo é 2y.

${(3x)}^2 – 2\cdot {(3x)}{(2y)} +{(2y)}^2$

$$\color{Orchid}{9x^2 – 12xy + 4y^2}$$

c) $\color{Indigo}{{(ab – bc)}^2}$

O primeiro termo é ab e o segundo termo é bc.

${(ab – bc)} {(ab – bc)} $

${(ab)}^2 – 2\cdot{(ab)}{(bc)} + {(bc)}^2 $

$$\color{Indigo}{{a^2b^2 – 2ab^2c + b^2c^2}}$$

d) $\color{Indigo}{{(5 – 2a)}^2}$

$ {(5 – 2a)}{(5 – 2a)}$

$ {5^2 – 2\cdot 5\cdot{2a} + {(2a)}^2}$

$$\color{Orchid}{ 25 – 20a + 4a^2 }$$

Obs.: Note que tanto o quadrado da soma como da diferença, resulta sempre em um trinômio, onde há dois termos que são quadrados e um termo que representa o produto dos dois termos. Costumeiramente esses trinômios recebem o nome de Trinômio quadrado perfeito. Voltaremos a falar neles em outro momento, ou seja por ocasião da fatoração.

Resolva aplicando a regra acima, os quadrados das diferenças entre dois números da seguinte sequência.

a)$\color{Brown}{{(5ax – 3bx)}^2}$

b)$\color{Brown}{{(Axy – Byz)}^2}$

c)$\color{Brown}{{(4rp^2 – 3pq)}^2}$

d)$\color{Brown}{{(5xy^3 – 3xy^2)}^2}$

e)$\color{Brown}{{(mz – my)}^2}$

f)$\color{Brown}{{(2aj – 3bj)}^2}$

g)$\color{Brown}{{(6gx – 7gy)}^2}$

h)$\color{Brown}{{(3my – 4n)}^2}$

Produto da soma de dois números pela sua diferença.

Sejam os números representados pelas letras a e b. A soma será (a + b) e a diferença será (a – b). Vamos multiplicar o binômio soma pelo binômio diferença.

$\color{Indigo}{(a + b)}\cdot\color{Orchid} {(a – b)}$

${a}{a} + {a}{(-b)} + {b}{a} + {b}{(-b)} $

${ a^2 – ab + ab – b^2}$

$$\color{Blue}{a^2 – b^2}$$

Notamos que os dois termos semelhantes, são simétricos e por isso sua soma é igual a zero, ou seja, se anulam. O resultado é um binômio diferença entre os quadrados dos dois números.

“O produto da soma de dois números pela sua diferença, é igual à diferença entre seus quadrados”.

Poderíamos também dizer: O produto da soma pela diferença de dois números é igual ao quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo termo”.

Vamos exercitar um pouco.

a) $\color{Sepia}{{(mn + n)}{(mn – n)}}$

$ {{(mn)}^2 – n^2 }$

$$\color{NavyBlue}{ m^2n^2 – n^2 }$$

b) $\color{Sepia}{{(7 – 3x)} {(7 + 3x)}}$

$ {{7}^2 – {(3x)}^2 }$

$$\color{NavyBlue}{ 49 – 9x^2 }$$

c) $\color{Sepia}{{(4x + 3z)}{(4x – 3z)}}$

${(4x)}^2 – {(3z)}^2 $

$$\color{NavyBlue}{16x^2 – 9z^2 }$$

d) $\color{Sepia}{{( 1 + ab)}{( 1 – ab)}}$

$ {1^2 -{(ab)}^2 }$

$\color{NavyBlue}{1 – a^2b^2 }$

Resolva os produtos das somas pelas respectivas diferenças entre dois números, aplicando a regra.

a)$\color{Sepia}{{(2a + 3b)}{(2a – 3b)}}$

b)$\color{Sepia}{{(mn – 5)} {(mn + 5)}}$

c)$\color{Sepia}{{(3ax + 2by)}{(3ax – 2by)}}$

d)$\color{Sepia}{{(mx + ny)}{(mx – ny)}}$

e)$\color{Sepia}{{(7 – 5b)}{(7 + 5b)}}$

f)$\color{Sepia}{{(6az + 3by)}{(6az – 3by)}}$

g)$\color{Sepia}{{(3bp + 5br)}{(3bp – 5br)}}$

h)$\color{Sepia}{{(5qp – 7rp)}{(5qp + 7rp)}}$

Curitiba, 09 de abril de 2016. Republicado em 17 de dezembro de 2017, junto com uma bateria de exercícios de aplicação. Revisto em 07 de junho de 2018.

Décio Adams

16 de dezembro de 201727 de junho de 2020

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01.042 – Matemática – Álgebra, multiplicação de polinômios (exercícios resolvidos)

Exercitar é o caminho da aprendizagem.

Vamos começar por resolver os exercícios que ficaram no último post, sobre esse assunto.

Efetuar a multiplicação dos termos algébricos a seguir.

a) $\color{Sepia}{({7\over 5}{bx})}{({5\over 3}{cx^2})}$

Vamos agrupar os coeficientes e as partes literais, para facilitar a operação.

$({7\over 5})\cdot({5\over3})\cdot {(bx)}\cdot {(cx^2)}$

Entre as frações coeficientes, temos fatores comuns entre numerador e denominador, o que permite simplificar. As partes literais, tem os expoentes da mesma letra somados na multiplicação.

${7\over \not{5}}\cdot{\not{5}\over 3}{bcx^{(1 +2)}} $

$$\color{NavyBlue}{{7\over 3}{bcx^3}}$$

b) $\color{Sepia}{{(2ay)}{(5ay)}}$

Agrupando os fatores

${2\cdot 5}\cdot{a\cdot a}\cdot{y\cdot y}$

$ {10\cdot {a^{(1 + 1)}}\cdot {y^{(1+1)}}}$

$$\color{NavyBlue}{10a^2y^2}$$

c) $\color{Sepia}{{(6 pr)}{({2\over3}{qr})}}$

Obs.: Qualquer número inteiro pode ser escrito na forma de uma fração, com o número por numerador e denominador igual a unidade. É o que iremos fazer neste exercício, para entender melhor a multiplicação dos coeficientes numéricos. Com a prática isso se torna dispensável.

$({6\over 1})\cdot({2\over 3})\cdot{(pr)}\cdot{(qr)}$

O numerador da primeira fração é divisível pelo denominador da segunda. Vamos simplificar, eliminando o denominador.

$({\not{6}\over 1})\cdot({2\over \not{3}}\cdot pr\cdot qr$

$ {(2\cdot 2)}\cdot pq\cdot r^{(1 + 1)}$

$$\color{NavyBlue} {4pqr^2}$$

d) $\color{Sepia}{{(3 i)}{(5ij)}}$

${3\cdot 5}\cdot{i\cdot i}\cdot {j}$

${15\cdot{i^{(1 + 1)}}\cdot {j}}$

$$\color{NavyBlue}{15i^2j}$$

e) $\color{Sepia}{{(4mn)}{(3n^3)}}$

${(4\cdot 3)}\cdot m\cdot{n^{(1+3)}}$

$$\color{NavyBlue}{12mn^4}$$

f) $\color{Sepia}{{(ax^2y)}{(bxy^3)}}$

${a\cdot b\cdot x^{(2 +1)}\cdot y^{(1 + 3)}}$

$$\color{NavyBlue}{abx^3y^4}$$

g)$\color{Sepia}{{(bx^3)}{(2cxy^2)}{(5bc^2)}}$

${b^{(1+1)}c^{(1+2)}x^{(3+1)}y^2}$

$$\color{NavyBlue}{b^2c^3x^4y^2}$$

h)$\color{Sepia}{{(3mn^2)}{(2m^3n)}{(-mn)}}$

${3\cdot 2\cdot (-1)\cdot m^{(1 + 3 + 1)}\cdot n^{(2 + 1 + 1)}}$

$\color{NavyBlue}{ -6m^5n^4}$$

2. Efetuar a multiplicação dos termos algébricos pelos polinômios a seguir.

a) $\color{BrickRed}{{(3ab)}\cdot {(2a + 3b – 5c)}}$

${(3ab)}\cdot{(2a)} +{(3ab)}\cdot{(3b)} + {(3ab)}\cdot{(-5c)}$

${(3\cdot 2)\cdot a^{(1 + 1)}\cdot b} +{3\cdot 3\cdot ab^{(1+1)}} + {3\cdot{(-5)}\cdot abc}$

$$\color{NavyBlue} {6a^2b + 9ab^2 – 15abc}$$

b) $\color{BrickRed}{{(mx^2)}\cdot {(mx + n{x^2}y + mxy)}}$

${(mx^2)}\cdot{(mx)} +{(mx^2)}\cdot{(nx^{2} y)} + {(mx^2)}\cdot{(mxy)}$

${m^{(1 + 1)}{x^{(2 +1)}} +{mnx^{(2+2)} y} + {m^{(1+1)}x^{(2+1)}} y}$

$$\color{NavyBlue}{m^2x^3 + mnx^{4}y +m^{2}x^{3}y}$$

c) $\color{Sepia}{{(5u^2v)}{(2uv + 4u – 5v + u^2v^3)}}$

$ 5u^2v\cdot 2uv + 5u^2v\cdot 4u + 5u^2v\cdot{(-5v)} +5u^2v\cdot u^2v^3 $

$5\cdot 2\cdot u^2v\cdot uv +5\cdot 4\cdot u^2v\cdot u + 5\cdot{(-5)}u^2v\cdot v + 5\cdot u^2v\cdot u^2 v^3 $

$$\color{NavyBlue}{10u^3 v^2 + 20u^3v -25u^2v^2 + 5u^4v^4}$$

d) $\color{Sepia}{({2\over 3}{axy^3}){(6xy – 3ay^2 + 9a{x^2}y)}}$

$({2\over 3}{axy^3})\cdot{(6xy)} + ({2\over3}{axy^3})\cdot {(-3ay^2)} + ({2\over 3}{axy^3})\cdot{(9ax^{2}y)}$

${2\over 3}\cdot{6}\cdot{(axy^3)}\cdot{xy} + {2\over 3}\cdot {(-3)}\cdot {axy^3} \cdot{ay^2} + {2\over 3}\cdot 9\cdot{axy^3}\cdot{ax^{2}y} $

${4ax^{(1+1)}y^{(3+1)}} -2a^{(1+1)}xy^{(3+2)} + 6a^{(1 + 1)}x^{(1+2)}y^{(3 + 1)}$

$$\color{NavyBlue}{ 4ax^{2}y^{4} – 2a^{2}xy^{5} + 6a^{2}x^{3}y^{4}}$$

e)$\color{Sepia}{{(3px^2)}{(5px + 3pq – 4qx^3)}}$

${(3px^2)}{(5px)} + {(3px^2)}{(3pq)} + {(3px^2)}{(-4qx^3)}$

${(3\cdot 5\cdot p^{(1 + 1)}\cdot x^{(2 + 1)}} + {3\cdot 3\cdot p^{(1 + 1)}\cdot q \cdot x^2} + {3\cdot {(-4)}\cdot p\cdot q\cdot x^{(2 + 3)}}$

$$\color{NavyBlue}{{15p^2x^3 + 9p^2qx^2 – 12pqx^5}}$$

f)$\color{Sepia}{{(2mn^2 + 5mx – 3nx^3)}{(2mn)}}$

${(2mn^2\cdot 2mn)} + {(5mx\cdot 2mn)} + {(-3nx\cdot 2mn)}$

$$\color{NavyBlue}{{4m^2n^3 + 10m^2nx – 6mn^2x}}$$

g)$\color{Sepia}{{(3xz^3)}{(2xy – 4xy^3z + 6x – x^2yz)}}$

${(3xz^3)\cdot (2xy)} + {(3xz^3)\cdot(-4xy^3z)} + {(3xz^3)\cdot (6x)} + {(3xz^3) \cdot(-x^2yz)}$

$$\color{NavyBlue}{{6x^2yz^3 – 12x^2y^3z^2 + 18x^2z^3 – 3x^3yz^4}}$$

h)$\color{Sepia}{{Ax^2)}{(Ax^3 + Bxy – Cyz^2)}}$

${(Ax^2)\cdot(Ax^3)} + {(Ax^2)\cdot(Bxy)} + {(Ax^2)\cdot(-Cyz^2)}$

${A^2 x^{(2 + 3)} + ABx^{(2 + 1)}y – AC x^2yz^2}$

$$\color{NavyBlue}{{A^2 x^5 + ABx^3y – ACx^2yz^2}}$$

3. Efetuar a multiplicação dos polinômios propostos a seguir.

a)$\color{Indigo}{{( a + ab)}{(abx + x)}}$

Agora chegou a hora de multiplicar todos os termos do primeiro polinômio, por todos os do segundo. No final reduzir os termos semelhantes, se os houver. Assim:

${a}\cdot {abx} + {a}\cdot{x} + {ab}\cdot {abx} + {ab}\cdot {x} $

${a^{(1+1)}bx + ax + a^{(1+1)}b^{(1+1)}x + abx }$

$$\color{Purple}{{ a^{2}bx + ax + a^{2}b^{2}x + abx }}$$

b)$\color{Indigo}{{(pm – {p^2}n)}{(m^2 – pm^2 – pn)}}$

$ {pm}\cdot (m^2) + {pm}\cdot {(-pm^2)} + {pm}\cdot {-pn} + {(- p^2)}n\cdot {(m^2)} + {(-p^2)}n\cdot {(-pm^2)} + {(-p^2)}n\cdot{(-pn)} $

$ {pm^{(1 + 2)} – p^{(1 + 1)}m^{(1 +2)} – p^{(1 + 1)}mn – p^{2 }m^{2}n + p{(2+1)}m^{2}n + p^{(2+1)}n^{(1+1)}} $

$$\color{Purple}{pm^3 – p^2m^3 – p^2mn – p^2m^2n + p^3m^2n + p^3n^2}$$

Não há termos semelhantes, portanto a expressão final fica assim mesmo.

c)$\color{Indigo}{{(2x – 3 y)}{(5 + 2xy – 4 x^2 + 3xy^3)}}$

${2x}\cdot 5 + 2x\cdot {2xy} + 2x\cdot {(-4x^2)} + 2x\cdot {(3xy^3} + {(-3y)}\cdot 5 + {(-3y)}\cdot {(2xy)} +{(-3y)}\cdot {(3xy^3)} +{(-3y)}\cdot {(-4x^2)} $

$ 10x + 4x^{2}y – 8x^{(1+2)} +6x^{(1+1)}y^3 -15 y -6xy^{(1 +1)} – 9 xy^{(1 + 3)} +12x^{2}y $

$$\color{Purple}{{10x + 4x^{2} y – 8x^3 + 6x^{2}y^3 – 15 y – 6xy^2 – 9xy^4 + 12 x^{2}y}}$$

Não há termos semelhantes e o resultado fica assim mesmo.

d) $\color{Indigo}{{(3u + 5v)}{(6u^2 – 2 v + 7uv)}}$

$3u\cdot{(6u^2)} + 3u\cdot {(-2v)} + 3u\cdot{(7uv)} + 5v\cdot{(6u^{2})} + 5v\cdot{(- 2v)} + 5v\cdot{(7uv)} $

$$\color{Indigo}{18u^3 – 6uv + 21 u^{2}v + 30u^2v – 10v^2 + 35uv^{2}}$$

e)$\color{Indigo}{{(4m – 2n)}{(mn + m^2n – 3n^3)}}$

${(4m)\cdot(mn) + (4m)\cdot(m^2n) + (4m)\cdot(-3n^3) + (-2n)\cdot (mn) + (-2n)\cdot (m^2n) + (-2n)\cdot(-3n^3)}$

$\color{Purple}{{4m^2n + 4m^3n – 12mn^3 – 2mn^2 – 2m^2n^2 + 6n^4}}$$

Sem termos semelhantes, fica assim mesmo.

f)$\color{Indigo}{{(5 – 6x + 3xy + x^2y^3)}{(2 + 4xy)}}$

${(2\cdot 5) + 2\cdot (-6x) + 2\cdot(3xy) + 2\cdot(x^2y^3) + 4xy\cdot 5 + 4xy\cdot(-6x) + 4xy\cdot(3xy) + 4xy\cdot(x^2y^3)}$

$$\color{Indigo}{10 – 6x + 6xy + 2x^3y^4 + 20xy – 24x^2y + 12x^2y^2 +4x^3y^4}$$

Há dois pares determos semelhantes. Vamos agrupá-los e substituir pela soma algébrica dos mesmos.

${10 – 6x +(6xy + 20xy) + (2x^3y^4 + 4x^3y^4) + 24x^2y}$

${10 – 6x + 26xy + 6x^3y^4 + 24x^2y}$

Colocando os expoentes de x em ordem crescente ficamos com:

$$\color{Purple}{10 – 6x + 26xy + 24x^2y + 6x^3y^4}$$

g)$\color{Indigo}{{(4r^2 – 3pq)}{(5 + 3r – 2rq)}}$

${(4r^2)\cdot(5) + (4r^2)\cdot(3r) + (4r^2)\cdot((-2rq) +(-3pq)\cdot(5) + (-3pq)\cdot(3r) + (-3pq)\cdot(-2rq)}$

${20r^2 + 12r^3 – 8r^3q -15pq -9pqr +6pq^2r}$

Ordem crescente dos expoentes de r:

$$\color{Purple}{{-15pq – 9pqr + 6pq^2r + 20r^2 + 12r^3 – 8r^3q}}$$

h)$\color{Indigo}{{(2ny – 3mx)}{(4nm + 2mx – 5mnx)}}$

${(2ny)\cdot(4nm) + (2ny)\cdot (2mx) + (2ny)\cdot(-5mnx) + (-3mx)\cdot(4nm) + (-3mx)\cdot(2mx) + (-3mx)\cdot(-5mnx)}$

$\color{Purple}{8n^2my + 4mnxy -10mn^2xy – 12m^2nx – 6m^2x^2 – 15m^2nx^2}$$

Não há termos semelhantes a reduzir.

Curitiba, 09 de abril de 2016. Republicado em 16 de dezembro de 2017.

Décio Adams