Circunferência e círculo
Acabamos de estudar os polígonos regulares e neles foi possível observar que, na medida em que aumenta o número de lados, a forma do polígono torna-se mais arredondada. Inclusive a circunferência inscrita e circunscrita têm a medida de seus raios cada vez mais próximos um do outro. Por essa razão, quando o número de lados tende para o infinito, passamos a ter uma figura denominada circunferência.
Para simplificar, definimos a circunferência como sendo a figura $\lambda(O,R)$ onde o ponto $O$ é o centro e $R$ é a medida do raio. Dessa forma a circunferência é uma linha poligonal fechada, cujos pontos estão todos a uma distância $R$ do ponto $O$.
Os pontos A e B, estão ambos situados a distância $R$ do centro $O$. Por isso dizemos que eles fazem parte da circunferência.
$d_{OA} = R \land d_{OB} = R$$\Leftrightarrow$$d_{OA} = d_{OB}$
Já os pontos $C \land D$, não pertencem à circunferência, pois:
$d_{OC} \lt R$$\Rightarrow$ ponto interior.
$d_{OD}\gt R$$\Rightarrow$ ponto exterior.
Círculo
É frequente confundirmos círculo e circunferência. Como acabamos de ver, a circunferência é a linha poligonal fechada, ou seja, é o perímetro da figura plana, que denominamos círculo.
Assim podemos afirmar que o círculo é uma área plana, limitada por uma circunferência de mesmo raio.
Observemos a figura ao lado. É um círculo, pois tem o perímetro que é uma circunferência e todos os pontos interiores fazem parte da figura.
Comprimento da circunferência:
Houve muitos matemáticos que se empenharam em determinar uma forma de calcular o comprimento da linha perimetral do círculo, ou seja, a sua circunferência. Após muitas tentativas, chegou-se a uma aproximação aceita universalmente, tendo inclusive determinados os algarismos decimais em muitos milhares. O resultado é um número irracional $\pi$, que resulta da divisão do comprimento da circunferência pela medida do raio. As maiores dificuldades residem na determinação, com o máximo de precisão possível dessas medidas.
$C = 2\cdot\pi\cdot R$
Diâmetro
É o dobro da medida do raio. É em verdade uma corda que passa pelo centro. Por isso:
$D = 2\cdot R$
$C = D\cdot\pi$
Área do círculo
Para determinar a área de um círculo usamos a expressão: $A = \pi\cdot R^2$
Sendo $D = 2R$$\Leftrightarrow$$R = {D\over 2}$
$A = \pi\cdot\left(\frac{D}{2}\right)^{2} = \frac{\pi\cdot D^{2}}{4}$
Semi-círculo e arco de circunferência.
Um diâmetro divide o círculo ao meio. Cada metade denominamos semi-círculo. Veja a parte em verde na figura que segue.
Qualquer segmento de reta traçado entre dois pontos da circunferência, sem passar pelo centro, é uma corda. Como podemos ver na figura ao lado. Os pontos compreendidos entre os pontos $P$ e $Q$ da corda, formam um arco de círculo. Do mesmo modo também os pontos da circunferência que fazem parte do semi-círculo, são um arco de círculo. Neste caso trata-se de meia circunferência.
Setor circular
Se você já cortou uma “pizza” circular, retirando uma “fatia”, essa mesma é um exemplo de setor circular. Veja na figura ao lado. Podemos calcular a área do setor circular, bastando que tenhamos a medida do ângulo formado pelos lados do setor.
Digamos que a fatia retirada tenha a medida de um ângulo de $60^{0}$ ou seja $\frac{\pi}{3}$.
Se dividirmos a área do círculo em partes iguais, cada uma a $\pi\, rad$ e multiplicarmos pelo ângulo da fatia, teremos a área da mesma.
$A_{S} = \frac{\pi\cdot R^{2}}{2\pi}\cdot \frac{\pi}{3}$
$A_{S} = \frac{\pi\cdot R^{2}}{6}$
Ficaria faltando apenas a medida do raio do círculo.
Ângulo central é o ângulo de um setor circular. O vértice fica no centro do círculo.
Vale lembrar que o resto do círculo também será um setor circular.
Coroa circular
Forma-se uma coroa circular se cobrirmos um círculo maior, por um outro, pouco menor que o primeiro, de modo que os centros fiquem coincidentes. Ficará aparecendo apenas uma estreita faixa do primeiro. É essa faixa que denominamos coroa circular.
A área da coroa circular é a diferença entre as áreas dos dois círculos sobrepostos, o que pode ser resumido assim:
$A_{cor}= {\pi\cdot {R_{2}}^{2} – \pi\cdot{R_{1}^{2}}}$
$A_{cor}= \pi\cdot\left({{R_{2}}^{2}-{R_{1}^{2}}}\right)$
Exercícios
01. A respeito da definição básica das circunferências e de suas propriedades, assinale a alternativa correta.
( )a) uma circunferência é uma região plana limitada por um círculo;
( )b) uma circunferência é um conjunto de pontos cuja distância até o centro é sempre menor do que a constante r;
( )c) uma circunferência possui apenas dois raios e a soma desses dois elementos é igual ao diâmetro;
( )d) uma circunferência de centro O e raio r é um conjunto de todos os pontos cuja distância até O é igual a r;
( )e) círculo é a região do plano limitada por um diâmetro.
02. Dada uma circunferência de centro O e raio r, assinale a alternativa correta:
( )a) dado um ponto A, fora da circunferência, o segmento OA é menor ou igual a r;
( )b) sabendo que $\overline{OA}$ tem comprimento menor do que $r$, pode-se afirmar que A pertence ao círculo limitado por essa circunferência;
( )c) sabendo que $\overline{OA}$ tem comprimento maior do que $r$, pode-se afirmar que A pertence à circunferência;
( )d) o diâmetro do círculo limitado por essa circunferência é igual a $3r$;
( )e) para que o ponto A pertença à circunferência, basta que a distância $\overline{AO}$ seja menor do que $r$.
03. Determinar o diâmetro e a área de um círculo (respectivamente), cujo perímetro mede 36π cm.
( )a) $63,0\, cm \land 300\pi\,cm^{2}$;
( )b) $36,0\, cm \land 324\pi\,cm^{2}$;
( )c) $50,0\, cm \land 324\pi\, cm^{2}$;
( )d) $36,0\, cm \land 300\pi\, cm^{2}$;
( )e) $43,0\, cm \land 324\pi\,cm^{2}$.
04. A roda de um automóvel tem um diâmetro que mede $D =50\, cm$. Determine a distância percorrida por esse veículo após uma de suas rodas completar 1750 voltas. Adotar$\pi = 3,14$ e supor que a roda não deslize durante a rolagem.
( )a) 2,82 km;
( )b) 3 km;
( )c) 3,6 km;
( )d) 2,75 km;
( )e) 2,91 km.
05. Um morador possui em sua casa um espaço, usado para o cultivo de algumas plantas. O formato desse canteiro é de um setor circular de raio $r =10 m$. Sabendo que o ângulo central desse setor circular é de $\alpha = 60^{0}$, qual é a área do espaço usado para plantio na casa desse jardineiro?
( )a) $52,33\, m^{2}$;
( )b) $10,47\, m^{2}$;
( )c) $31,4\, m^{2}$;
( )d) $20,94\, m^{2}$;
( )e) $100\, m^{2}$.
06. Testes efetuados em um pneu de corrida constataram que, a partir de 185 600 voltas, ele passa a se deteriorar, podendo causar riscos à segurança do piloto. Sabendo que o diâmetro do pneu é de$D= 0,5 m$, ele poderá percorrer, sem riscos para o piloto, aproximadamente:
( )a) 93 km;
( )b) 196 km;
( )c) 366 km;
( )d) 592 km;
( )e) 291 km.
07. O ponteiro dos minutos de um relógio mede$r = 4\, cm$. Supondo $\pi = 3$, a distância, em centímetros, que a extremidade desse ponteiro percorre em 25 minutos é:
( )a) 15;
( )b) 12;
( )c) 20;
( )d) 25;
( )e) 10.
08. Em um motor há duas polias ligadas por uma correia, de acordo com o esquema abaixo.
Se cada polia tem raio de 10 cm e a distância entre seus centros é de 30 cm, qual das medidas abaixo mais se aproxima do comprimento da correia?
( )a) 122,8 cm;
( )b) 102,4 cm;
( )c) 92,8 cm;
( )d) 50 cm;
( )e) 32,4 cm.
09. Os raios das rodas traseiras de um trator medem $r=75 cm$ e dão 30 voltas, ao mesmo tempo em que as rodas dianteiras dão 90 voltas. O raio de cada uma das rodas dianteiras mede:
( )a) 20 cm;
( )b) 30 cm;
( )c) 25 cm;
( )d) 18 cm;
( )e) 24 cm.
10. Qual o perímetro de uma circunferência cujo raio mede 3 cm?
Aplicando a fórmula:
$C={2\cdot\pi\cdot r}$
$C={2\cdot{3,14}\cdot 3}
$C=18,84\, cm$
11. (Enem–2010). Uma fábrica de tubos acondiciona tubos cilíndricos menores dentro de outros tubos cilíndricos. A figura mostra uma situação em que quatro tubos cilíndricos estão acondicionados perfeitamente em um tubo com raio maior.
Suponha que você seja o operador da máquina que produzirá os tubos maiores em que serão colocados, sem ajustes ou folgas, quatro tubos cilíndricos internos. Se o raio da base de cada um dos cilindros menores for igual a 6 cm, a máquina por você operada deverá ser ajustada para produzir tubos maiores, com raio da base igual a
( )a) $12\, cm$;
( )b) $12\sqrt{2}\, cm$;
( )c)$24\sqrt{2}\, cm$;
( )d) $6{\left(1 + \sqrt{2}\right)}\, cm$
( )e)$ 12\left({1 +\sqrt{2}}\right)\, cm$
Se ficarem dúvidas, peça ajuda pelos canais abaixo listados. Não guarde suas dificuldades para si. Compartilhe que lhe ajudarei.
Curitiba, 15 de fevereiro de 2020
Décio Adams
www.facebook.com/livros.decioadams
www.facebook.com/decioadams.matfisonline
@AdamsDcio
Telefone: (41) 3019-4760
Celular e WhatsApp: (41) 99805-0732