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Matemática – Aritmética. Curiosidade sobre divisibilidade por 11.

Curiosidade!

Não sei se é realmente uma curiosidade, ou se estou “redescobrindo” a roda. Mas estava eu às voltas com os critérios de divisibilidade, objeto de um artigo que publiquei em dias passados, quando me ocorreu verificar o caso dos números divisíveis por $\color{Navy}{11}$. Eu estava buscando um número de vários algarismos e que fosse divisível por $\color{Navy}{11}$. Lembrei que basta repetir um número, numa linha abaixo, deslocando o algarismo das unidades para as dezenas e assim até o final. Feito isso efetua-se a soma, resultando um número divisível. Vejamos como isso funciona para não deixar dúvidas.

Na figura está efetuada a multiplicação de $\color{Navy}{475\cdot 11} = \color{Red}{5225}$. No momento de fazer a multiplicação, vemos que multiplicamos o número duas vezes por ${1}$, apenas escrevendo os resultados com as colunas deslocados, uma vez que o segundo representa a multiplicação por $\color{Navy}{10}$ e poderíamos completar a coluna das unidades colocando ali um $\color{navy}{ 0}$. Um detalhe importante a ser notado, é que o último algarismo do produto é sempre igual ao último algarismo do número multiplicado por ${11}$.

A Prova Real da adição é feita subtraindo do total, uma das parcelas. Isso me levou a fazer o que segue. Peguei o número, nesse caso $\color{navy}{5225}$, escrevendo sob o algarismo das unidades o algarismo ${0}$ e subtraindo. Depois escrevi sob o algarismo das dezenas o resto da primeira subtração, ou seja o último algarismo. Efetuei a subtração e repeti o processo, até subtrair o último algarismo que deu ${0}$.  

Note que, ao escrever o último resto, como próximo algarismo do subtraendo dessa operação, estava repetindo o resto, tendo o ${0}$ no final. Vejamos como isso terminou, colocando agora o ${7}$, até terminar.

Podemos notar que os mesmos algarismos do resto, estão na posição do subtraendo e o último algarismo da esquerda no resto deu ${0}$.

Pela regra vista nos critérios de divisibilidade em geral, faríamos a adição dos algarismos de ordem ímpar e os de ordem par, subtraindo um do outro. Se o resultado for divisível por ${11}$, o número analisado também é divisível. Vamos ver:

  • $\color{Navy}{S_{i} = 5 + 2 = 7}$
  • $\color{Navy}{S_{p} = 2 + 5 = 7}$
  • $\color{Navy}{S_{i} – S_{p} = 7 – 7 = 0}$
  • O número ${0}$ é divisível por qualquer número e portanto também por $11$. Logo o número ${5225}$ é divisível por ${11}$.
  • Vejamos outro exemplo para tirar as dúvidas.
Note que também aqui acontece a mesma coisa. Subtraindo o ${0}$ do último algarismo o resto é o próprio. Subtraindo esse algarismo do algarismo das dezenas, temos o segundo resto. Este subtraído do algarismo das centenas, nos dá o terceiro resto, que subtraído do algarismo dos milhares nos dá o último resto. Subtraímos este do algarismo das dezenas de milhares e teremos resto zero. Isso evidencia que o número ${80212}$ é divisível por${11}$. Para sanar a dúvida, apliquemos também aqui o critério da soma dos algarismos de ordem ímpar e ordem par:
${S_{i} = 8 + 2 + 2 = 12}$
${S_{p}= 0 + 1 = 1}$
${\Delta S=S_{i}- S_{p} = 12 – 1 = 11}$
Comprovamos que é divisível por ${11}$ e também validamos o critério apresentado no primeiro exemplo.
  • Vamos ver se isso funciona com outro número, que não seja divisível. Por exemplo $\color{Navy}{7439}$. Pelo critério geralmente usado teremos:
  • $\color{Navy}{S_{i} = 9 + 4 = 13}$
  • $\color{Navy}{S_{p}=3 + 7 = 10}$
  • $\color{Olive}{S_{i} – S_{p} = 13 – 10 = 3}$, que não é divisível por ${11}$, indicando que o número $\color{Navy}{7439}$ também não é.
  • Como fica aplicando o procedimento que eu observei.

Vemos que tudo foi igual ao outro exemplo, menos na última subtração, onde não foi possível fazer $\color{Navy}{6 – 9}$ e não tínhamos vizinho à esquerda para emprestar. Poderia ter ocorrido que a subtração fosse possível, mas desse diferente de ${0}$. Nesse caso, o número $\color{Navy}{7439}$ não é divisível por $\color{Navy}{11}$. Estou apresentando como uma “curiosidade”, para que mais pessoas testem o procedimento e opinem.Talvez até já seja do conhecimento de outras pessoas, mas não seja considerado algo digno de nota. Quem ler e testar, pode me dar sua opinião a respeito. Talvez seja possível desenvolver alguma discussão a respeito.  Para colocar em teste, vamos observar mais alguns exemplos.

  • $\color{Brown}{{34793}\div {11} = ?}$
    • Pelo critério geralmente usado
      • $\color{Olive}{S_{i} = 3 + 7 + 3 = 13}$
      • $\color{Olive}{S_{p} = 9 + 4 = 13}$
      • $\color{Navy}{S_{i} – S_{p} = 13 – 13 = 0}$ $\rightarrow$ é divisível por $11$.
    • Pelo procedimento por mim apresentado.
A última subtração deu zero e por isso o número $ 34793$ é divisível por$ 11$, o que é confirmado pelo critério da soma dos algarismos de ordem ímpar e ordem par.

Podemos observar nitidamente que o resto e o subtraendo tem os mesmos algarismos, com a exceção do ${0}$, o que indica a multiplicação por ${10}$. Mas o último algarismo da esquerda agora foi igual a ${0}$, indicando divisibilidade por ${11}$. $\color{Olive}{{76549}\div {11} = ?}$

Os dois métodos confirmam o mesmo resultado. Número divisível por 11.

Abaixo do procedimento que identifiquei. O ${0}$ na última posição do resto, indica divisibilidade. Pelo critério geral. $\color{navy}{S_{i} =9 + 5 + 7 = 21}$ $\color{Navy}{S_{p} = 4 + 6 = 10}$ $\color{Navy}{S_{i} – S_{p} = 21-10 =11}$, isto também indica divisibilidade por $11$.

  • $\color{Olive}{{457963}\div{11} =?}$

Abaixo está feita a demonstração pela subtração e o resultado indica que o número $\color{Olive}{457963}$ é divisível por $\color{olive}{11}$. Usando o critério comum.

  • $\color{Navy}{S_{i}=3+9+5 =17}$
  • $\color{Navy}{S_{p}=6+7+4=17}$
  • $\color{Olive}{S_{i}-S_{p}=17-17=0}$, indicando divisibilidade.

Podemos observar que nos casos em que o número é divisível, os dois critérios conferem no resultado. Vamos usar números não divisíveis para ver.

  • $\color{Olive}{{73259}\div{11} =?}$
Os dois critérios indicam que o número não é divisível por 11.

Pela subtração, notamos que não foi possível fazer a última subtração, pois não é possível fazer ${6 – 7}$, nessa forma. Não é divisível por ${11}$. Pela adição das ordens. $\color{Navy}{S_{i}=9+2+7=18}$ $\color{Navy}{S_{p}=5+3=8}$ $\color{Navy}{S_{i}-S_{p}=18-8=10}$, não é divisível por ${11}$.

  • $\color{Olive}{{827568}\div{11} =?}$
Os dois métodos indicam que o número fornecido não é divisível por 11.

O método da subtração mostra que não é divisível, pois o último algarismo da esquerda deu diferente de ${0}$. Pela adição das ordens.

  • $\color{Navy}{S_{i[}=8+5+2=15}$
  • $\color{Navy}{S_{p}=6+7+8=21}$
  • $\color{Olive}{S_{p}-S_{i}=21-15=6}$, não é divisível por ${11}$.

Os exemplos  mostrados{ permitem deduzir que o procedimento é válido e, dependendo da prática, pode ser até mais rápido do que o outro. Vamos ver qual será a opinião dos meus leitores.

  • Treinar um pouco faz bem. Vamos verificar se os números a seguir são divisíveis por 11 ou não.

a) ${5724}$ ?

b) ${41294}$ ?

c)${7425}$ ?

d)${949007}$ ?

e)${4267}$?

f)${9339}$ ?

Obs.: Se você ler essa matéria, testar e julgar válida minha demonstração, me mande sua opinião. Se julgar inútil, ou sem validade, também me informe, para que possa ter uma ideia da aceitação ou não do procedimento. 

Curitiba, 21 de julho de 2016. Revisado, melhorado e republicado em 05 de outubro de 2019.

Décio Adams

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Matemática – Aritmética. Números primos

  • Números primos
  • Oigalê! Números também tem primos e primas, que nem a gente?

Na verdade é a denominação dada a um grupo de números com uma característica bem definida. Se verificarmos sua família de divisores, veremos que ela tem somente dois elementos. O número ${1}$ (um) e o próprio número. São números que não são divisíveis por outros números, além da unidade e de si próprios. Vejamos.

  • $\color{navy}{ fd(1) = \{1\}}$ $\rightarrow$, é primo.
  • $\color{navy}{ fd(2) = \{1, 2\}}$ $\rightarrow$, é primo.
  • $\color{navy}{ fd(3) = \{1,3\}}$ $\rightarrow$, é primo.
  • $\color{navy}{ fd(4) = \{1,2,4\}}$ $\rightarrow$, não é primo. Tem um terceiro divisor.
  • $\color{navy}{ fd(5) = \{1,5\}}$ $\rightarrow$, é primo.
  • $\color{navy}{ fd(6) = \{1,2,3,6\}}$ $\rightarrow$, não é primo. Tem vários divisores
  • $\color{navy}{ fd(7) = \{1,7\}}$ $\rightarrow$, é primo.
  • $\color{navy}{ fd(8) = \{1,2,4,8\}}$ $\rightarrow$, não é primo. Tem vários divisores.
  • $\color{navy}{ fd(9) = \{1,3,9\}}$ $\rightarrow$, não é primo. Tem um terceiro divisor
  • $\color{navy}{ fd(10)= \{1,2,5,10\}}$ $\rightarrow$, não é primo. Divisores diversos.
  • $\color{navy}{ fd(11)= \{1,11\}}$ $\rightarrow$, é primo.
  • $\color{navy}{ fd(12)= \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}}$ $\rightarrow$, não é primo.
  • $\color{navy}{ fd(13)= \{1,13\}}$ $\rightarrow$, é primo.
  • Notamos que aos poucos os números primos vão ficando mais esparsos no meio dos números divisíveis por outros números. Para saber se um número é primo ou não, existem meios de fazer isso. Quando se trata de um número de valor mais elevado, demoraríamos algum tempo, tentando escrever todos os seus divisores. E daí entramos com um outro recurso.
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