10 de novembro de 201816 de maio de 2020

013.3 – Matemática, aritmética. Simplificação de radicais

Vamos tornar os radicais mais simples

O que vimos no post anterior, permite fazer algumas transformações que nos ajudam em muitas situações a obter um radical mais simples ou escrito de forma mais conveniente à situação com que nos deparamos.

Tomemos como exemplo o radical.

$\root 6 \of {2000} = ?$

Decompondo o radicando $2000$ em seus fatores primos, teremos:

$\root 6 \of {{2^4}\cdot {5^3}}=?$

Transformando em potências com expoentes fracionários fica:

${2^ \frac{4}{6}}\cdot{5^ \frac{3}{6}} = ?$

Simplificando os expoentes ficamos com:

${2^ \frac{2}{3}}\cdot {5^\frac{1}{2}} =?$

Reescrevendo na forma de radical, fica:

$\root 3\of {2^2}\cdot \sqrt {5} $

Resultou um produto de dois radicais de índices diferentes e expoentes menores.

Vejamos um exemplo diferente:

$\root 3 \of {1728} =?$

Em fatores primos, temos:

$\root 3 \of{{2^6}\cdot{3^3}} = ?$

Em forma de expoentes fracionários:

${2^\frac{6}{3}}\cdot {3^\frac{3}{3}} =?$

${{2^2}\cdot {3^1} = 4\cdot 3 = 12}$

Neste caso temos um radicando com raiz exata e não há mais necessidade do uso de radical.

Vamos ver outro exemplo:

$\root 5 \of {256} = ?$

Começamos novamente decompondo em fatores primos.

$\root 5 \of {2^6} = \root 5 \of {{2^5}\cdot {2}} $

Obs.: a potência $2^6$ foi desdobrada em multiplicação de potências de mesma base $ {2^5}\cdot {2}$.

${2^\frac{5}{5}}\cdot {2^\frac{1}{5}} = 2\cdot {\root 5 \of2}$

Veja que ficou bem simplificado o radical.

Mais um exemplo:

$\sqrt {216} = ?$

Da decomposição em fatores primos resulta:

$\sqrt {{2^3}\cdot {3^3}}= ?$

Escrevendo as potências como produtos de potências de mesma base, fica:

$\sqrt{{2^2}\cdot{2}\cdot{3^2}\cdot{3}} =?$

${2\cdot 3}\cdot \sqrt{2\cdot3} = 6\cdot\sqrt{6}$

Novo exemplo: $\root 3\of {10125} =?$

$\root 3\of {{3^4}\cdot{5^3}} =?$

$\root 3\of {{3^3}\cdot{3}\cdot{5^3}} = ?$

$ 3\cdot \root 3\of {3}\cdot {5} = 15\cdot\root 3\of{3}$

Último exemplo.

$\root 5\of {23328} = ?$

Decompondo em fatores primos.

$\root 5\of {{2^5}\cdot{3^6}} =?$

$\root 5\of{{2^5}\cdot{3^5}\cdot{3}} = 2\cdot {3}\cdot\root 5\of {3} = 6\cdot\root 5\of {3}$

Aproveite para treinar esse assunto. Simplifique os radicais da listagem abaixo.

I) $\root 3\of {243} =?$

II) $\root 5\of {9216} =?$

III)$\sqrt {6912} =?$

IV)$\root 7\of {1024} =?$

V) $\root 4\of {50000} =?$

VI) $\sqrt {24696} =?$

VII)$\sqrt {18000} =?$

VIII)$\root 3\of {10000} =?$

IX) $\root 5\of {18225} =?$

X) $\sqrt {10648} =?$

Havendo dúvidas, entre em contato para esclarecer e resolver suas dificuldades.

Curitiba, 10 de novembro de 2018

Décio Adams

[email protected]

www.facebook.com/livros.decioadams

www.facebook.com/decio.adams

www.facebook.com/decioadams.matfisonline

@AdamsDcio

Telefone: (41) 3019-4760

Celular e WhatsApp: (41) 99805-0732

6 de julho de 2018

067.7 – Logaritmos naturais ou neperianos; logaritmos decimais

Logaritmos

Logaritmos neperianos.

São também denominados logaritmos naturais e se originaram dos trabalhos desenvolvidos e publicados por John Neper (Napier). Mais tarde a base desses logaritmos teve seu valor determinado por Euler, sendo usada largamente em diferentes áreas da atividade humana. Essa base é simbolizada pela letra:

${ e ≅ 2,71828183}$

Na prática usamos apenas a parte inteira e as duas primeiras casas decimais.

${ e ≅ 2,71}$

Continue lendo “067.7 – Logaritmos naturais ou neperianos; logaritmos decimais”

28 de junho de 201819 de outubro de 2018

067.1 – logaritmos decimais ou comuns

Logaritmos decimais ou comuns

No estudo das operações com potências, vemos que o produto de potências com mesma base, é resolvido pela adição dos seus expoentes, conservando-se a base. Assim:

${{(3^2)\cdot(3^5)} = {3^{2 + 5}} = 3^7}$

${{(x^3)\cdot(x^2)\cdot(x^1)} = {x^{3 + 2 + 1}} = x^6}$

Os logarítmos são um assunto ligado à potenciação e surgiram no início do século XVII, com os estudos de John Neper e a ajuda de Henry Briggs, depois da publicação do trabalho elaborado por Neper.

Vejamos: ${{a^x = b} <=> log_a{b} = x}$

Na primeira expressão, $a$ é a base, $x$ é o expoente e $b$ é a potência. Na forma logarítmica $a$ também é a base, $b$ é o logaritmando e $x$ é o logaritmo. Assim podemos definir:

“O logaritmo de um número b(logaritmando) em uma base a é o expoente (x) ao qual devemos elevar a base para obter o número.”

É condição essencial que: $a > 0$, $a ≠ 1 $ e $ b > 0 $

Continue lendo “067.1 – logaritmos decimais ou comuns”

26 de junho de 201826 de junho de 2018

046.7 – Matemática, álgebra. Produtos notáveis. Exercícios quadrado da diferença vezes a soma

Quadrado da diferença multiplicado pela soma de dois números

Agora vamos multiplicar o quadrado das diferenças, pelas somas dos dois números, conforme a regra vista.

a)$\underbrace{(3x – 2y)^2}\cdot{\overbrace{(3x + 2y)}} $

b)$\underbrace{(5a – bx)^2}\cdot{\overbrace{(5a + bx)}}$

c)$\underbrace{(1 – 5x)^2}\cdot{\overbrace{(1 + 5x)}}$

d)$\underbrace {(6t – 4s)^2}\cdot{\overbrace{(6t+ 4s)}}$

e)$\underbrace{(8i – z)^2}\cdot{\overbrace{(8i +z)}}$

f)$\underbrace{(4n – 5m)^2}\cdot{\overbrace{(4n +5m)}}$

g)$\underbrace{(r – pq)^2}\cdot{\overbrace{(r + pq)}} $

Vamos resolver aplicando a regra.

a)$\underbrace{(3x – 2y)^2}\cdot{\overbrace{(3x + 2y)}} $

$\underbrace{{(3x)}^3} -\overbrace {{(3x)}^2\cdot{(2y)}} – \underbrace{3x\cdot {(2y)^2}} + \overbrace{{(2y)}^3}$

$ 27x^3 – 18x^2y – 12xy^2 + 8y^3 $

b)$\underbrace{(5a – bx)^2}\cdot{\overbrace{(5a + bx)}}$

$\underbrace{{(5a)}^3} -\overbrace{{(5a)^2}\cdot{(bx)}} – \underbrace{5a\cdot{(bx)}^2} +\overbrace{{(bx)}^3}$

$ 125 a^3 – 25abx – 5ab^2x^2 + b^3x^3 $

c)$\underbrace{(1 – 5x)^2}\cdot{\overbrace{(1 + 5x)}}$

$\underbrace{1^3} -\overbrace{ 1^2\cdot 5x} -\underbrace{1\cdot {(5x)^2}} +{{(5x)}^3}$

$ 1 – 5x – 25x^2 + 125x^3 $

d)$\underbrace {(6t – 4s)^2}\cdot{\overbrace{(6t+ 4s)}}$

$\underbrace{{(6t)}^3} -\overbrace {{(6t)}^2\cdot {(4s)}} – \underbrace{6t\cdot {(4s)}^2} +\overbrace {{(4s)}^3}$

$ 216t^3 – 144t^2s – 96ts^2 + 64s^3 $

e)$\underbrace{(8i – z)^2}\cdot{\overbrace{(8i +z)}}$

$\underbrace{{(8i)}^3} -\overbrace {{(8i)^2}\cdot {(z)}} – \underbrace{8i\cdot z^2} +\overbrace{ z^3}$

$ 512i^3 – 64i^2z – 8iz^2 + z^3$

f)$\underbrace{(4n – 5m)^2}\cdot{\overbrace{(4n +5m)}}$ $\underbrace{{(4n)}^3} -\overbrace {{(4n)^2}\cdot{(5m}} -\underbrace{4n\cdot {((5m)}^2} +\overbrace {{(5m)}^3}$

$ 64n^3 – 80mn^2 – 100m^2n + 125m^3 $

g)$\underbrace{(r – pq)^2}\cdot{\overbrace{(r + pq)}}$

$\underbrace{ r^3} -\overbrace{ r^2\cdot {(pq)}} -\underbrace{r\cdot {(pq)}^2} +\overbrace{ {(pq)}^3}$

$ r^3 – pqr^2 – p^2q^2r + p^3q^3 $

Vamos deixar uns exemplos para seu treinamento. Não esqueça que em caso de dúvidas pode fazer contato e pedir esclarecimento.

h)$\underbrace{(9 – 3x)^2}\cdot{\overbrace{(9 + 3x)}}$

i) $\underbrace{(4m -n)^2}\cdot{\underbrace{(4m + n)}}$

j)$\underbrace{(5a – 2b)^2}\cdot{\overbrace{(5a – 2b)}}$

l)$\underbrace{(7u – 3v)^2}\cdot{\overbrace{(7u + 3v)}}$

m)$\underbrace{(2mn – 7)^2}\cdot{\overbrace{(2mn + 7)}}$

n)$\underbrace{(5pr – 4tu)^2}\cdot{\overbrace{(5pr + 4tu)}}$

o)$\underbrace{(7f – 3g)^2}\cdot{\overbrace{(7f + 3g)}}$