hexágono – Matemática

Hexágono regular

Recapitulando os polígonos regulares vistos até aqui, veremos que em todos eles existe um ponto central, onde ocorre a divisão da circunferência em triângulos congruentes.

No triângulo equilátero temos o baricentro.

As linhas que unem os vértices ao meio do lado oposto, se interceptam no centro geométrico. Cada lado subtende um ângulo central de 120º, o que perfaz uma volta completa de 360º.

O quadrado tem esse ponto determinado pelas duas diagonais, que são perpendiculares entre si, formando quatro ângulos de 90º.

É fácil perceber que as duas diagonais dividem o círculo, tanto inscrito, quanto o circunscrito em quatro partes iguais, cada uma subtendendo um ângulo central de 90º.

O pentágono regular também tem esse ponto. É o centro geométrico do polígono.

As linhas medianas, que unem os vértices ao meio dos lados opostos, formam cinco triângulos, que têm um vértice comum no ponto de intersecção dessas linhas. Cada um deles mede exatamente 72º.

Hexágono

Seguindo o mesmo critério, as linhas medianas irão dividir o hexágono em seis triângulos equiláteros. Cada um dos ângulos centrais mede então $60^{0}$. Os outros dois ângulos dos triângulos juntos medem $120^{0}$, sendo que são congruentes e portanto medem também $60^{0}$.

Sendo triângulos equiláteros, sabemos que a altura, neste caso vem a ser o apótema do hexágono; o raio R é congruente ao lado do hexágono. Então podemos determinar o apótema pela expressão:

$ l² = a² + {\left(l\over 2\right)}^{2}$$\Leftrightarrow$$a² = {{4\cdot l² – l²}\over4}$

$\sqrt {a²} = \sqrt{{3\cdot l²}\over4}$

$a = {{l\sqrt{3}}\over 2}$

Área do triângulo e do hexágono.

$S_{\Delta} = {{{{l\cdot l\sqrt{3}}}\over 2}\over 2}$

$S_{\Delta} = {{l²\sqrt{3}}\over4}$

A área do hexágono é a área de um triângulo multiplicado por 6.

$S_{hex} = 6\cdot{l²\sqrt{3}\over4} = 3\cdot{l²\sqrt{3}\over 2}$

Medida dos ângulos internos do hexágono regular.

Cada um dos seis vértices do hexágono é formado por dois ângulos adjacentes de 60^{0}. Isso faz com que cada ângulo interno seja igual a 120^{0}.

Desta forma a soma dos ângulos internos do hexágono regular é dada por:

$S_{i6} = 6\cdot 120º$

$S_{i6} = 720º$

Círculos inscrito e circunscrito ao hexágono

O lado do hexágono é a medida do raio da circunferência circunscrita e o apótema é a medida do raio da circunferência inscrita. Veja a figura.

Os dois círculos devidamente traçados, dentro e fora do hexágono.

Exercício 1. Um hexágono tem lado medindo ${l = 2,0 m}$. Determinar: a) o raio da circunferência circunscrita; b) o raio da circunferência inscrita; c) a área de um dos triângulos equiláteros internos; d) a área total do hexágono.

a) o raio da circunferência circunscrita é congruente ao lado do hexágono

${R = 2,0 m}$

b)o raio da circunferência inscrita é o apótema do hexágono.

$a = {{l\sqrt{3}}\over2}$$\Leftrightarrow$$a = {{2\sqrt{3}}\over 2}$

$a = \sqrt{3} m$

c)Temos acima a fórmula da área do triângulo.

$S_{\Delta} = {{l²\sqrt{3}}\over 4}$$\Leftrightarrow$$S_{\Delta}={{2,0}^2\sqrt{3}\over 4}$

$S_{\Delta} = \sqrt{3} m²$

d) a área toda é seis vezes a área do triângulo.

$S_{hex}= {6\cdot{l²\sqrt{3}}\over 4}$

$S_{hex} = {6\cdot\sqrt{3} m²}$

Exercício 2. Um hexágono regular está inscrito em uma circunferência de raio $R = 80,0 cm$. Determinar: a) o lado do hexágono; b) o apótema do hexágono; c) a área de um dos triângulos que formam o hexágono; d) a área total do hexágono;

a)as diagonais que unem os vértices dos ângulos internos opostos, determinam o centro da figura e dividem o hexágono em seis triângulos equiláteros. Assim ficamos com o lado igual ao raio da circunferência.

$l = R$$\Leftrightarrow$$ l = 80,0 cm$

b)o apótema coincide com a altura do triângulo equilátero.

$a = {{l\cdot\sqrt{3}}\over 2}$

$a = {{{80,0}\cdot\sqrt{3}}\over2} = 40,0\sqrt{3}cm$

c)$S_{\Delta} = {{l²\sqrt{3}}\over4}$

$S_{\Delta} = {{{80,0}^{2}\sqrt{3}}\over 4}$$\Leftrightarrow$$ S_{\Delta} = {{{6400,0}\sqrt{3}}\over4} = 1600,0\sqrt{3} cm^2$

d)o hexágono é formado por seis triângulos.

$S_{hex} = 3\cdot{{l^2\sqrt{3}}\over 2}$

$S_{hex} = 3\cdot{{{80,0}^{2}\sqrt{3}}\over2} = {9600,0}\sqrt{3} cm^2$

Heptágono regular

É sem dúvida um dos polígonos com poucos lados que é mais difícil de construir. Isso pelo fato de a divisão dos $360^{0}$ por sete ser um número decimal não exato. Isso torna as medidas dos lados sempre aproximados, bem como os ângulos.

Vejamos

${360 \div 7 = 51,428571…^{0}}$ ou ${51^{0}25’42,857…”}$

Nem mesmo fazendo a divisão em graus, minutos e segundos o resultado é exato, mas difere muito pouco disso.

Sabendo que a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é de $180^{0}$, teremos que os dois ângulos restantes de cada triângulo será:

$ {\hat{r} + \hat{s} + \hat{t} = 180^{0}}$

${{(51º25’42,857…”)} + \hat{s} + \hat{t} = 180^{0}}$

Como os dois ângulos são congruentes $\hat{s} = \hat{t}$

${2\cdot\hat{s} = 180º – 51,428571º}$$\Leftrightarrow$${2\cdot\hat{s} = 128,57143º}$

${\hat{s} = 64,28572º}$

Temos aí a dificuldade de construir esse polígono, mesmo usando instrumentos de desenho.

O processo de construção do heptágono regular requer o uso de instrumentos de desenho, como régua, esquadro e principalmente compasso. Usei a ideia aplicando as opções do paint e consegui fazer algo que se aproxima da figura correta.

As imprecisões devem-se ao fato de não ser possível manter a exatidão das formas que o programa oferece. Precisamos usar muito de nossa acuidade visual.

O heptágono, traçando-se um segmento que une os vértices ao meio dos lados opostos, fica dividido em sete triângulos isósceles, cujo ângulo central é o determinado acima $51,428571…º$ o que resulta em ângulos de $64,28572…º$ adjacentes aos lados do heptágono. O apótema dividirá esses ângulos internos em dois triângulos retângulos congruentes.

O triângulo ao lado simboliza um dos sete triângulos em que fica dividido o heptágono. Vamos estabelecer a relação entre o lado do polígono e o raio da circunferência, bem como o apótema.

Cada um dos dois triângulos retângulos que obtemos com o traçado do apótema têm como lados o raio R, l/2 e o apótema. R é a hipotenusa. Logo:

${R² = a² +{\left(l\over2\right)}²}$ (I)

${{l\over2} = {R\cdot{cos(64,28572º)}}}$$\Leftrightarrow$${l = 2\cdot{R}\cdot{cos(64,28572º)}}$

${l\simeq {0,868}\cdot{R}}$ (II)

O lado do hexágono é aproximadamente igual a 0,868 R.

Substituindo (II) em (I):

${R^2 = a^2 + \left({{0,868\cdot{R}}\over 2}\right)^{2}}$$\Leftrightarrow$${a^2 = R^2 – {{R^2\cdot{(0,753)}}\over 4}}$

${\sqrt{a^2} = \sqrt{{{4R^2 – 0,753R^2}\over 4}}}$$\Leftrightarrow$$a = \sqrt{{R^2\cdot{(4 – 0,753)}\over 4}}$

$a = R\cdot\sqrt{(3,247)}\over 2 $$\Leftrightarrow$$a = R\cdot{(1,8019)}\over 2$

${a\simeq 0,9R}$

O apótema de um heptágono regular é aproximadamente igual a nove décimos do raio da circunferência circunscrita.

Área de um Heptágono regular

Primeiro vamos estabelecer a área de cada um dos triângulos isósceles que formam um heptágono regular.

A base é o lado: $ l\simeq 0,868 R$

A altura é o apótema: $a\simeq 0,9R$

$S_{\Delta} = {{(0,868)\cdot R}\cdot {(0,9)\cdot R}\over 2}$ $\Leftrightarrow$$S_{\Delta} = {{{0,78}\cdot{R}}\over 2}$

$S_{\Delta} = 0,39R$

Sendo sete triângulos, basta multiplicar o resultado por esse número.

$S_{hep} = 7\cdot{(0,39R)}$$\Leftrightarrow$$S_{hep} \simeq{2,73R}$

Exercício 1. Um heptágono é inscrito num círculo de raio $R = 1,2 m$. Determine: a) o lado do heptágono; b) o apótema do heptágono; c) a área de cada triângulo isósceles que formam o heptágono; d) a área do heptágono.

$R = 1,2 m$

a) $l \simeq 0,868 R$

$l\simeq {0,868}\cdot {1,2}\simeq{1,042} m$

b)$a \simeq {0,9}\cdot {R} $

$a\simeq{0,9}\cdot {1,2}\simeq 1,080 m$

c)$S_{\Delta_{7}}\simeq {0,39}\cdot {R}$

$S_{\Delta_{7}}\simeq {0,39}\cdot{1,2} \simeq{0,468} m²$

d)$S_{hep}\simeq{2,73}\cdot{R}$

$S_{hep}\simeq{2,73}\cdot{1,2}\simeq {3,276} m^2$

Exercício 2. O apótema de um heptágono é igual a $a = 0,50 m$. Determine: a) o lado do apótema; b) a área de um dos triângulos internos; c) o raio do círculo circunscrito ao heptágono; d) a área do heptágono.

$a = {0,50}m$

$a\simeq{0,9}R$$\Leftrightarrow$$ R = {a\over{0,9}}$

a)$l\simeq{0,868}R$$\Leftrightarrow$$l\simeq{0,868}\cdot{{0,50}\over{0,9}}$

$l\simeq {{0,434}\over{0,9}}\simeq{0,482}\, m$

b)$S_{\Delta_{7}} = {0,39}\cdot {a\over{0,9}}$

$S_{\Delta_{7}}= {0,39}\cdot{0,50\over{0,9}}\simeq{0,216} m^2$

c) $a\simeq{0,9}R$

$R \simeq{\left(a\over{0,9}\right)}\simeq\left({0,50}\over{0,9}\right)\simeq{0,556} m$

d)$S_{hep}= {{2,73}\cdot{R}}$$\Leftrightarrow$$S_{hep}\simeq{2,73}\cdot{0,556}$

$S_{hep}\simeq 1,518 m^2$

Diagonais de um polígono

Quantas diagonais podemos traçar em um polígono de n lados?

Vimos que uma diagonal une dois vértices não consecutivos. Assim, tomando um vértice, os dois que lhe ficam consecutivos são excluídos, tal como o próprio vértice. Isso nos permite traçar, a partir de um vértice, tantas diagonais quantos forem os vértices, menos 3:

${D_{v} = n_{v} – 3}$ $\Rightarrow$ diagonais de um vértice.

Cada diagonal une dois vértices, o que nos leva a ter que dividir o número total aparente por dois.

${D_{p} = {{{(n – 3)}\cdot n}\over 2}}$$\Leftrightarrow$$ {D_{p} ={{n² -3n}\over2}}$

Este é o número de diagonais de um polígono. Vamos exercitar!

Exemplo 1. Quantas diagonais tem um pentágono?

${n_{v} = 5}$

${D_{pen} = {{n² – 3\cdot n}\over 2}}$$\Leftrightarrow$${D_{pen}= {{5² -3\cdot5}\over 2}}$

${D_{pen}= {{25 – 15}\over 2}}$$\Leftrightarrow$${D_{pen}= {10\over2} = 5}$

O pentágono tem cinco diagonais.

Exemplo 2. Quantas diagonais tem um quadrado?

${n_{v} = 4}$

${D_{qua}= {{4² – 3\cdot 4}\over 2}}$$\Leftrightarrow$$ {D_{qua}= {{16 – 12}\over 2}}$

${D_{qua} = {4\over 2} = 2}$$\Rightarrow$ quadrado tem duas diagonais.

Exemplo 3. Calcule o número de diagonais de um hexágono.

$ n_{v} = 6 $

${D_{hex}= {{6² – 3\cdot{6}}\over 2}}$$\Leftrightarrow$${D_{hex} = {{36 – 18}\over 2}}$

${D_{hex}= {18\over 2} = 9}$$\Rightarrow$ o hexágono tem 9(nove) diagonais.

Exemplo 4. Quantas diagonais tem um dodecágono?

${n_{v} = {12}}$

${D_{12} = {{(12)^2 – 3\cdot {12}}\over2}}$$\Leftrightarrow$${D_{12}={{144 – 36}\over 2}}$

${D_{12} = {{144 – 36}\over 2}$$\Leftrightarrow$${D_{12} = {{108}\over 2} = 54}$ – O dodecágono tem 54 diagonais.

Exemplo 5. Quantas diagonais possui um polígono de 20 lados?

$n_{v} = 20$

$D_{20}= {{20}^2 – 3\cdot{20}}\over 2}$$\Leftrightarrow$$D_{20} = {{400 – 60}\over 2}$

$D_{20}={{340}\over 2} = 170$

O polígono de 20 lados admite 170 diagonais.

Soma dos ângulos internos de um polígono.

Vimos que as diagonais dividem o polígono em triângulos isósceles, que se inscrevem em um círculo com o qual coincidem os vértices. Dessa forma os ângulos centrais, que tem vértice no centro do círculo, tem a medida obtida pela divisão da volta completa pelo número de lados.

$\hat{a}_{c} = {360\over n}$

Prolongando um lado além do vértice, temos um ângulo externo, que têm a mesma medida do ângulo central dos triângulos. Cada ângulo interno é suplementar do ângulo central dos triângulos.

$\hat{a}_{i} = {180º – \hat{a}_{c}}$$\Leftrightarrow$$\hat{a}_{i} = 180^{0} – {360^{0}\over n}$

$\hat{a}_{i} = {{{180^{0}\cdot n} -360^{0}}\over n}$

A soma dos ângulos internos é igual a medida de um ângulo interno multiplicada pelo número de vértices, que é igual ao número de lados.

$S_{a_{i}} = n\cdot{180^{0} – {360^{0}\over n}}$

$S_{a_{i}}= {180^{0}\cdot n – 360^{0}}$

Exemplo 1. Qual é a soma dos ângulos internos de um polígono de nove lados?

$S_{a_{9}} = {180^{0}\cdot n – 360^{0}}$

$S_{a_{9}} = 180^{0}\cdot 9 – 360^{0}$

$S_{a_{9}}= 1620^{0} – 360^{0} = 1240^{0}$

Exemplo 2. Determine a soma dos ângulos internos de um polígono de 12 lados.

$S_{a_{12}} = 180º\cdot 12 – 360 $

$S_{a_{12}} = 2160º – 360º = 1800º$

Exercícios para resolver.

01. Os hexágonos são polígonos que apresentam seis lados, seis ângulos internos e seis vértices. A respeito dos hexágonos regulares inscritos em uma circunferência, assinale a alternativa correta.

a) Um hexágono é chamado regular quando ele possui ângulos iguais, lados congruentes e não existe a necessidade de que seja convexo para isso.

b) Um hexágono regular inscrito tem a medida do apótema igual à medida do raio do círculo que o circunscreve.

c) Um hexágono regular inscrito tem a medida do lado igual à medida do raio do círculo que o circunscreve.

d) Um hexágono regular é chamado inscrito quando todos os seus lados são tangentes a uma circunferência.

e) Um hexágono regular inscrito possui apótema e lado iguais.

02. Qual é a medida do lado $l$ de um hexágono regular cujo apótema mede$a = 3,0 cm$?

a) $2\sqrt{3} cm$

b) $2 cm$

c) $\sqrt{3} cm$

d) $3\sqrt{3} cm$

e) $6\sqrt{3} cm$

03. Determine a medida do apótema de um hexágono regular, sabendo que a medida de seu lado é igual a $l =2\sqrt{3} cm.

a) $2\sqrt{3} cm$

b)$1 cm$

c) $2 cm$

d) $3 cm$

e) $\sqrt{3} cm$

04. Determine a medida do apótema de um hexágono regular inscrito em uma circunferência de diâmetro igual a $D= 12 cm$.

a) $2\sqrt{3} cm$

b) $3\sqrt{2} cm$

c) $3\sqrt{3} cm$

d) $6\sqrt{2} cm$

e) $6\sqrt{3} cm$

05. (FUVEST-2014). Uma das piscinas do Centro de Práticas Esportivas da USP tem o formato de três hexágonos regulares congruentes, justapostos, de modo que cada par de hexágonos tem um lado em comum, conforme representado na figura abaixo. A distância entre lados paralelos de cada hexágono é de 25 metros.