tudo sobre Matemática
Logaritmos de mesma base
Vejamos a expressão: ${log_a{b} = x}$
a => base
b => logaritmando
x => logaritmo
${ a > 0} $, $ {a ≠ 1} $ e $ {b > 0}$.
Como vimos no post anterior, isso nos permite escrever que:
${log_a{b} = x} <=> {a^x = b}$
Continue lendo “067.2 – Matemática, logaritmos. Operações com logarítmos”
No estudo das operações com potências, vemos que o produto de potências com mesma base, é resolvido pela adição dos seus expoentes, conservando-se a base. Assim:
${{(3^2)\cdot(3^5)} = {3^{2 + 5}} = 3^7}$
${{(x^3)\cdot(x^2)\cdot(x^1)} = {x^{3 + 2 + 1}} = x^6}$
Os logarítmos são um assunto ligado à potenciação e surgiram no início do século XVII, com os estudos de John Neper e a ajuda de Henry Briggs, depois da publicação do trabalho elaborado por Neper.
Vejamos: ${{a^x = b} <=> log_a{b} = x}$
Na primeira expressão, $a$ é a base, $x$ é o expoente e $b$ é a potência. Na forma logarítmica $a$ também é a base, $b$ é o logaritmando e $x$ é o logaritmo. Assim podemos definir:
“O logaritmo de um número b(logaritmando) em uma base a é o expoente (x) ao qual devemos elevar a base para obter o número.”
É condição essencial que: $a > 0$, $a ≠ 1 $ e $ b > 0 $
Comecemos pela etimologia da palavra. Tal como uma grande quantidade de termos hoje empregados, também esse tem sua origem na língua grega.
“Logos” ⇒ razão
“Arithmos” ⇒ número
Juntando as duas partes, formamos facilmente a palavra “logaritmo”, significando “número de razão”.
Existem vestígios em escritos da era babilônica, permitindo identificar sinais da utilização de tabelas logarítmicas entre eles. Mais tarde Arquimedes, ao se deparar com números muito grandes, também faz tentativas de estabelecer alguma coisa nesse sentido. Nos séculos XV, XVI e XVII, ocorreu uma intensificação das navegações marítimas; comércio entre pontos distantes do planeta cresceu muito. Como consequência surgiu a necessidade de executar cálculos cada vez mais complexos e por vezes tediosos. Isso foi devido a necessidade de traçar rotas, desenhar mapas, assim como computar os lucros e as despesas das operações comerciais. As operações de multiplicação e divisão, com números cada vez maiores, sem auxílio de recursos mecânicos, muito menos eletrônicos, tornava a tarefa hercúlea.
Agora vamos multiplicar o quadrado das diferenças, pelas somas dos dois números, conforme a regra vista.
a)$\underbrace{(3x – 2y)^2}\cdot{\overbrace{(3x + 2y)}} $
b)$\underbrace{(5a – bx)^2}\cdot{\overbrace{(5a + bx)}}$
c)$\underbrace{(1 – 5x)^2}\cdot{\overbrace{(1 + 5x)}}$
d)$\underbrace {(6t – 4s)^2}\cdot{\overbrace{(6t+ 4s)}}$
e)$\underbrace{(8i – z)^2}\cdot{\overbrace{(8i +z)}}$
f)$\underbrace{(4n – 5m)^2}\cdot{\overbrace{(4n +5m)}}$
g)$\underbrace{(r – pq)^2}\cdot{\overbrace{(r + pq)}} $
Vamos resolver aplicando a regra.
a)$\underbrace{(3x – 2y)^2}\cdot{\overbrace{(3x + 2y)}} $
$\underbrace{{(3x)}^3} -\overbrace {{(3x)}^2\cdot{(2y)}} – \underbrace{3x\cdot {(2y)^2}} + \overbrace{{(2y)}^3}$
$ 27x^3 – 18x^2y – 12xy^2 + 8y^3 $
b)$\underbrace{(5a – bx)^2}\cdot{\overbrace{(5a + bx)}}$
$\underbrace{{(5a)}^3} -\overbrace{{(5a)^2}\cdot{(bx)}} – \underbrace{5a\cdot{(bx)}^2} +\overbrace{{(bx)}^3}$
$ 125 a^3 – 25abx – 5ab^2x^2 + b^3x^3 $
c)$\underbrace{(1 – 5x)^2}\cdot{\overbrace{(1 + 5x)}}$
$\underbrace{1^3} -\overbrace{ 1^2\cdot 5x} -\underbrace{1\cdot {(5x)^2}} +{{(5x)}^3}$
$ 1 – 5x – 25x^2 + 125x^3 $
d)$\underbrace {(6t – 4s)^2}\cdot{\overbrace{(6t+ 4s)}}$
$\underbrace{{(6t)}^3} -\overbrace {{(6t)}^2\cdot {(4s)}} – \underbrace{6t\cdot {(4s)}^2} +\overbrace {{(4s)}^3}$
$ 216t^3 – 144t^2s – 96ts^2 + 64s^3 $
e)$\underbrace{(8i – z)^2}\cdot{\overbrace{(8i +z)}}$
$\underbrace{{(8i)}^3} -\overbrace {{(8i)^2}\cdot {(z)}} – \underbrace{8i\cdot z^2} +\overbrace{ z^3}$
$ 512i^3 – 64i^2z – 8iz^2 + z^3$
f)$\underbrace{(4n – 5m)^2}\cdot{\overbrace{(4n +5m)}}$ $\underbrace{{(4n)}^3} -\overbrace {{(4n)^2}\cdot{(5m}} -\underbrace{4n\cdot {((5m)}^2} +\overbrace {{(5m)}^3}$
$ 64n^3 – 80mn^2 – 100m^2n + 125m^3 $
g)$\underbrace{(r – pq)^2}\cdot{\overbrace{(r + pq)}}$
$\underbrace{ r^3} -\overbrace{ r^2\cdot {(pq)}} -\underbrace{r\cdot {(pq)}^2} +\overbrace{ {(pq)}^3}$
$ r^3 – pqr^2 – p^2q^2r + p^3q^3 $
Vamos deixar uns exemplos para seu treinamento. Não esqueça que em caso de dúvidas pode fazer contato e pedir esclarecimento.
h)$\underbrace{(9 – 3x)^2}\cdot{\overbrace{(9 + 3x)}}$
i) $\underbrace{(4m -n)^2}\cdot{\underbrace{(4m + n)}}$
j)$\underbrace{(5a – 2b)^2}\cdot{\overbrace{(5a – 2b)}}$
l)$\underbrace{(7u – 3v)^2}\cdot{\overbrace{(7u + 3v)}}$
m)$\underbrace{(2mn – 7)^2}\cdot{\overbrace{(2mn + 7)}}$
n)$\underbrace{(5pr – 4tu)^2}\cdot{\overbrace{(5pr + 4tu)}}$
o)$\underbrace{(7f – 3g)^2}\cdot{\overbrace{(7f + 3g)}}$
p)$\underbrace{(9 – 6n)^2}\cdot{\overbrace{(9 + 6n)}}$
Curitiba, 26 de junho de 2018
Décio Adams
www.facebook.com/livros.decioadams
www.facebook.com/decioadams.matfisonline
Telefone: (41) 3019-4760
Celulares: (41) 99805-0732
Chegou o momento de usar as regras mais avançadas. Multiplique os quadrados das somas pelas diferenças dos mesmos números, usando a regra vista no post anterior.
a)$\underbrace{(ax + by)^{2}}\cdot{\overbrace {(ax – by)}} $
b)$\underbrace {(5 + 3x)^{2}}\cdot{\overbrace{(5 – 3x)}} $
c)$\underbrace {(4n + m^{2})^{2}}\cdot{\overbrace{(4n – m)}} $
d)$\underbrace{(5a + 3b)^{2}}\cdot{\overbrace{(5a – 3b)}}$
e)$\underbrace{(7x + 2y)^{2}}\cdot{\overbrace{(7x -2y)}} $
f)$\underbrace{(10 + 3v)^{2}}\cdot{\overbrace{(10 – 3v)}}$
g)$\underbrace{(px + qy)^{2}}\cdot{\overbrace{(px – qy)}}$
a)$\underbrace{(ax + by)^{2}}\cdot{\overbrace{(ax – by)}}$ $\underbrace{(ax)^3} +\overbrace {(ax)^{2}\cdot(by)} – \underbrace{(ax)\cdot {(by)}^2} -\overbrace {(by)^3}$
$\underbrace{ a^{3}x^{3} }+\overbrace{ a^{2}bx^{2}y} – \underbrace{ab^{2}xy^{2}} -\overbrace {(by)^3}$
$ a^{3}x^{3} + a^2bx^2y – ab^2xy^2 – b^3y^3 $
b)$\underbrace{(5 + 3x)^2}\cdot{\overbrace{(5 – 3x)}}$
$\underbrace{ 5^3} +\overbrace {5^2\cdot{3x}} – \underbrace{5\cdot {(3x)}^2} – \overbrace{(3x)^3}$
$ 125 + 75x – 45x^2 – 27x^3 $
c)$\underbrace{(4n + m^2)^2}\cdot{\overbrace{(4n – m^2)}}$
$\underbrace{(4n)^3} +\overbrace {(4n)^2\cdot(m^2)} -\underbrace{4n\cdot{(m^2)}^2} – \overbrace{(m^2)^3}$
$ 64n^3 + 16n^2m^2 – 4nm^4 – m^6 $
d)$\underbrace{(5a + 3b)^2}\cdot{\overbrace{(5a – 3b)}}$
$\underbrace{(5a)^{3}} +\overbrace{(5a)^{2}\cdot {(3b)}} -\underbrace{ 5a\cdot{(3b)^2}} – \overbrace{(3b)^3}$
$ 125a^3 + 75a^2b – 45ab^2 – 27b^3 $
e)$\underbrace{(7x + 2y)^2}\cdot{\overbrace{(7x -2y)}}$
$\underbrace{(7x)^3} +\overbrace {(7x)^{2}\cdot {(2y)}} -\underbrace{7x\cdot{(2y)^2}} -\overbrace {(2y)^3}$
$ 343x^3 + 98x^2y – 28xy^2 – 8y^3 $
f)$\underbrace{(10 + 3v)^2}\cdot{\overbrace{(10 – 3v)}}$
$\underbrace{(10)^3} +\overbrace{(10)^2\cdot {(3v)}} -\underbrace{10\cdot{(3v)}^2} – \overbrace {(3v)^3}$
$ 1000 + 300v – 90v^2 – 27v^3 $
g)$\underbrace{(px + qy)^2}\cdot{\overbrace{(px – qy)}}$
$\underbrace{(px)^3} +\overbrace {{(px)}^2\cdot {(qy)}} -\underbrace{ px\cdot{(qy)}^2} -\overbrace {(qy)^3}$
$ p^3x^3 + p^2qx^2y – pq^2xy^2 – q^3y^3 $
Uma coleção de exercícios para a prática do conteúdo, pelos leitores/estudantes. Na dúvida, consulte e exponha sua dificuldade para que eu possa ajudá-lo.
h)$\underbrace{(2u + 3v)^2}{\cdot{\overbrace{(2u – 3v)}}}$
i)$\underbrace{(5x + 4y)^2}{\cdot{\overbrace{5x – 4y)}}}$
j)$\underbrace{(3a + 7bc)^2}{\cdot{\overbrace{(3a – 7bc)}}}$
l)$\underbrace{(1 + 9m)^2}{\cdot{\overbrace{(1 – 9m)}}}$
m)$\underbrace{(4p + 6q)^2}{\cdot{\overbrace{(4p – 6q)}}}$
n)$\underbrace{(7x + 3y)^2}{\cdot{\overbrace{7x – 3y)}}}$
Curitiba, 25 de junho de 2018
Décio Adams
www.facebook.com/livros.decioadams
www.facebook.com/adamsdecio
Telefone: (41) 3019-4760
Celulares: (41) 99805-0732
Use agora a regra do cubo da soma de dois números para obter os polinômios de quatro termos resultantes das expressões abaixo.
a)$\underbrace{{(7 +2j)}^3}$
b)$ \underbrace{{(x + 3yz)}^3}$
c)$ \underbrace{{(4f + 5m)}^3}$
d)$\underbrace{{(ma + nb)}^3} $
e)$\underbrace{{(11 + 4r)}^3} $
a)$\underbrace{{(7 +2j)}^3}$
$\underbrace{ 7^3 }+\overbrace{ 3\cdot {7^2}\cdot{2j}} +\underbrace{ 3\cdot {7}\cdot {(2j)}^2} + \overbrace{(2j)^3}$
$ 343 + 294j + 84j^2 + 8j^3 $
b)$\underbrace{ {(x + 3yz)}^3}$
$\underbrace{ x^3} +\overbrace{ 3\cdot x^{2}\cdot {(3yz)}} +\underbrace{ 3\cdot x\cdot {(3yz)}^2} +\overbrace{ {(3yz)}^3 }$
$ x^3 + 9x^{2}yz + 27xy^{2}z^{2} + 27y^{3}z^{3} $
c)$\underbrace{ {(4f + 5m)}^3}$
$\underbrace{ {(4f)}^3} +\overbrace{3\cdot{4f}^{2}\cdot{(5m)} } +\underbrace{3\cdot{(4f)}\cdot{(5m)}^2} +\overbrace{ {(5m)}^3}$
$ 64f^3 + 240f^{2}m + 125m^{3} $
d)$\underbrace{{(ma + nb)}^3}$
$\underbrace{ {(ma)^3}} +\overbrace{ 3\cdot {(ma)}^{2}\cdot {(nb)}} +\underbrace{3\cdot {(ma)}\cdot {(nb)}^{2}} +\overbrace{ {(nb)}^{3} }$
$m^{3}a^{3} + 3m^{2}na^{2}b + 3mn^{2}ab^{2} + n^{3}b^{3} $
e)$\underbrace{{(11 + 4r)}^3}$
$\underbrace{ 11^3} +\overbrace{ 3\cdot 11^{2}\cdot{(4r)}} +\underbrace{ 3\cdot 11\cdot{(4r)}^{2}} +\overbrace{ {(4r)}^{3}}$
$ 1331 + 1452 r + 528 r^2 + 64 r^3 $
Exercícios para você treinar. Não perca tempo. Dúvidas, entre em contato e peça esclarecimentos.
f)$\underbrace{(3a + 2b)^3}=?$
g)$\underbrace{(5 + xy)^3}=?$
h)$\underbrace{(10m + 7n)^3}=?$
i)$\underbrace{(1 + 3n^2)^3}=?$
j)$\underbrace{6v + 2z)^3}= ?$
l)$\underbrace{8r + 4q)^3}=?$
m)$\underbrace{7i + 3j)^3}=?$
Curitiba, 25 de junho de 2018
Décio Adams
www.facebook.com/livros.decioadams
www.facebook.com/adamsdecio
Telefone: (41) 3019-4760
Celulares: (41) 99805-0732
Usando a regra do produto da soma de dois números pela sua diferença, obtenha os binômios resultantes das multiplicações abaixo.
a)$\underbrace{{(7 + 2x)}{(7 – 2x)}}$
b)$\underbrace{{(5 – 3y)}{(5 + 3y)}}$
c)$\underbrace{{(ab^{2} + b)}{(ab^{2} – b)}}$
d)$\underbrace{{(xy + xz)}{(xy – xz)}}$
e)$ \underbrace{{(4m – 3n)}{(4m + 3n)}}$
f)$ \underbrace{{(7x^{3} + 2y^{2})}{(7x^{3} – 2y^{2})}}$
a)$\underbrace{(7 + 2x)}\overbrace{(7 – 2x)}$
$\underbrace {7^2 – {(2x)}^2}$
$ 49 – 4x^2 $
b)$\underbrace{(5 – 3y)}\overbrace{(5 + 3y)} $
$\underbrace{5^2 – {(3y)}^2 }$
$ 25 – 9y^2 $
c)$\underbrace {(ab^{2} + b)}\overbrace{(ab^{2} – b)} $
$\underbrace {{(ab^{2}}^{2} – b^2}$
$ a^{2}b^{4} – b{2} $
d)$\underbrace{(xy + xz)}\overbrace{(xy – xz)}$
$ \underbrace{{(xy)}^{2} – {(xz)}^{2}}$
${x^{2}y^{2} – x^{2}z^{2}}$
e)$\underbrace {(4m – 3n)}\overbrace{(4m + 3n)}$
$\underbrace {{(4m)}^{2} – {(3n)}^{2}}$
$ 16m^2 – 9n^2 $
f)$\underbrace {(7x^{3} + 2y^{2})}\overbrace{(7x^{3} – 2y^{2})}$
$\underbrace{(7x^{3})^{2} – (2y^{2})^2}$
$ 49x^{6} – 4y^{4} $
Agora é a vez do leitor/estudante. Pratique na resolução dos produtos seguintes.
g)$\underbrace{{(6 + 2xy)}{(6 – 2xy)}}=?$
h) $\underbrace{{(4x – 3y)}{94x + 3y)}}=?$
i) $\underbrace{{(a -bc)}{(a + bc)}}=? $
j) $\underbrace{{(m^2 + 3n)}{(m^2 – 3n)}}=?$
l) $\underbrace{{(uv – 5z)}{(uv + 5z)}}=? $
m) $\underbrace{{(2p – 5q)}{(2p + 5q)}}=?$
Em caso de dúvida, entre em contato para esclarecer.
Curitiba, 25 de junho de 2018
Décio Adams
www.facebook.com/livros.decioadams
www.facebook.com/adamsdecio
Telefone: (41) 3019-4760
Celulares: (41) 99805-0732
Usando a regra do quadrado da diferença entre dois números, resolva as expressões abaixo.
a)${(5a – 2b)}^2$
b)$ {(a^{2}i – b^{3}j)}^2$
c)$ {(2vx – 3uy)}^2$
d)$ {(4 q^{3} – 6p^{2})}^{2}$
e)${(12 – 3 a^{3})}^2$
f)$ {(15 – 3x)}^2$
g)$ {(7x – 8y)}^2 $
Vamos à resolução.
a)$\underbrace{(5a – 2b)^2}$
$\underbrace {(5a)^2} +\overbrace{- 2\cdot {5a}\cdot{2b}} +\underbrace{(ab)^2 }$
$ 25a^2 – 20ab + 4b^2 $
b)$\underbrace {(a^{2}i – b^{3}j)^2}$
$ \underbrace{ [(a^2)i]^2} -\overbrace{ 2\cdot{a^2}i\cdot{b^3}} + {(b^3)}^2$
$ a^{4}i^{2} – 2a^{2}b^{3}i + b^6 $
c)$\underbrace {(2vx – 3uy)^2}$
$ {(2vx)^2 – 2\cdot {(2vx)}\cdot{(3uy)} + {(3uy)}^2}$
$ 4v^{2}x^{2} – 12uvxy + 9u^{2}y^{2} $
d)$\underbrace {(4 q^{3} – 6p^{2})^2}$
$\underbrace{(4q^{3})^2} -\overbrace{ 2\cdot (4q^{3})\cdot(6p^{2})} +\underbrace{(6p^{2})^2}$
$ 16q^6 – 48q^{3}p^{2} + 36p^{4} $
e)$\underbrace{(12 – 3 a^{3})^2}$
$ \underbrace{(12)^2} -\overbrace{ 2\cdot{12}\cdot{3a^3}} +\underbrace {(3a^{3})^2}$
$ 144 – 72a^{3} + 9a^6 $
f)$\underbrace {(15 – 3x)^2}$
$ \underbrace {(15)^2} -\overbrace{ 2\cdot {15}\cdot{(3x)}} +\underbrace {(3x)^2}$
$ 225 – 90x + 9x^2 $
g)$\underbrace {(7x – 8y)^2}$
$\underbrace {(7x)^2} -\overbrace{ 2\cdot{7x}\cdot {8y}}+ \underbrace{(8y)^2}$
$ 49x^2 – 112xy + 64y^2$
Resolva você estes que vem a seguir.
h)${(3x – 5y)^2}$
i)${(5 – 8xy)^2}$
j)${(mn – 5n)^2}$
l)${(4j – 6n)^2}$
m)${(fg – 5h)^2}$
n) ${(10 – 7p)^2$
o) ${(12 – 9r)^2}$
Curitiba, 23 de junho de 2018
Décio Adams
www.facebook.com/livros.decioadams
www.facebook.com/adamsdecio
Telefone: (41) 3019-4760
Celulares: (41) 99805-0732
Continue lendo “046.1 – Matemática, álgebra. Exercícios de produtos notáveis. Quadrado da soma.”
$\underbrace{( a + b)^2}\cdot\overbrace{(a – b)} $
Já sabemos que o quadrado da soma é um trinômio quadrado perfeito (trinômio soma). Podemos usar o resultado imediatamente.
$\underbrace{( a^{2} + 2ab + b^{2})}{\overbrace{(a – b)}} $
$ {a}{a^{2}} + {a}{(2ab)} + {a}{b^{2}} +{(-b)}{a^{2}} + {(-b)}{(2ab)} + {(-b)}{b^{2}} $
$ a^{3} + 2a^{2}b + ab^{2} – a^{2}b – 2ab^{2} – b^{3} $
$ a^{3} +\underbrace{ 2a^{2}b – a^{2}b} +\overbrace{ ab^{2} – 2ab^{2}} – b^{3} $
$ a^{3} + a^{2}b -ab^{2} – b^{3} $
Podemos enunciar a regra para obter o produto do quadrado de dois números pela sua diferença, como segue.
Vamos tentar por em prática? Seja:
$\underbrace {{(2x + y)}^{2}}\cdot\overbrace{(2x – y)} $
${(4x^{2} + 4xy + y^{2})}{(2x – y)} $
$ {(2x)}^{3} + {(2x)}^{2}{y} – 2x{y^{2}} – {y^{3}} $
$ {8x^3 + 4x^{2}y – 2xy^2 – y^3 }$
Vamos exercitar um pouco? Faz bem, não é verdade?!
a) $ {(3x – y)^2}{(3x + y)}= ?$
b) ${(6 – 2z)^2}{(6 + 2z)}= ? $
c) ${(ab – m)^2}{(ab + m)}- ? $
d) ${(5n – 2m)^2}{(5n + m)}= ?$
Curitiba, 20 de junho de 2018
Décio Adams
www.facebook.com/livros.decioadams
www.facebook.com/adamsdecio
Telefone: (41) 3019-4760
Celulares: (41) 99805-0732