Estudo detalhado do triângulo equilátero.
Depois de termos visto o Teorema de Pitágoras, podemos aplicar esse conhecimento na determinação de elementos notáveis dos triângulos equiláteros.
Como foi visto acima, é o único triângulo classificado como figura geométrica regular. Isso implica em que o traçado de suas alturas, bissetrizes dos ângulos, medianas e mediatrizes sejam coincidentes, interceptando-se em um mesmo ponto que é o centro geométrico do triângulo ou seja é o baricentro, ortocentro, incentro e circuncentro. Iremos estabelecer modos de determinação das medidas da altura, do apótema e do raio da circunferência circunscrita.
O ponto $M$, divide o lado $\overline{BC}$ em dois segmentos congruentes, equivalentes à metade do lado do triângulo. Portanto $\overline{MC} = {{l}\over{2}}$, determinando assim um triângulo retângulo $\Delta{(AMCA)}$, onde podemos aplicar o Teorema de Pitágoras.
$\overline{AC} = l $ $\Rightarrow$ hipotenusa.
$\overline{AM} = h $ $\Rightarrow$ altura do triângulo e é um dos catetos.
$\overline{MC} = {{l}\over{2}}$ $\Rightarrow$ cateto.
${l}² = h² + ({{l}\over {2}})²$ $\Leftrightarrow$ $h² = l² – {{l²}\over{4}}$
$\sqrt{h²} = {{{{4}\cdot{l²}} – l²}\over{4}}$
$h = {{{3}\cdot{l²}}\over{4}}$ $\Leftrightarrow$ $h = \sqrt {{{3}\cdot{l²}}\over{4}} $
$h = {{{l}\cdot\sqrt{3}}\over{2}}$
O apótema equivale ao segmento que representa o raio da circunferência inscrita no interior do retângulo equilátero.
No triângulo destacado, temos:
$\overline{BO}$ $\Rightarrow$ raio da circunferência circunscrita (hipotenusa). Equivale à diferença entre a altura e o apótema.
$R = h – a $
$\overline{BM} ={{l}\over{2}}$ $\Rightarrow$ cateto.
$a$ $\Rightarrow$ apótema que é igual ao raio da circunferência inscrita.
$R² = a² + ({{l}\over{2}})²$ $\Leftrightarrow$ ${h – a}² = a² + {{l²}\over{4}}$
${h² – 2ah + a²} = a² + {{l²}\over{4}}$ $\Leftrightarrow$ $h² – 2ah =a² – a² +{{l²}\over{4}}$
$h² – {{l²}\over{4}} = 2ah$ $\Leftrightarrow$ $a = {{h^2 – {{l^2}\over{4}}}\over{2h}}$
$a = {{\left({{l}\sqrt{3}\over{2}}\right)^2 -{l²}}\over{{2{l}\sqrt{3}}\over{2}}}$$\Leftrightarrow$$a = {{{3{l}² – {l}²}\over{4}}\over{l\sqrt{3}}}$
$a = {{2{l}²\over{4}}\over{l\sqrt{3}}}$ $\Leftrightarrow$ $a = {{l²}\over{2}}\cdot{{1}\over{l\sqrt{3}}}\cdot{\sqrt{3}\over\sqrt{3}}$
$a = {{l\sqrt{3}}\over{6}}$
Estabelecemos acima que ${R = h – a}$ de onde podemos deduzir a expressão de $R$ em função do lado do triângulo.
$R = {{l}\sqrt{3}\over{2}} – {{l}\sqrt{3}\over{6}}$
$R = {{{3\cdot{{l}\sqrt{3}}} – {{l}\sqrt{3}}}\over{6}}$
$R = {{2{l}\sqrt{3}}\over{6}}$
$R = {{l}\sqrt{3}\over{3}}$
Comparando esses três elementos, podemos estabelecer que:
${{{h}\over{a}} = {{{l}\sqrt{3}\over{2}}\over{{l}{\sqrt{3}}\over{6}}}}$ $\Leftrightarrow$ ${{{h}\over{a}} = {{{l}\sqrt{3}\over{2}}\cdot {{6}\over{{l}\sqrt{3}}}}}$
${h\over {a}} = {\not{6}\over\not{2}}$ $\Leftrightarrow$ $ a = {1\over3}\cdot h $
${{{h}\over{R}} = {{{{l}\sqrt{3}}\over{2}}\over{{{l}\sqrt{3}}\over{3}}}}$$\Leftrightarrow$${{{h}\over{R}} = {{{{l}\sqrt{3}}\over{2}}\cdot{{3}\over{l}\sqrt{3}}}}$
${{h}\over{R}} = {3\over2}$
$R = {2\over3}\cdot h$
${{a}\over{R}} = {{{{l}\sqrt{3}}\over{6}}\over{{{l}\sqrt{3}}\over{3}}}$$\Leftrightarrow$$ {{a}\over{R}} = {{{{l}\sqrt{3}}\over{6}}\cdot{{3}\over{{l}\sqrt{3}}}}$
$a = {1\over2}\cdot R$
Vejamos as circunferências inscrita e circunscrita num triângulo equilátero.
Perímetro
Denominamos perímetro a soma das medidas de todos os lados de um polígono. Se imaginarmos fazer uma cerca ao redor do polígono usando arame, qual seria o comprimento de um fio desse produto para dar uma volta completa? Com certeza todos dirão que é só somar os lados. Pronta a resposta. Por isso dizemos que:
Perímetro de um triângulo equilátero é a soma de seus três lados.
$ p = l + l + l$ $\Leftrightarrow$$ p = 3\cdot l$
Vamos exercitar um bocado.
- Um triângulo equilátero tem uma circunferência inscrita, cujo raio mede $7,0 cm$. Pede-se determinar o raio da circunferência circunscrita, a altura do triângulo e a medida do lado. Calcule também a área do triângulo.
$ r = a = {1\over2}\cdot{R}$ $\Leftrightarrow$$ 7 = {R\over2}$
$R = {7,0}\cdot{2} = 14,0 cm$
$h = a + R$
$h = 7,0 + 14,0 = 21,0 cm$
$h = {{{l}\sqrt{3}}\over{2}}$
$21,0 = {{{l}\sqrt{3}}\over{2}}$$\Leftrightarrow$${(21,0)}\cdot{2} = {l}\sqrt{3}$
${{(42,0)}\over\sqrt{3}} = l $ $\Leftrightarrow$${{{(42,0)}\cdot\sqrt{3}}\over\sqrt{3}} = l$
$l = {{{(42,0)}\cdot\sqrt{3}}\over{3}} = {{(14,0)}\cdot\sqrt{3}} cm$
$S_{3} = {{b\cdot h}\over2}$
$b = l = {(14,0)\cdot\sqrt{3}}$
$h = 21.0 cm$
$S_{3}= {{{(14,0)\cdot\sqrt{3}}\cdot{(21,0)}}\over2}$
$S_{3} = {(147,0)}\sqrt{3} cm$
2. Uma circunferência de raio $R = 30,0 cm$ é circunscrita a um triângulo equilátero. Pede-se determinar o raio da circunferência inscrita, a altura e o lado do triângulo, além de sua área.
$R = 30,0 cm$
$a = {R\over2}$
$a ={{(30,0)}\over{2}} = 15,0 cm$
$r = a = 15,0 cm$
$h = R + a$ $\Leftrightarrow$ $ h = 30,0 + 15,0 = 45,0 cm$
$h = {{{l}\cdot\sqrt{3}}\over{2}}$
$(45,0) = {{{l}\sqrt{3}}\over{2}}$$\Leftrightarrow$${{{(45,0)}\cdot{2}}\over\sqrt{3}} = l$
${{{(90,0)}\sqrt{3}}\over\sqrt{3}} = i$$\Leftrightarrow$$ l = {{(90,0)\sqrt{3}}\over{3}}$$\Leftrightarrow$$l = (30,0)\sqrt{3} cm$
$S_{3}= {{b\cdot h}\over2}$
$S_{3}= {{(30,0)\sqrt{3}\cdot (45,0)}\over2}$
$S_{3}= {(15,0)\cdot(45,0)\sqrt{3}}$$\Leftrightarrow$ $S_{3}= (675,0)\sqrt{3} cm²$
3. Um triângulo equilátero tem o lado medindo $ l = 27,0 m$. Pede-se determinar o raio da circunferência circunscrita, o raio da circunferência inscrita, a altura e a área da figura.
$R = {{l\sqrt{3}}\over 3}$
Sendo $ l = 27,0 m$, ficamos com:
$R = {{(27,0)\sqrt{3}}\over{3}}$$\Leftrightarrow$$R = (9,0)\sqrt{3} m$
$r = a = {{l\sqrt{3}}\over6}$
$r = {{(27,0)\sqrt{3}}\over 6}$$\Leftrightarrow$$ r = {{(9,0)\sqrt{3}}\over 2} m$
$h = {{l\sqrt{3}}\over 2}$
$h = {{(27,0)\sqrt{3}}\over 2}$$\Leftrightarrow$$ h = (13,5)\sqrt{3} m$
$S_{3}= {{b\cdot h}\over2}$
$S_{3} = {{(27,0)\cdot(13,5)\sqrt{3}}\over 2}$
$S_{3} = 182,25\sqrt{3} m²$
4. Um proprietário de terras, deseja cercar uma área em forma de triângulo equilátero, com 5(cinco) fios de arame liso. Se um dos lados da área mede $l = 200,0 m$, quantos metros de fio ele irá gastar para completar a cerca?
Se $p = 3\cdot l$$\Leftrightarrow$$ p = 3\cdot{200,0} = 600,0 m$
Cada fio de arame consumirá $600,0 m$ do material. Se ele quer colocar 5(cinco) fios, irá gastar:
$P = 5\cdot p$ $\Leftrightarrow$$ P = 5\cdot{600,0} = 3000,0 m$
Chegou a sua vez. Mostre do que é capaz.
- Se um círculo de raio $r = 12,0 cm$ está inscrito em um triângulo equilátero, determine: a) o raio do círculo circunscrito; b) a altura do triângulo; c) o lado do triângulo; d) a área do triângulo.
- Um triângulo equilátero está inscrito em uma circunferência de raio $R = 25,0 cm$. Calcule o raio do círculo inscrito nesse triângulo, a altura do triângulo e o seu lado.
- Um triângulo equilátero tem altura de $h = 18,0 cm$. Quer-se saber quanto mede o raio da circunferência inscrita, o lado do triângulo e a sua área. É possível circunscrever um círculo perfeito a esse triângulo? Se for, qual é seu raio.
- O perímetro de um triângulo equilátero (soma dos lados) é $p = 54,0 cm$. Determine sua altura, o apótema, o raio da circunferência circunscrita e a área do triângulo.
- Um triângulo equilátero, justapõe-se a outro igual a ele, formando um losango. Sendo as diagonais desse losango de medidas $d = 12,0 cm$ e $D ={(8,0)\sqrt{3}}cm$, determine sua área, a medida dos lados, o raio da circunferência inscrita e o raio da circunferência circunscrita aos vértices mais distantes.
- Um homem possui no terreno de sua casa uma sobra onde pretende colocar cerca murada. A forma é de um triângulo equilátero e vai precisar de 24 unidades de tijolos de 25,0cm, para cada fileira de um lado. Se quer fazer o muro com 8 (oito) fileiras de tijolos, quantos tijolos irá precisar para completar a obra?
- Dois irmãos são sócios em 50% para cada um de um terreno em forma de triângulo equilátero. Eles querem construir suas casas e para isso precisam demarcar as parcelas que cabem a cada um. Visando proteger o terreno de intrusos, quando ali forem colocar o material para a construção, querem construir muros de todos os lados e também na divisória. Se o lado do terreno mede $l = 50,0 m$, quantos metros de muros terão que construir? Se o código de edificações em área residencial da prefeitura permite ocupar 40% da área, qual é a área máxima que cada um deles poderá ocupar com a sua moradia?
- A diagonal menor de um losango, divide a figura em dois triângulos equiláteros. Se $d = 15,0 m$, determine a área de cada triângulo e a área do losango. Determine a diagonal maior da figura resultante. Determine o raio da circunferência que poderá ser inscrita na figura completa.
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Curitiba, 30 de outubro de 2019
Décio Adams
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