Logaritmos com mudança de base

Ao longo dos estudos empregando logaritmos, nos deparamos com situações em que é necessário mudar a base. Como faremos isso?

Tomemos como exemplo o seguinte:

$ {log_8{1024}} $

Decompondo o logaritmando em fatores primos, encontraremos: $ {1024 = 2^{10}}$

Também sabemos que ${ 2^{3} = 8} $.

Assim podemos escrever: $ {log_8{(8^{3}\cdot 2)}} $

Daí podemos tirar que: ${log_8{8^3} + log_8{2}}$

Continuamos: $ {3\cdot {log_8{8}} + log_8{2}}$

$ {3\cdot {1} } + log_8{2} = 3 + log_8{2}$

Sabemos que: $ {2 = \sqrt[3]{8}}$

Logo: ${ 2 = 8^{{1}\over{3}}} $

Então podemos dizer: $ 3 + log_8{2} = 3 + log_8{8^{{1}\over{3}}} = {3 + {{1\over3}}\cdot {log_8{8}}}$

$ {3 + {{1}\over {3}}\cdot{1}} = {{{3\cdot 3} + 1}\over{3}}$

$ {{9 + 1} \over{3}} = {{10}\over{3}} $