Tag: #multiplicação algébrica

20 de junho de 201826 de maio de 2020

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044.1 – Matemática, álgebra – Produtos notáveis – Cubo da diferença

**– É a vez do Cubo da Diferença de dois números**

Para manter a continuidade, vamos considerar os mesmos números (letras) e desenvolver o produto.

$\underbrace{( a – b )^3} $

Novamente desmembramos numa multiplicação de potências de mesma base.

$\underbrace{( a – b )^2} {\overbrace{(a – b)}} $

$\underbrace { (a^2 – 2ab + b^2)}\cdot\overbrace{( a – b )} $

$a^2{a} – 2a^2b + ab^2 + a^2{(-b)} – 2ab{(-b)} + b^2{(-b)}$

$ a^{3} – 2a^{2}b + ab^{2} – a^{2}b +2ab^{2} – b^{3} $

Agrupando os termos semelhantes e somando os coeficientes:

$ a^{3} +\underbrace {- 2a^{2} b – a^{2}b} +\overbrace{ ab^{2} + 2ab^{2}} – b^{3} $

$ a^{3} – 3a^{2}b + 3ab^{2} – b^{3} $

Se compararmos esse polinômio com o que foi obtido no caso do cubo da soma de dois números, veremos que eles são exatamente iguais, exceto dois sinais (-) no segundo e quarto termos. Assim, podemos escrever a regra.

“O cubo da diferença entre dois números é dado pelo cubo do primeiro termo, menos o triplo do produto entre o quadrado do primeiro e o segundo termo, mais o triplo do produto do primeiro termo pelo quadrado do segundo, menos o cubo do segundo termo”.

Para lembrar mais facilmente.

A ordem dos expoentes nas variáveis segue a mesma sequência do cubo da soma, apenas os termos pares (segundo e quarto), tem um sinal (-) negativo.

Para aplicar a regra, vamos a um exemplo.

$ {( ax – by)}^{3} $

O primeiro termo é ax e o segundo termo é by. Vamos agora aplicar a regra

O cubo do primeiro termo é

${(ax)}^{3} $

$ {a^{3}x^{3}} $

O triplo do quadrado do primeiro multiplicado pelo segundo termo é

$ {3{(ax)}^{2}{(by)}}$

$ {3a^{2}bx^{2}y }$

O triplo do primeiro termo multiplicado pelo quadrado do segundo é

$ {3ab^{2}xy{2} }$

O cubo do segundo termo é

$ {(by)} ^{3} $

$b^{3}y^{3} $

Escrevendo na ordem correta e aplicando os sinais teremos

${ a^{3}x^{3} – 3 a^{2}bx^{2}y + 3ab^{2}xy^{2} – b^{3}y^{3} }$

Hora de exercitar. Não podemos esquecer disso.

Desenvolver os cubos das diferenças.

a)$ {(3x – 4y)^{3}}= ?$

b) ${(pq – 2r)^{3}}= ?$

c) ${(uv – 3z)^{3}}= ?$

d) ${(3i – 2j)^{3}}= ?$

e) ${(5x – 7y)^{3}} = ?$

f) ${(2x – 5xy)^{3}}= ?$

g) ${(7m – 3n)^{3}}= ?$

h) ${(5x – 4y)^{3}}=?$

Curitiba, 20 de junho de 2018

Décio Adams

20 de junho de 201826 de maio de 2020

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044.0 – Matemática, álgebra – Produtos notáveis – Cubo da soma de dois números

Agora o bicho vai pegar

Vamos avançar mais um pouco com os produtos notáveis. Nem todos os livros apresentam esses tópicos, mas vale a pena conhecer, se você deseja ir um pouco mais longe, desenvolver mais suas aptidões.

**– Vamos ver o Cubo da Soma de dois números**

Os dois números, serão novamente representados por duas letras. Para manter a sequência adotada nos primeiros três casos, vamos usar novamente as letras a e b para isso.

$\underbrace{( a + b)^3} $

Podemos separar a potência de expoente 3 em um produto de potências de mesma base. Uma com expoente 2 e outra com expoente 1. Assim:

$\underbrace{( a + b)^2}{\overbrace{(a + b)}} $

Como já sabemos o resultado do quadrado da soma, podemos agora fazer a multiplicação do trinômio quadrado perfeito resultante, pela soma dos números a e b.

$\underbrace{ (a^2 + 2ab + b^2)}\cdot\overbrace{(a + b)} $

${(a^2)}{a} + {(2ab)}{a} +{(b^2)}{a} + {(a^2)}{b} + {(2ab)}{b} + {(b^2)}{b} $

${a^3} + {2a^{2}b} + {b^2}a + {a^{2}b} + {2ab^{2}}+ {b^3}$

Temos agora um polinômio com seis termos, onde existem dois pares de termos semelhantes. Vamos agrupar estes termos e depois efetuar a adição de seus coeficientes numéricos.

${a^3} +\underbrace{ 2a^{2}b + a^{2}b} +\overbrace{ 2ab^{2} + ab^{2}} + {b^3} $

$ {a^3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b{^3}$

O resultado é um polinômio de quatro termos e podemos enunciar a regra para sua obtenção da seguinte maneira:

“O cubo da soma de dois números é igual ao cubo do primeiro termo, mais o triplo do produto entre o quadrado do primeiro termo e o segundo termo, mais o triplo do produto do primeiro termo, pelo quadrado do segundo, mais o cubo do segundo termo”.

Para lembrar mais facilmente.

Na parte literal a variável do primeiro termo tem o expoente 3 no primeiro termo, expoente 2 no segundo termo, expoente 1 no terceiro termo e expoente 0 no quarto termo. A variável do segundo termo segue o inverso, isto é, seus expoentes estão em ordem crescente.

Vejamos um outro exemplo para resolver, aplicando essa regra.

${( 2x + 3y)}^3 $

Para facilitar, vamos por partes. O primeiro termo é 2x e o seu cubo é

$ {(2x)}^3 $

$ {8 x^3} $

O triplo do quadrado do primeiro, multiplicado pelo segundo termo será:

$ {3\cdot{(2^{2}x^{2})}{(3y)}} $

$ {36 x^{2}y}$

O triplo do primeiro termo, multiplicado pelo quadrado do segundo será:

$ {3\cdot{2x}\cdot{(3^{2}y^{2})}}$

$ {54xy^{2}} $

O cubo do segundo termo será

${(3y)}^3$

$ {27y^3}$

Falta apenas escrever os termos na ordem correta, para terminar:

$ 8x^3 + 36 x^{2}y + 54xy^{2} + 27y^3 $

Podemos dizer que esse polinômio de quatro termos é um cubo perfeito.

Aos exercícios. Efetue os cubos das somas a seguir.

a)${(5 + 2xy)^3}= ?$

b)${(3m + 5a)^3}= ?$

c)${(4x + 3y)^3}= ?$

d)${(uv +yz)^3}= ? $

e)${(2 + 3h)^3}= ? $

f)${(5x + 2by)^3}= ?$

g}${(7 + 3x)^{3}}= ?$

h} ${(6n + 3mx)^{3}}= ?$

Curitiba, 21 de junho de 2018

Décio Adams

17 de dezembro de 201727 de junho de 2020

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01.043 – Matemática, Álgebra. Produtos notáveis.

O que é algo notável?

Tudo que tem uma característica que chama atenção, tem algo além do comum, pode ser apontado como algo notável. Então, a expressão Produtos notáveis tem algo de importante e com aplicações relevantes em algum assunto mais adiante. Vejamos quais são esses casos.

Quadrado da soma de dois números.

Você provavelmente irá pensar que é mais fácil efetuar a soma e depois calcular a potência, ou seja elevar ao quadrado. Mas, se os números estiverem representados por letras, ou letras e números, como fica? Vamos ver?

$$\color{BrickRed}{ a + b} $$

É a adição dos números representados por letras e fica indicada. Vamos elevar ao quadrado:

$$\color{OrangeRed}{{( a + b)}^2}$$

Temos a multiplicação de um binômio por ele mesmo, sendo a o primeiro termo e b o segundo.

${(a + b)}\cdot{(a + b)} $

$ {a}\cdot {a} + {a}\cdot{b} + {b}\cdot {a} + {b}\cdot{b}$

${ a^2 + ab + ba + b^2} $

Há dois termos semelhantes, embora estejam com a ordem das letras invertida, isso não significa nada. Podemos usar a propriedade comutativa da multiplicação e colocar ambos na mesma ordem. Aqui estamos vendo uma aplicação da propriedade vista no estudo das quatro operações. Lá ela não parecia ter importância, mas aqui já fica claro que para alguma coisa serve.

${ a^2 + ab + ab + b^2}$

$$\color{NavyBlue}{ a^2 + 2ab + b^2}$$

O resultado é um trinômio, cujo primeiro termo é o primeiro termo da soma elevado ao quadrado, o segundo termo é o dobro do produto do primeiro pelo segundo termo e o terceiro termo é o quadrado do segundo termo da soma. Isso nos permite estabelecer a regra que pode ser usada em qualquer caso de uma soma de dois números, elevada ao quadrado.

“O quadrado da soma de dois números é igual ao quadrado do primeiro termo, mais o duplo produto (dobro) do primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo”.

Bom para lembrar!

Se observar bem, verá que o primeiro termo da soma, aparece primeiro com o expoente 2, depois com o expoente 1 e por último com o expoente 0, o que o torna igual a 1 (unidade). Já o segundo termo tem os expoentes em ordem inversa: 0, 1 e por último 2.

Vamos aplicar isso em alguns exemplos:

a) $\color{Indigo}{{(2x + y)}^2}$

Primeiro termo é 2x o segundo termo é y.

${{(2x)}^2 + 2\cdot 2\cdot{x}{y} + y^2}$

${{(2^2)\cdot (x^2)}\cdot 2\cdot{x}{y} + (y^2)}$

$$\color{Purple}{4x^2 + 4xy + y^2}$$

b) $\color{Indigo}{{(3m + 5)}^2}$

O primeiro termo é 3m e o segundo termo é 5.

$ {{(3m)}^2 + 2\cdot 3\cdot {m}\cdot 5 + 5^2}$

$$\color{Purple}{9m^2 + 30m + 25}$$

c) $\color{Indigo}{{( 6 + 4xy)}^2}$

O primeiro termo é 6 e o segundo termo é 4xy.

${6^2 + 2\cdot 6\cdot {(4xy)} + {(4xy)}^2 }$

$$\color{Purple}{36 + 48xy + 16x^2y^2}$$

d) $\color{Indigo}{{( p + 3q)}^2}$

Primeiro termo é p o segundo termo é 3q.

$ p^2 + 2\cdot p\cdot 3q + {(3q)}^2 $

$$\color{Purple}{p^2 + 6pq + 9q^2}$$

Resolva aplicando a regra vista os quadrados da soma de dois números, na lista a seguir.

a)$\color{Orchid}{{(3ax + 2by)}^2}$

b)$\color{Orchid}{{(7n + 3m)}^2}$

c)$\color{Orchid}{{(2 + 8mx)}^2}$

d)$\color{Orchid}{{(5a + 3b)}^2}$

e)$\color{Orchid}{{(11 + 5mn)}^2}$

f)$\color{Orchid}{{(4mx + 7n)}^2}$

g)$\color{Orchid}{{(6xy^2 + 2x^2y)}^2}$

h)$\color{Orchid}{{(9pq + 13)}^2}$

Quadrado da diferença de dois números

A mesma coisa que acontece no caso da soma, também ocorre com a diferença. Os números são representados por letras, formando no final a multiplicação de dois binômios iguais. Seja o exemplo:

$$\color{BrickRed}{{( a – b)}^2}$$

A letra a é o primeiro termo e a letra b é o segundo termo da diferença.

$$\color{NavyBlue}{{( a – b)}{(a – b)}}$$

Cada termo do primeiro fator é multiplicado por todos os termos do segundo fator. O que resulta em:

${a}\cdot {a} + {a}\cdot {(-b) } + {(-b)}\cdot {a} + {-b}\cdot{b} $

$ a^{(1+ 1)} – ab – ba + b^{(1 + 1)} $

$$\color{Orchid}{ a^2 – 2ab + b^2}$$

Os dois termos (- ab) e (-ba), são semelhantes, pois a ordem dos fatores pode ser alterada sem causar problemas no resultado. Basta aplicar a propriedade comutativa da multiplicação. Assim passamos a ter que:

“O quadrado da diferença entre dois números é igual ao quadrado do primeiro termo, menos o duplo produto (dobro) do primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo”.

Bom para lembrar!

Também aqui os expoentes das partes literais seguem a mesma sequência como acontece no quadrado da soma. A única diferença é que os sinais que precedem os termos, são alternadamente +, – e +. Isso facilita a recordação do resultado de um produto notável desse tipo.

Vamos exercitar:

a) $\color{Indigo}{{(x – y)}^2}$

O primeiro termo é a letra x e o segundo termo é a letra y.

${(x – y )}{(x – y)}$

$$\color{Orchid}{x^2 – 2xy + y^2}$$

b) $\color{Indigo}{{(3x – 2y)}^2}$

O primeiro termo é 3x e o segundo termo é 2y.

${(3x)}^2 – 2\cdot {(3x)}{(2y)} +{(2y)}^2$

$$\color{Orchid}{9x^2 – 12xy + 4y^2}$$

c) $\color{Indigo}{{(ab – bc)}^2}$

O primeiro termo é ab e o segundo termo é bc.

${(ab – bc)} {(ab – bc)} $

${(ab)}^2 – 2\cdot{(ab)}{(bc)} + {(bc)}^2 $

$$\color{Indigo}{{a^2b^2 – 2ab^2c + b^2c^2}}$$

d) $\color{Indigo}{{(5 – 2a)}^2}$

$ {(5 – 2a)}{(5 – 2a)}$

$ {5^2 – 2\cdot 5\cdot{2a} + {(2a)}^2}$

$$\color{Orchid}{ 25 – 20a + 4a^2 }$$

Obs.: Note que tanto o quadrado da soma como da diferença, resulta sempre em um trinômio, onde há dois termos que são quadrados e um termo que representa o produto dos dois termos. Costumeiramente esses trinômios recebem o nome de Trinômio quadrado perfeito. Voltaremos a falar neles em outro momento, ou seja por ocasião da fatoração.

Resolva aplicando a regra acima, os quadrados das diferenças entre dois números da seguinte sequência.

a)$\color{Brown}{{(5ax – 3bx)}^2}$

b)$\color{Brown}{{(Axy – Byz)}^2}$

c)$\color{Brown}{{(4rp^2 – 3pq)}^2}$

d)$\color{Brown}{{(5xy^3 – 3xy^2)}^2}$

e)$\color{Brown}{{(mz – my)}^2}$

f)$\color{Brown}{{(2aj – 3bj)}^2}$

g)$\color{Brown}{{(6gx – 7gy)}^2}$

h)$\color{Brown}{{(3my – 4n)}^2}$

Produto da soma de dois números pela sua diferença.

Sejam os números representados pelas letras a e b. A soma será (a + b) e a diferença será (a – b). Vamos multiplicar o binômio soma pelo binômio diferença.

$\color{Indigo}{(a + b)}\cdot\color{Orchid} {(a – b)}$

${a}{a} + {a}{(-b)} + {b}{a} + {b}{(-b)} $

${ a^2 – ab + ab – b^2}$

$$\color{Blue}{a^2 – b^2}$$

Notamos que os dois termos semelhantes, são simétricos e por isso sua soma é igual a zero, ou seja, se anulam. O resultado é um binômio diferença entre os quadrados dos dois números.

“O produto da soma de dois números pela sua diferença, é igual à diferença entre seus quadrados”.

Poderíamos também dizer: O produto da soma pela diferença de dois números é igual ao quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo termo”.

Vamos exercitar um pouco.

a) $\color{Sepia}{{(mn + n)}{(mn – n)}}$

$ {{(mn)}^2 – n^2 }$

$$\color{NavyBlue}{ m^2n^2 – n^2 }$$

b) $\color{Sepia}{{(7 – 3x)} {(7 + 3x)}}$

$ {{7}^2 – {(3x)}^2 }$

$$\color{NavyBlue}{ 49 – 9x^2 }$$

c) $\color{Sepia}{{(4x + 3z)}{(4x – 3z)}}$

${(4x)}^2 – {(3z)}^2 $

$$\color{NavyBlue}{16x^2 – 9z^2 }$$

d) $\color{Sepia}{{( 1 + ab)}{( 1 – ab)}}$

$ {1^2 -{(ab)}^2 }$

$\color{NavyBlue}{1 – a^2b^2 }$

Resolva os produtos das somas pelas respectivas diferenças entre dois números, aplicando a regra.

a)$\color{Sepia}{{(2a + 3b)}{(2a – 3b)}}$

b)$\color{Sepia}{{(mn – 5)} {(mn + 5)}}$

c)$\color{Sepia}{{(3ax + 2by)}{(3ax – 2by)}}$

d)$\color{Sepia}{{(mx + ny)}{(mx – ny)}}$

e)$\color{Sepia}{{(7 – 5b)}{(7 + 5b)}}$

f)$\color{Sepia}{{(6az + 3by)}{(6az – 3by)}}$

g)$\color{Sepia}{{(3bp + 5br)}{(3bp – 5br)}}$

h)$\color{Sepia}{{(5qp – 7rp)}{(5qp + 7rp)}}$

Curitiba, 09 de abril de 2016. Republicado em 17 de dezembro de 2017, junto com uma bateria de exercícios de aplicação. Revisto em 07 de junho de 2018.

Décio Adams