Multiplicando polinômios

No post anterior, vimos como se multiplica um termo algébrico por outro e também um termo por um polinômio. E se tivermos que multiplicar um polinômio por outro, como fica a questão? Seja por exemplo:

$(m x^{2} + m y) \cdot (2 x + 3 x y - 5 y)$

Vamos multiplicar alternadamente o primeiro termo do primeiro polinômio por todos os termos do segundo, até terminar. O resultado será uma expressão com vários termos, entre os quais é possível haver termos semelhantes. Bastará fazer a redução e teremos o resultado procurado. Façamos em partes.

$m x^{2} \cdot (2 x + 3 x y - 5 y)$

$(m x^{2}) \cdot (2 x) + (m x^{2}) \cdot (3 x y) + (m x^{2}) \cdot (- 5 y)$

$2 \cdot m \cdot x^{2} \cdot x + 3 \cdot m \cdot x^{2} \cdot x y + - 5 \cdot m \cdot x^{2} \cdot y$

$2 m x^{3} + 3 m x^{3} y - 5 m x^{2} y$

$m y \cdot 2 x + m y \cdot 3 x y + m y \cdot - 5 y$

$2 m x y + 3 m x y^{2} - 5 m y^{2}$

Escrevendo as duas partes juntas, verificaremos que não há termos semelhantes e assim ficaremos com uma expressão de seis termos no final.

$2 m x^{3} + 3 m x^{3} y - 5 m x^{2} y + 2 m x y + 3 m x y^{2} - 5 m y^{2}$

Vamos a outro exemplo:

$(3 x^{2} + 2 x) \cdot (2 x^{3} + x^{2})$

Na multiplicação do primeiro termo do primeiro polinômio, pelo segundo polinômio resulta:

$(3 x^{2}) \cdot (2 x^{3} + x^{2})$

$(3 x^{2}) (2 x^{3}) + (3 x^{2}) (x^{2})$

$6 x^{(2 + 3)} + 3 x^{(2 + 2)}$

$6 x^{5} + 3 x^{4}$

A segunda parte fica:

$(2 x) \cdot (2 x^{3} + x^{2})$

$2 x \cdot 2 x^{3} + (2 x) \cdot (x^{2})$

$4 x^{(1 + 3)} + 2 x^{(1 + 2)}$

$4 x^{4} + 2 x^{3}$

Reunindo as duas partes teremos:

$6 x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{4} + 2 x^{3}$

Temos dois termos semelhantes:

$6 x^{5} + (3 x^{4} + 4 x^{4}) + 2 x^{3}$

$6 x^{5} + 7 x^{4} + 2 x^{3}$

Podemos, para facilitar, fazer as multiplicações na mesma sequência, sem separar, subentendendo alguns passos, depois de dominarmos o processo. Ou seja, podemos fazer as multiplicações mentalmente e escrever apenas os resultados, de modo a diminuir o espaço ocupado no papel. Mas isso deve ser feito, depois de termos perfeito domínio de cada passo. Não significa que iremos omitir os passos, apenas os fazemos em sequência e depois escrevemos o resultado. Isso acontece na medida em que adquirimos desenvoltura com as diferentes operações.

Hora de exercitar.

Efetuar a multiplicação dos termos algébricos a seguir.

a) $(\frac{7}{5} \cdot b x) \cdot (\frac{5}{3} \cdot c x^{2})$

b $(2 a y) (5 a y)$

c) $(6 p r) (\frac{2}{3} q r)$

d) $(3 i) (5 i j)$

e) $(4 m n) (3 n^{3})$

f) $(a x^{2} y) (b x y^{3})$

g) $(b x^{3}) (2 c x y^{2}) (5 b c^{2})$

h) $(3 m n^{2}) (2 m^{3} n) (- m n)$

2. Efetuar a multiplicação dos termos algébricos pelos polinômios a seguir.

a) $(3 a b) \cdot (2 a + 3 b - 5 c)$

b) $(m x^{2}) \cdot (m x + n x^{2} y + m x y)$

c) $(5 u^{2} v) (2 u v + 4 u - 5 v + u^{2} v^{3})$

d) $(\frac{2}{3} a x y^{3}) (6 x y - 3 a y^{2} + 9 a x^{2} y)$

e) $(3 p x^{2}) (5 p x + 3 p q - 4 q x^{3})$

f) $(2 m n^{2} + 5 m x - 3 n x^{3}) (2 m n)$

g) $(3 x z^{3}) (2 x y - 4 x y^{3} z + 6 x - x^{2} y z)$

h) $A x^{2}) (A x^{3} + B x y - C y z^{2})$

3. Efetuar a multiplicação dos polinômios propostos a seguir.

a) $(a + a b) (a b x + x)$

b) $(p m - p^{2} n) (m^{2} - p m^{2} - p n)$

c) $(2 x - 3 y) (5 + 2 x y - 4 x^{2} + 3 x y^{3})$

d) $(3 u + 5 v) (6 u^{2} - 2 v + 7 u v)$

e) $(4 m - 2 n) (m n + m^{2} n - 3 n^{3})$

f) $(5 - 6 x + 3 x y + x^{2} y^{3}) (2 + 4 x y)$

g) $(4 r^{2} - 3 p q) (5 + 3 r - 2 r q)$

h) $(2 n y - 3 m x) (4 n m + 2 m x - 5 m n x)$

Curitiba, 31/março/2016. Republicado em 16 de dezembro de 2017.

Décio Adams

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01.041- Matemática, álbgebra. Multiplicação de polinômios.

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