Elemento neutro da multiplicação.

Se não me engano, vimos mais uma propriedade na adição. E seu nome era Elemento neutro. Podemos adicionar o número “zero” e a soma não se altera.

Será que se multiplicarmos uma série de fatores por “zero”, o resultado não se altera?

Vejamos:

$\color{navy}{7\times 4\times 0 = 28\times 0 = 0}$ (soma de “zero” parcelas iguais a $\color{navy}{28}$). O resultado é zero.
Fica fácil perceber que “zero” não é elemento neutro da multiplicação.
Existirá outro número pelo qual possamos multiplicar uma série de fatores e o resultado não será alterado?
Vamos tentar o número $\color{navy}{1}$(um).
$\color{navy}{8\times 4 = 32}$
$\color{navy}{8\times 4\times 1 = 32\times 1 = 32}$ (soma de uma parcela igual a $\color{navy}{32}$). O resultado se manteve igual a $32$.

Vemos que na multiplicação o elemento neutro não é o número zero, mas sim o número $\color{navy}{1}$(hum).

Concluímos então que a multiplicação goza da propriedade do elemento neutro e esse é o número $\color{navy}{1}$(hum).

“Multiplicando uma expressão pelo número 1(um), o resultado não se altera. Assim o elemento neutro da multiplicação é o número 1(um), no conjunto dos números naturais.

Mas a multiplicação, goza de uma propriedade além das outras operações. E sua aplicação é muito, mas muito importante no estudo da álgebra em especial, quando iremos multiplicar expressões algébricas por termos algébricos e por outras expressões. Na hora apropriada veremos isso.

Mas que propriedade é essa? Vamos observar atentamente os exemplos a seguir.

$\color{navy}{4\times (7 + 5) = 4\times 12 = 48}$.
Substituímos o $\color{navy}{7 + 5}$ pela sua soma e multiplicamos. Vamos tentar fazer de outra maneira. Que tal multiplicar o $\color{navy}{7}$ e o $\color{navy}{5}$ por $\color{navy}{4}$. Somar os resultados e ver o que encontramos.
- $\color{navy}{4\times (7 + 5) = 4\times 7 + 4\times 5 = 28 + 20 = 48}$
Será que isso acontece sempre?
- $\color{navy}{(8 + 3)\times 6 = 11\times 6 = 66}$
- $\color{navy}{(8 + 3)\times 6 = 8\times 6 + 3\times 6 = 48 + 18 = 66}$
Se no parênteses tivermos uma subtração, como fica?
- $\color{navy}{(16 – 5)\times 7 = 11\times 7 = 77}$
- $\color{navy}{(16 – 5)\times 7 = (16\times 7) – (5\times 7) = 112 – 35 = 77}$
- OBS.: Por que eu coloquei as multiplicações entre parênteses? Isso não seria necessário, se já tivéssemos falado na ordem de precedência na realização das operações em uma expressão matemática (tanto faz que seja aritmética ou algébrica). Vamos falar disso em outro momento.
O que notamos é que podemos efetuar a soma ou subtração e multiplicar o resultado pelo fator externo ou multiplicar cada um dos termos da soma ou subtração, para depois realizar a soma ou subtração dos resultados. A resposta final é a mesma. Nas expressões aritméticas isso não tem muita utilidade, mas, novamente veremos o quanto é importante esse procedimento no estudo da álgebra. É geralmente esse o entrave dos alunos para entender as operações algébricas.

Que nome tem essa propriedade que acabamos de ver?

Podemos notar que o fator que aparece multiplicando no início, é distribuído para os termos da adição ou subtração. Exatamente por isso, essa propriedade é denominada:
- “Propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição e subtração”.
Podemos fazer uso dessa propriedade em casos como o do exemplo a seguir.

Temos:
- $\color{navy}{8\times 45 = ?}$ $\color{navy}{(360)}$
Podemos substituir o $\color{navy}{45}$ por uma soma de duas ou mais parcelas e o resultado não será alterado. Observemos.
- $\color{navy}{8\times (19 + 26) = 8\times 19 + 8\times 26 = 152 + 208 = 360}$
- $\color{navy}{8\times (14 + 20 + 11) = 8\times 14 + 8\times 20 + 8\times 11 = 112 + 160 + 88 = 360}$
Podemos também substituir um fator por uma subtração:
- $\color{navy}{12\times 17 = ?}$ $\color{navy}{(204)}$
- $\color{navy}{(25 – 13)\times 17 = (25\times 17) – (13\times 17) = 425 – 221 = 204}$
Ou $\color{navy}{12\times 17 = 12\times (35 – 18)}$
- $\color{navy}{(12\times 35) – (12\times 18) = 420 – 216 = 204}$
Viu como podemos jogar com os números? É suficiente estar atento e aplicar as propriedades, as regras. Isso se consegue com exercícios, que podemos inventar facilmente, em especial nesse nível inicial. É bem por isso que esses assuntos, parecendo tão simples e até sem importância, fazem falta na hora que vamos aprender os conteúdos mais complexos e que são justamente baseados nessas questões tão elementares. Imagine uma escada. Para subir o segundo degrau, é preciso subir antes o primeiro. Não se chega ao 10º degrau, sem galgar, um a um, os nove que vem antes. Assim é com tudo, não apenas matemática, mas na matemática isso é crucial. A falta de uma parte, é igual construir uma casa, sem fazer o alicerce, ou deixar esse com buracos, falhas. Na hora que tentar construir os outros andares, ou colocar o telhado, o alicerce cede e vem tudo abaixo. Por isso eu volto a chamar atenção para a importância desses conteúdos básicos.
- Propriedade do fechamento.
Você já se viu em uma situação, na qual não fosse possível fazer a multiplicação de dois números naturais?

Creio que não. Sempre que multiplicamos dois números naturais, o produto é também um número natural. Isso nos mostra que a multiplicação é fechada no conjunto dos números naturais, ou seja, é sempre possível realizar a multiplicação de dois números naturas.
- “A multiplicação goza da propriedade do fechamento para o conjunto dos números naturais”.
Em determinadas situações isso poderá ser útil na nossa vida prática. Você irá descobrir ao longo da vida.
Curitiba, 19 de outuro de 2018.

Décio Adams

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Operações com logaritmos

Divisão de logaritmos

Logaritmos de mesma base

Desde que estudamos aritmética, vimos que a divisão é a operação inversa da multiplicação. Isso nos permite supor que com os logaritmos acontece a mesma coisa. Vamos confirmar isso.

${log_a{{b}\over{c}} = x} <=> {(a^x)} = {{b}\over {c}} $

Não esquecendo que devemos ter:

${a >0}$, ${a ≠ 1}$, ${b>0}$ e ${c > 0}$

Usando números

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${log_3{{243}\over{27}} = log_3{(3^5)\over(3^3)}}$

${log_3{3^{(5 – 3)} = log_3{3^2} = 2}}$

“O quociente de dois logaritmos de mesma base, é igual à diferença entre os logaritmos correspondentes.”

Obs.: Nunca se pode esquecer que a matemática é um grande edifício e cada pequena parte, é como se fosse um tijolo. Na multiplicação e divisão de potências de mesma base, valem as mesmas regras. Soma e subtração dos expoentes. Aqui são a soma e diferença dos logaritmos, mas que são os expoentes da base que reproduz o logaritmando.

Vejamos como se aplica isso.

a)${log_2{{64}\over{16}}}$

${log_2{{2^6}\over{2^4}} = {log_2{2^6} – log_2{2^4}}}$

${log_2{{64}\over{16}} = 6 – 4 = 2}$

b)$ {log_m{{a}\over {b}}} = {{log_m{a}} – {log_m{b}}}$

c)${log_5{{3125}\over{125}}} = {log_5{{5^5} – log_5{5^3}}}$

${log_5{{3125}\over{125}} = 5 – 3 = 2}$

Efetue as divisões de logaritmos de mesma base a seguir.

a)${log_7{{343}\over{7}}}$

b)${log_5{{625}\over{15625}}}$

c)${log_2{{512}\over{64}}}$

d)${log_{11}{{161051}\over{121}}}$

e)${log_y{{p}\over{q}}}$

f)${log_h{{f}\over{g}}}$

g)${log_{13}{{371293}\over{2197}}}$

Bons exercícios, vá com calma. Se sentir dificuldades, peça ajuda, que estarei pronto para esclarecer.

Curitiba, 30 de junho de 2018