tudo sobre Matemática
A matemática é aplicada em todos os campos da atividade humana. Não raro temos a necessidade de escrever números extremamente pequenos e outras tantas vezes nos deparamos com outros números imensamente grandes. Tanto em uma situação, quanto em outra, acabamos ficando com dificuldades de exprimir ou mesmo fazer a leitura correta desses números extremos.
Continue lendo “Matemática – Aritmética – Notação exponencial ou científica”Na realização de operações com radicais, temos que prestar atenção em várias coisas, para seguirmos pelo caminho correto e mais curto. Uma delas é o índice dos radicais, além das operações entre eles. Vejamos uma multiplicação de radicais de mesmo índice.
Continue lendo “013.4 – Matemática, aritmética. Operações com radicais.”
O que vimos no post anterior, permite fazer algumas transformações que nos ajudam em muitas situações a obter um radical mais simples ou escrito de forma mais conveniente à situação com que nos deparamos.
Tomemos como exemplo o radical.
$\root 6 \of {2000} = ?$
Decompondo o radicando $2000$ em seus fatores primos, teremos:
$\root 6 \of {{2^4}\cdot {5^3}}=?$
Transformando em potências com expoentes fracionários fica:
${2^ \frac{4}{6}}\cdot{5^ \frac{3}{6}} = ?$
Simplificando os expoentes ficamos com:
${2^ \frac{2}{3}}\cdot {5^\frac{1}{2}} =?$
Reescrevendo na forma de radical, fica:
$\root 3\of {2^2}\cdot \sqrt {5} $
Resultou um produto de dois radicais de índices diferentes e expoentes menores.
Vejamos um exemplo diferente:
$\root 3 \of {1728} =?$
Em fatores primos, temos: 
$\root 3 \of{{2^6}\cdot{3^3}} = ?$
Em forma de expoentes fracionários:
${2^\frac{6}{3}}\cdot {3^\frac{3}{3}} =?$
${{2^2}\cdot {3^1} = 4\cdot 3 = 12}$
Neste caso temos um radicando com raiz exata e não há mais necessidade do uso de radical.
Vamos ver outro exemplo:
$\root 5 \of {256} = ?$
Começamos novamente decompondo em fatores primos.
$\root 5 \of {2^6} = \root 5 \of {{2^5}\cdot {2}} $
Obs.: a potência $2^6$ foi desdobrada em multiplicação de potências de mesma base $ {2^5}\cdot {2}$.
${2^\frac{5}{5}}\cdot {2^\frac{1}{5}} = 2\cdot {\root 5 \of2}$
Veja que ficou bem simplificado o radical.
Mais um exemplo:
$\sqrt {216} = ?$
Da decomposição em fatores primos resulta:
$\sqrt {{2^3}\cdot {3^3}}= ?$
Escrevendo as potências como produtos de potências de mesma base, fica:
$\sqrt{{2^2}\cdot{2}\cdot{3^2}\cdot{3}} =?$
${2\cdot 3}\cdot \sqrt{2\cdot3} = 6\cdot\sqrt{6}$
Novo exemplo: $\root 3\of {10125} =?$ 
$\root 3\of {{3^4}\cdot{5^3}} =?$
$\root 3\of {{3^3}\cdot{3}\cdot{5^3}} = ?$
$ 3\cdot \root 3\of {3}\cdot {5} = 15\cdot\root 3\of{3}$
Último exemplo.
$\root 5\of {23328} = ?$
Decompondo em fatores primos.
$\root 5\of {{2^5}\cdot{3^6}} =?$
$\root 5\of{{2^5}\cdot{3^5}\cdot{3}} = 2\cdot {3}\cdot\root 5\of {3} = 6\cdot\root 5\of {3}$
Aproveite para treinar esse assunto. Simplifique os radicais da listagem abaixo.
I) $\root 3\of {243} =?$
II) $\root 5\of {9216} =?$
III)$\sqrt {6912} =?$
IV)$\root 7\of {1024} =?$
V) $\root 4\of {50000} =?$
VI) $\sqrt {24696} =?$
VII)$\sqrt {18000} =?$
VIII)$\root 3\of {10000} =?$
IX) $\root 5\of {18225} =?$
X) $\sqrt {10648} =?$
Havendo dúvidas, entre em contato para esclarecer e resolver suas dificuldades.
Curitiba, 10 de novembro de 2018
Décio Adams
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Assim como em outras situações, estamos vendo que, a cada nova operação matemática que aprendemos, logo depois aparece outra, que faz o caminho contrário. E não seria diferente com a potenciação.
A base 3, elevada ao expoente 5 e obtemos a potência 243.
Essa operação inversa se denomina Radiciação e se representa na forma de um radical, onde temos:
Assim, usando o símbolo:\[\bbox[4px,border:2px solid olive]{\color{Blue}{ \root 5 \of {243} = 3}}\]
Continue lendo “013.1 – Matemática, aritmética. Radiciação de naturais.”
Pesquisando na internet, descobri que nos últimos dias a procura pelo assunto potenciação, por parte dos internautas, aumentou quase 100%. Isso significa que estou atacando um dos assuntos mais procurados. Vamos seguir mais um pouco. Apresentar mais uns detalhes sobre o assunto.
Se observarmos bem, os expoentes na expressão $\color{Blue}{{[(3)^2]}^4}$, vemos que, se multiplicarmos os expoentes $\color{Blue}{2\times 4= 8}$ ou seja a soma dos expoentes das potências iguais.
Dessa forma pode-se afirmar que:
Fica muito simples perceber que a operação potenciação apresenta bem mais possibilidades de aplicações úteis, do que meramente substituir uma multiplicação por uma expressão mais simples, mais curta. Começam a pintar várias novidades. O que vimos até aqui é apenas um pequeno vislumbre do que é possível. Mas vamos devagar. Um degrau de cada vez.
Vamos recordar o que já vimos até aqui?
Note que se multiplicássemos os expoentes ($\color{Brown}{3\times 2 =6}$, teríamos $\color{Brown}{5^{3\times 2} = 5^6}$, que é totalmente diferente. Notamos que a coisa fica um pouco mais complexa. Portanto cuidado. Potência de potência não é o mesmo que potência com expoente exponencial. Felizmente o uso dessa forma é menos comum, do que a primeira. Um pouco de exercício faz bem, né!
Curitiba, 05 de novembro de 2018.
Décio Adams
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Note que agora temos uma multiplicação de $\color{Brown}{7}$(sete) fatores iguais e podemos escrever então:
Isso nos mostra que, quando multiplicamos potências de mesma base, podemos somar os expoentes e deixar o resultado na forma exponencial.
Não vou usar aqui letras para substituir os números, pois ainda não falei de álgebra. Estou tratando apenas de aritmética, onde não entram símbolos alfabéticos.
Podemos notar que $\color{Brown}{4 = 2^2}$.
É possível perceber que a divisão dessa forma fica facilitada. Em lugar de multiplicarmos os números, encontrar o resultado das potências e depois dividir, para transformar novamente em potência, fazemos apenas uma subtração e o resultado aparece de forma simples.
Assim fica fácil. São os primeiros degraus, antes dos outros que vem a seguir.
Falei antes que iria demonstrar por que os números com expoente $\color{brown}{1}$, são iguais à base. É bem fácil.
A divisão feita na forma de potências resultou $\color{Brown}{3^1}$ e com os números representados pelas potências o resultado foi $\color{Brown}{3}$. Será que pode mudar o valor do resultado, pelo simples fato de representar os números de forma diferente?
É claro que não. Isso invalidaria uma das fórmulas de cálculo. E então podemos dizer que $\color{Brown}{3^1 = 3}$. Isso se aplica a todos os números. O número escrito sem expoente, sempre se subentende que ele têm por natureza o expoente $\color{Brown}{1}$. Certo?
“Potências de expoente igual a unidade, tem valor igual à base”.
Agora vamos ver outro caso
Desenvolvendo as potências:
O resultado das duas formas de fazer a divisão deu diferente. Já vimos que isso não pode acontecer. Qual é a conclusão?
Novamente isso se aplica a qualquer número. Se o seu expoente for igual a $\color{Brown}{0}$ (zero), o valor do número é $\color{Brown}{1}$.
Se for de seu desejo, é fácil criar novos exercícios semelhantes. Os números estão à sua disposição. Eles não reclamam, não cobram nada mais do que atenção e raciocínio.
Obs.:Em caso de dúvida, faça contato para esclarecer e sanar sua dificuldade, usando um dos meios fornecidos logo abaixo. Mesmo que a dificuldade seja de outra ordem, dentro de matemática, talvez eu possa ajudá-lo. Não espere a dúvida ficar velha, de cabelos brancos e criar problemas.
Curitiba, 05 de novembro de 2018
Décio Adams
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E se tivermos uma multiplicação de fatores iguais? Será que podemos pensar em uma forma de escrever isso de maneira mais resumida?
\[\bbox[4px,border:2px solid olive]{\color{brown}{3^6}}\]
Continue lendo “011.1 – Matemática, aritmética. Potenciação.”
No estudo das operações com potências, vemos que o produto de potências com mesma base, é resolvido pela adição dos seus expoentes, conservando-se a base. Assim:
${{(3^2)\cdot(3^5)} = {3^{2 + 5}} = 3^7}$
${{(x^3)\cdot(x^2)\cdot(x^1)} = {x^{3 + 2 + 1}} = x^6}$
Os logarítmos são um assunto ligado à potenciação e surgiram no início do século XVII, com os estudos de John Neper e a ajuda de Henry Briggs, depois da publicação do trabalho elaborado por Neper.
Vejamos: ${{a^x = b} <=> log_a{b} = x}$
Na primeira expressão, $a$ é a base, $x$ é o expoente e $b$ é a potência. Na forma logarítmica $a$ também é a base, $b$ é o logaritmando e $x$ é o logaritmo. Assim podemos definir:
“O logaritmo de um número b(logaritmando) em uma base a é o expoente (x) ao qual devemos elevar a base para obter o número.”
É condição essencial que: $a > 0$, $a ≠ 1 $ e $ b > 0 $
Comecemos pela etimologia da palavra. Tal como uma grande quantidade de termos hoje empregados, também esse tem sua origem na língua grega.
“Logos” ⇒ razão
“Arithmos” ⇒ número
Juntando as duas partes, formamos facilmente a palavra “logaritmo”, significando “número de razão”.
Existem vestígios em escritos da era babilônica, permitindo identificar sinais da utilização de tabelas logarítmicas entre eles. Mais tarde Arquimedes, ao se deparar com números muito grandes, também faz tentativas de estabelecer alguma coisa nesse sentido. Nos séculos XV, XVI e XVII, ocorreu uma intensificação das navegações marítimas; comércio entre pontos distantes do planeta cresceu muito. Como consequência surgiu a necessidade de executar cálculos cada vez mais complexos e por vezes tediosos. Isso foi devido a necessidade de traçar rotas, desenhar mapas, assim como computar os lucros e as despesas das operações comerciais. As operações de multiplicação e divisão, com números cada vez maiores, sem auxílio de recursos mecânicos, muito menos eletrônicos, tornava a tarefa hercúlea.
Vimos a equação do primeiro grau, onde a incógnita (variável), tem o expoente igual a unidade. Agora é a vez de termos uma igualdade algébrica, com uma incógnita e o expoente máximo é igual a 2. A forma algébrica dessa equação é formada por um trinômio, igualado a zero. Assim:
$$\color{NavyBlue}{ ax^2 + bx +c = 0} $$
As letras a, b e c, substituem as constantes, isto é, os coeficientes numéricos. Assim, temos um termo com expoente 2, um termo com expoente 1 e o terceiro termo, chamado de termo independente, pois não contém variável, onde consideramos o expoente da mesma igual a zero (0).
A equação do segundo grau é conhecida, em sua forma primitiva há milhares de anos. Há notícias dela nos registros da época dos babilônios. Posteriormente vários matemáticos da Índia deixaram trabalhos relacionados com ela. Hoje usamos na resolução das equações do segundo grau uma fórmula, que leva o nome de um desses matemáticos. É conhecida como Fórmula de Bhaskara. Somos levados a acreditar que foi ele quem desenvolveu a fórmula, porém ela já existia. Ele apenas lhe deu a forma final, ou seja, ele a aprimorou, dando-lhe a forma aproximada do que usamos hoje. Foi no fim da Idade Média, começo do Renascimento que ela recebeu os retoques finais, ficando como é hoje. Vejamos o que é afinal essa fórmula.
$$\color{Sepia}{{x} = { – b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}\over2a}}$$
Na hora de determinar as soluções de qualquer equação do segundo grau, bastará usar esta fórmula e teremos como resultado dois valores, o que é uma característica dessas equações. O número de raízes (soluções) corresponde ao numeral indicativo do grau.
Mas cabe uma pergunta, que provavelmente, pelo menos alguns, estarão se fazendo nesse momento. Como se chega a essa fórmula, partindo da forma geral da equação? Será que alguém, em uma linda noite de luar, olhou para as estrelas e, num lampejo de clarevidência, teve uma iluminação, sentou-se e escreveu a fórmula? Isso seria uma linda fábula infantil, que, nos dias de hoje, até as crianças teriam dificuldade em aceitar. E logicamente não foi assim. Provavelmente o raciocínio foi sendo aperfeiçoado ao longo de gerações, até que se deparou finalmente com essa forma que usamos hoje, o que ocorreu depois da era renascentista.
Vamos ver como se pode mostrar que a fórmula é realmente a solução para as equações do segundo grau. É necessário usar alguns artifícios e aplicar o raciocínio algébrico, aritmético até chegar ao resultado final. Começamos por eliminar o termo independente no primeiro membro, pela adição de um termo (- c) aos dois membros da equação. Assim teremos:
$$\color{Sepia}{ax^2 + bx + c – c = -c }$$
$$\color{Sepia}{ax^2 + bx = -c }$$
Se multiplicarmos todos os termos da igualdade por um determinado valor, a igualdade permanece. Não podemos introduzir elementos estranhos na expressão e por isso vamos multiplicar tudo por $${4a}$$, o que nos leva à seguinte expressão.
$${(ax^2 + bx)}\cdot{(4a)} = {(-c)}\cdot{(4a)} $$
$${ 4a^2x^2 + 4abx} = -4ac $$
Observemos o primeiro membro da equação, nesse ponto. Podemos notar que está faltando apenas um termo $ b^2$ para resultar em um trinômio quadrado perfeito, isto é, o quadrado da soma de dois números. Então podemos chegar a isso, se adicionarmos esse termo aos dois membros da equação e teremos:
$${4a^2x^2 + 4abx + b^2} = {b^2 – 4ac}$$
Se o primeiro membro agora é um trinômio quadrado perfeito, podemos substituí-lo pelo quadrado da soma correspondente. Basta extrairmos a raiz quadrada dos termos que são quadrados perfeitos e poderemos escrever:
$${4a^2x^2 + 4abx + b^2} = {(2ax + b)}^2 $$
Agora podemos substituir na equação do segundo grau o primeiro membro por esse quadrado da soma.
$${(2ax + b)}^2 = b^2 – 4ac $$ Na continuação, extraímos a raiz quadrada de ambos os membros, o que resulta assim:
$$\sqrt{{(2ax + b)}^2} = \sqrt{b^2 – 4ac} $$
Note que no primeiro membro, temos a raiz quadrada de um binômio elevado ao quadrado, o que nos permite cancelar o índice com o expoente, isto é, resta apenas o binômio, sem o expoente nem o radical. Fica assim:
$$ 2ax + b = \sqrt{b^2 – 4ac} $$
Se somarmos aos dois membros o simétrico do termo b, teremos:
$$ 2ax + b – b = -b\pm\sqrt{b^2 – 4ac} $$
$$ 2ax = – b\pm\sqrt{b^2 – 4ac} $$
Dividindo ambos os membros por (2a), estaremos terminando a demonstração.
$${2ax\over 2a} = {{-b\pm\sqrt{b^2 – 4ac}}\over 2a}$$
$$\color{Orchid}{{x} ={{-b^+_-\sqrt{b^2 – 4ac}}\over 2a}}$$
E esta é a fórmula mostrada no começo, conhecida mundialmente como Fórmula de Bhaskara e usada em toda parte para solucionar inúmeros problemas envolvendo as equações do segundo grau.
Lembre-se do que falamos nos parágrafos anteriores. Essas equações têm duas soluções ou raízes. Como isso é obtido?
Olhando bem para a fórmula, vemos que o radical existente no segundo membro é precedido pelos sinais (+) e (-). Isso se deve ao fato de que um número elevado ao quadrado, sempre resulta em positivo. Consequentemente, para cada número positivo, existem duas raízes quadradas simétricas. Por exemplo: $\sqrt{ + 4} = \pm {2}$, pois tanto ${(+2)}^2 = + 4 $ quanto ${(-2)}^2 = +4$
Podemos então dizer que existem duas soluções ou raízes (x’ e x”) para a equação do segundo grau. Iremos obter essas soluções, da seguinte maneira:
$${x’} = {{-b +\sqrt{b^2 – 4ac}}\over 2a} $$
$${x”} = {{-b – \sqrt{b^2 – 4ac}}\over 2a} $$
Uma das soluções é obtida pela soma do resultado da raiz quadrada e a outra pela subtração. Isso traz algumas considerações que serão vistas mais adiante. Por enquanto, vejamos como se aplica essa fórmula na solução de uma equação do segundo grau.
Obs.:Essa demonstração não é cobrada em provas e concursos, salvo em se tratando de concurso para professores de matemática. Eu costumo mostrar para que o aluno saiba que ela não surgiu do nada. Existe todo um raciocínio que leva a esse resultado final. Mesmo não sendo exigida a memorização da demonstração, o fato de saber que ela existe e é obtida seguindo uma lógica, serve de estímulo ao entendimento e aplicação da mesma.
Seja a equação $$\color{Red}{x^2 + x – 6 = 0}$$
Começamos por identificar os coeficientes numéricos. Vamos comparar essa equação com a forma geral. Escrevendo lado à lado, temos:
$${ax^2 + bx + c = 0} $$
$${x^2 + x – 6 = 0}$$
Comparando as duas, vemos que o coeficiente ${a = 1} $ ${b = 1}$ ${c} = {-6} $. Substituindo na fórmula, teremos:
$${x} = {{-1 \pm\sqrt{1^2 – 4\cdot {1}\cdot{(-6)}}}\over {2\cdot{1}}} $$
$${x} = {{-1\pm\sqrt{1 + 24}}\over 2} $$
$${x} = {{-1\pm\sqrt{25}}\over 2}$$
$${x} = {{-1\pm5}\over 2} $$
Agora é a hora de separar para obter as duas raízes.
$${x’} = {{-1 + 5}\over 2} $$
$$ {x’} = {{4\over 2}}$$
$ x’ = 2 $
$${x”} = {{-1 – 5}\over 2}$$
$${x”} = {-6\over 2} $$
$ x” = -3$
Daí resulta que: \[\color{Blue}{V = \{ -3, 2\}}\]
A equação dada, torna-se uma expressão verdadeira se substituirmos o x por -3 ou por 2. Basta verificar.
$$\begin{align} {(-3)}^2 + (-3) – 6 = 9 – 3 – 6 &= 0\end{align}$$
$$\begin{align}{2^2 + 2 – 6} = 4 + 2 – 6 &= 0\end{align}$$
Agora é hora de praticar.
Determine os conjuntos verdade ou as soluções das equações do segundo grau a seguir.
a)$\color{Sepia}{x^2 -4x + 3 = 0}$
b)$\color{Sepia} {x^2 -2x – 15 = 0} $
c)$\color{Sepia} {x^2 + 2x -35 = 0}$
d)$\color{Sepia} {4x^2 -8x + 3 = 0}$
e)$\color{Sepia} {3x^+ 5x – 2 = 0} $
f)$\color{Sepia} {4x^2 + 4x – 15 = 0}$
g)$\color{Sepia}{x^2 + 3x – 40 = 0}$
Curitiba, 06 de maio de 2016. Republicado em 22 de dezembro de 2017.
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