– É a vez do Cubo da Diferença de dois números
Para manter a continuidade, vamos considerar os mesmos números (letras) e desenvolver o produto.
$\underbrace{( a – b )^3} $
Novamente desmembramos numa multiplicação de potências de mesma base.
$\underbrace{( a – b )^2} {\overbrace{(a – b)}} $
$\underbrace { (a^2 – 2ab + b^2)}\cdot\overbrace{( a – b )} $
$a^2{a} – 2a^2b + ab^2 + a^2{(-b)} – 2ab{(-b)} + b^2{(-b)}$
$ a^{3} – 2a^{2}b + ab^{2} – a^{2}b +2ab^{2} – b^{3} $
Agrupando os termos semelhantes e somando os coeficientes:
$ a^{3} +\underbrace {- 2a^{2} b – a^{2}b} +\overbrace{ ab^{2} + 2ab^{2}} – b^{3} $
$ a^{3} – 3a^{2}b + 3ab^{2} – b^{3} $
Se compararmos esse polinômio com o que foi obtido no caso do cubo da soma de dois números, veremos que eles são exatamente iguais, exceto dois sinais (-) no segundo e quarto termos. Assim, podemos escrever a regra.
“O cubo da diferença entre dois números é dado pelo cubo do primeiro termo, menos o triplo do produto entre o quadrado do primeiro e o segundo termo, mais o triplo do produto do primeiro termo pelo quadrado do segundo, menos o cubo do segundo termo”.
Para lembrar mais facilmente.
A ordem dos expoentes nas variáveis segue a mesma sequência do cubo da soma, apenas os termos pares (segundo e quarto), tem um sinal (-) negativo.
Para aplicar a regra, vamos a um exemplo.
$ {( ax – by)}^{3} $
O primeiro termo é ax e o segundo termo é by. Vamos agora aplicar a regra
O cubo do primeiro termo é
${(ax)}^{3} $
$ {a^{3}x^{3}} $
O triplo do quadrado do primeiro multiplicado pelo segundo termo é
$ {3{(ax)}^{2}{(by)}}$
$ {3a^{2}bx^{2}y }$
O triplo do primeiro termo multiplicado pelo quadrado do segundo é
$ {3ab^{2}xy{2} }$
O cubo do segundo termo é
$ {(by)} ^{3} $
$b^{3}y^{3} $
Escrevendo na ordem correta e aplicando os sinais teremos
${ a^{3}x^{3} – 3 a^{2}bx^{2}y + 3ab^{2}xy^{2} – b^{3}y^{3} }$
Hora de exercitar. Não podemos esquecer disso.
Desenvolver os cubos das diferenças.
a)$ {(3x – 4y)^{3}}= ?$
b) ${(pq – 2r)^{3}}= ?$
c) ${(uv – 3z)^{3}}= ?$
d) ${(3i – 2j)^{3}}= ?$
e) ${(5x – 7y)^{3}} = ?$
f) ${(2x – 5xy)^{3}}= ?$
g) ${(7m – 3n)^{3}}= ?$
h) ${(5x – 4y)^{3}}=?$
Curitiba, 20 de junho de 2018
Décio Adams
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