046.2 – Matemática, álgebra. Exercícios de produtos notáveis. Quadrado da diferença de dois números.

Quadrado da diferença entre dois números.

Usando a regra do quadrado da diferença entre dois números, resolva as expressões abaixo.

a)${(5a – 2b)}^2$

b)$ {(a^{2}i – b^{3}j)}^2$

c)$ {(2vx – 3uy)}^2$

d)$ {(4 q^{3} – 6p^{2})}^{2}$

e)${(12 – 3 a^{3})}^2$

f)$ {(15 – 3x)}^2$

g)$ {(7x – 8y)}^2 $

Vamos à resolução.

a)$\underbrace{(5a – 2b)^2}$

$\underbrace {(5a)^2} +\overbrace{- 2\cdot {5a}\cdot{2b}} +\underbrace{(ab)^2 }$

$ 25a^2 – 20ab + 4b^2 $

b)$\underbrace {(a^{2}i – b^{3}j)^2}$

$ \underbrace{ [(a^2)i]^2} -\overbrace{ 2\cdot{a^2}i\cdot{b^3}} + {(b^3)}^2$

$ a^{4}i^{2} – 2a^{2}b^{3}i + b^6 $

c)$\underbrace {(2vx – 3uy)^2}$

$ {(2vx)^2 – 2\cdot {(2vx)}\cdot{(3uy)} + {(3uy)}^2}$

$ 4v^{2}x^{2} – 12uvxy + 9u^{2}y^{2} $

d)$\underbrace {(4 q^{3} – 6p^{2})^2}$

$\underbrace{(4q^{3})^2} -\overbrace{ 2\cdot (4q^{3})\cdot(6p^{2})} +\underbrace{(6p^{2})^2}$

$ 16q^6 – 48q^{3}p^{2} + 36p^{4} $

e)$\underbrace{(12 – 3 a^{3})^2}$

$ \underbrace{(12)^2} -\overbrace{ 2\cdot{12}\cdot{3a^3}} +\underbrace {(3a^{3})^2}$

$ 144 – 72a^{3} + 9a^6 $

f)$\underbrace {(15 – 3x)^2}$

$ \underbrace {(15)^2} -\overbrace{ 2\cdot {15}\cdot{(3x)}} +\underbrace {(3x)^2}$

$ 225 – 90x + 9x^2 $

g)$\underbrace {(7x – 8y)^2}$

$\underbrace {(7x)^2} -\overbrace{ 2\cdot{7x}\cdot {8y}}+ \underbrace{(8y)^2}$

$ 49x^2 – 112xy + 64y^2$

Resolva você estes que vem a seguir.

h)${(3x – 5y)^2}$

i)${(5 – 8xy)^2}$

j)${(mn – 5n)^2}$

l)${(4j – 6n)^2}$

m)${(fg – 5h)^2}$

n) ${(10 – 7p)^2$

o) ${(12 – 9r)^2}$

Curitiba, 23 de junho de 2018

Décio Adams

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20 de junho de 201826 de maio de 2020

043.1 – Matemática, Álgebra – Produtos notáveis, quadrado da diferença de dois números

– Quadrado da diferença de dois números

A mesma coisa que acontece no caso da soma, também ocorre com a diferença. Os números são representados por letras, formando no final a multiplicação de dois binômios iguais. Seja o exemplo:

$\underbrace{( a – b)^2} $

A letra $a$ é o primeiro termo e a letra $b$ é o segundo termo da diferença.

$\underbrace{( a – b)}\cdot{\underbrace{(a – b)}} $

Cada termo do primeiro fator é multiplicado por todos os termos do segundo fator. O que resulta em:

$\underbrace{{a}\cdot {a}} + \underbrace{ {a}\cdot {(-b) }} + \underbrace{{(-b)}\cdot {a}} + \underbrace{{-b}\cdot{b}} $

$ a^\underbrace{(1+ 1)} \underbrace{- ab – ba} + b^\underbrace{(1 + 1)} $

${ a^2 – 2ab + b^2} $

Os dois termos (- ab) e (-ba), são semelhantes, pois a ordem dos fatores pode ser alterada sem causar problemas no resultado. Basta aplicar a propriedade comutativa da multiplicação. Assim passamos a ter que:

“O quadrado da diferença entre dois números é igual ao quadrado do primeiro termo, menos o duplo produto (dobro) do primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo”.

Bom como lembrete!

Também aqui os expoentes das partes literais seguem a mesma sequência como acontece no quadrado da soma. A única diferença é que os sinais que precedem os termos, são alternadamente +, – e +. Isso facilita a recordação do resultado de um produto notável desse tipo.

Expoentes de $a$: $2 > 1 > 0$$\Rightarrow$ ordem decrescente

Expoentes de $b$: $ 0 < 1 < 2$$\Rightarrow$ ordem crescente

Se tivermos para $a$ o valor $7$ e para $b$ o valor $2$ e substituirmos na forma da diferença e na forma de trinômio quadrado, teremos:

${(a – b)}^2$

${(7 – 2)^2} = 5^2 = 25$

$ a^2 – 2ab + b^2 $

$ 7^2 – 2\cdot{7}\cdot{2} + {2}^2$

$ 49 – 28 + 4 = 21 + 4 = 25$

NOTA: Percebemos que o resultado é o mesmo.

Vamos exercitar:

a) $\underbrace{(x – y)^2}$

O primeiro termo é a letra $x$ e o segundo termo é a letra $y$.

$\underbrace{(x – y )}\cdot\underbrace{(x – y)}$

$ {x^2 – 2xy + y^2}$

b) $\underbrace{(3x – 2y)^2}$

O primeiro termo é $3x$ e o segundo termo é $2y$.

$\underbrace{3x – 2y}\cdot{\underbrace{3x – 2y}}$

${(3x)}^2 – \underbrace{ 2\cdot {(3x)}{(2y)}} +{(2y)}^2$

$ {9x^2 – 12xy + 4y^2} $

c) $\underbrace{(ab – bc)^2}$

O primeiro termo é $ab$ e o segundo termo é $bc$.

$\underbrace{(ab – bc)}\cdot\underbrace {(ab – bc)} $

${(ab)}^2 – \underbrace{ 2\cdot{(ab)}{(bc)}} + {(bc)}^2 $

$ {a^{2}b^{2} – 2ab^{2}c + b^{2}c^{2} }$

d) $\underbrace{(5 – 2a)^2}$

$\underbrace {(5 – 2a)}\cdot{\underbrace{(5 – 2a)}}$

$ {5^2 -\underbrace{ 2\cdot 5\cdot{2a}} + {(2a)}^2}$

${ 25 – 20a + 4a^2 }$

Obs.: Note que tanto o quadrado da soma como da diferença, resulta sempre em um trinômio, onde há dois termos que são quadrados e um termo que representa o produto dos dois termos. Costumeiramente esses trinômios recebem o nome de Trinômio quadrado perfeito. Voltaremos a falar neles em outro momento, ou seja por ocasião da fatoração.

Resolva aplicando a regra acima, os quadrados das diferenças entre dois números da seguinte sequência.

a)${(5ax – 3bx)}^2= ?$

b)${(Axy – Byz)}^2= ?$

c)${(4rp^2 – 3pq)}^2= ?$

d)${(5xy^3 – 3xy^2)}^2= ?$

e)${(mz – my)}^2= ?$

f)${(2aj – 3bj)}^2= ?$

g)${(6gx – 7gy)}^2= ?$

h)${(3my – 4n)}^2= ?$

Curitiba, 09 de junho de 2018

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17 de dezembro de 201727 de junho de 2020

01.045 – Matemática, Álgebra. Produtos notáveis – Exercícios de fixação.

Exercícios de produtos notáveis.

Usando a regra do quadrado da soma de dois números, obtenha os trinômios quadrados perfeitos que resultam das expressões a seguir. a)${(uv + z)}^2 $ b)$ {(5m + r)}^2 $ c)$ {(7 + 2p)}^2$ d)${(a + 6b)}^2$ e)${(10x^{2 }+ y^{2})}^2$ f)${(mp^{3} + nr^{2})}^2$
Faça o mesmo usando a regra do quadrado da diferença entre dois números, com as expressões abaixo. a)${(5a – 2b)}^2$ b)$ {(a^{2}i – b^{3}j)}^2$ c)$ {(2vx – 3uy)}^2$ d)$ {(4 q^{3} – 6p^{2})}^{2} $ e)${(12 – 3 a^{3})}^2$ f)$ {(15 – 3x)}^2$ g)$ {(7x – 8y)}^2 $
Usando a regra do produto da soma de dois números pela sua diferença, obtenha os binômios resultantes das multiplicações abaixo. a)${(7 + 2x)}{(7 – 2x)}$ b)${(5 – 3y)}{(5 + 3y)}$ c)$ {(ab^{2} + b)}{(ab^{2} – b)}$ d)${(xy + xz)}{(xy – xz)}$ e)$ {(4m – 3n)}{(4m + 3n)}$ f)$ {(7x^{3} + 2y^{2})}{(7x^{3} – 2y^{2})}$
Use agora a regra do cubo da soma de dois números para obter os polinômios de quatro termos resultantes das expressões abaixo. a)${2a + 5b)}^3$ b)${(7 +2j)}^3$ c)$ {(x + 3yz)}^3$ d)$ {(4l + 5m)}^3$ e)${(ma + nb)}^3 $ f)${(11 + 4r)}^3 $
Vamos fazer o mesmo com a regra do cubo da diferença. a)${(4m – 2)}^3$ b)${(3x – 5y)}^3$ c)${(9 – 5a)}^3$ d)${(5 – 4x)}^3 $ e)${(10 – 5c)}^3 $ f)${(3ab – x)}^3$ g)${(pq^{2} – rq)}^3$
Chegou o momento de usar as regras mais avançadas. Multiplique os quadrados das somas pelas diferenças dos mesmos números, usando a regra vista no post anterior. a)${(ax + by)}^{2}\cdot {(ax – by)} $ b)$ {(5 + 3x)}^{2}\cdot{(5 – 3x)} $ c)$ {(4n + m^{2})}^{2}\cdot{(4n – m)} $ d)${(5a + 3b)}^{2}\cdot{(5a – 3b)} $ e)${(7x + 2y)}^{2}\cdot{7x -2y)} $ f)${(10 + 3v)}^{2}\cdot{(10 – 3v)}$ g)${(px + qy)}^{2}\cdot{(px – qy)} $
Agora vamos multiplicar o quadrado das diferenças, pelas somas dos dois números, conforme a regra vista. a)${(3x – 2y)}^{2}\cdot{(3x + 2y)} $ b)${(5a – bx)}^{2}\cdot{(5a + bx)}$ c)${(1 – 5x)}^{2}\cdot{(1 + 5x)}$ d)$ {(6t – 4s)}^{2}\cdot{(6t+ 4s)}$ e)${(8l – z)}^{2}\cdot{(8l +z)} $ f)${(4n – 5m)}^{2}\cdot{(4n +5m)}$ g)${(r – pq)}^{2}\cdot{(r + pq)} $

Para sanar as dúvidas, vamos verificar se esses polinômios estão realmente corretos e isso podemos fazer, substituindo as letras por valores. Se efetuarmos as operações, seguindo os dois caminhos, os resultados devem ser obrigatoriamente iguais, do contrário há algo errado no polinômio, ou então a regra é furada. Vamos tirar essa dúvida.

Escolhendo dois números, que iremos substituir por x e y, podemos verificar as regras uma por uma. Vamos atribuir o valor 7 à letra x e o valor 3 à letra y.

Agora vamos tomar os produtos notáveis, na ordem em que os estudamos.

Quadrado da soma:

$$\color{Sepia}{{ (x + y) }^2 }$$

$\color{Blue}{ x^2 + 2xy + y^2 }$

Vamos substituir as letras x e y, pelos valores 7 e 3, efetuando os cálculos.

${( 7 + 3)}^2$

${(10)}^2 $

Que resulta no número $\color{Red}{100}$.

${(7)^2 + 2\cdot 7\cdot 3 + (3)^2 }$

$ { 49 + 42 + 9}$

$ {91 + 9} $

$$\color{Red}{100}$$

Também resulta no número 100. Isso nos mostra que a regra do quadrado da soma está correta, pois tanto a substituição direta no binômio soma e sua elevação ao quadrado, quanto a substituição no trinômio quadrado perfeito, resultaram no mesmo valor, ou seja 100.

E o quadrado da diferença?

$$\color{Sepia}{ (x – y)}^2$$

$\color{Blue}{x^2 – 2xy + y^2}$

Substituindo as letras pelos seus respectivos valores teremos:

${(7 – 3)}^2$

$ {4}^2 $

$\color{Red}{ 16} $

${(7)^2 – 2\cdot 7\cdot 3 + (3)^2} $

$ {49 – 42 + 9} $

${ 7 + 9} $

$\color{Red}{ 16} $

Novamente, os resultados deram iguais. O que nos demonstra que a regra do quadrado da soma também é válida.

Produto da soma, pela diferença.

$$\color{Sepia}{{(x + y )}{( x- y)}}$$

$\color{Blue}{ x^2 – y^2} $

Fazendo a substituição teremos:

${ (7 + 3)} {(7 – 3)} $

$\color{Red}{{10 \cdot 4} = {40}}$

${7^2 – 3^2} $

${49 – 9}$

$\color{Red}{40}$

Mas não é que deu igual! A regra do produto da soma pela diferença, também está verificada. Interessante não é?! A matemática é uma maravilha e não morde. Basta prestar atenção e começar a entender desde a base. O resto é mera consequência.

Mas ainda falta verificar mais coisas. Como fica o cubo da soma?

$$\color{Sepia}{{(x + y)}^3}$$

$\color{Blue}{x^3 +3 x^{2}y + 3xy^{2}+ y^3} $

${(7 +3)}^3 $

${(10)}^3$

$\color{Red}{ 1000} $

${7^3 + 3\cdot{7}^2\cdot 3 + 3\cdot 7\cdot {3}^2 + 3^3} $

$ {343 + 3\cdot 49\cdot 3 + 3\cdot 7\cdot {3}^2 + 3^3}$

${343 + 441 + 189 + 27 } $

$\color{Red}{1000} $

Maravilha. O cubo da soma também está corretíssimo. Isso é bom, não acha?

O cubo da diferença, parece que nem precisa verificar, mas vamos tirar a prova assim mesmo.

$$\color{Sepia}{{(x – y )}^3}$$

$\color{Blue} {x^3 – 3x^{2}y + 3xy^{2} – y^3}$

Substituindo as letras pelos números, temos;

${( 7 – 3)}^3 $

$ {4}^3 $

$\color{Reed} {64}$

${7^3 – 3\cdot {7}^2\cdot 3 + 3\cdot 7\cdot{3}^2 – 3^3 }$

${343 – 3\cdot 49\cdot 3 + 3\cdot 7\cdot 9 – 27}$

${ 343 – 441 + 189 – 27} $

${532 – 468} $

$\color{Red}{64}$

Uau! Também deu certo. Não vejo a hora de verificar o resto.

Produto do quadrado da soma, pela diferença.

$$\color{Sepia}{{(x + y)}^2\cdot{(x – y)}}$$

$\color{Blue}{x^3 +x^{2}y – xy^{2} – y^3} $

Vamos substituir os números agora.

${( 7 + 3)}^2\cdot {(7 -3)} $

${(10)}^{2}\cdot 4 $

$ {100\cdot 4}$

$\color{Red}{ 400} $

${(7^3 + 7^2\cdot 3 – 7\cdot 3^2 – 3^3} $

$ {343 + 49\cdot 3 – 7\cdot 9 – 27}$

${ 343 + 147 – 63 – 27} $

$ {490 – 90} $

$\color{Red}{400} $

Não resta dúvida. Deu certo mais uma vez.

Produto do quadrado da diferença, pela soma dos dois números.

$$\color{Sepia}{{(x – y)}^{2}\cdot{(x + y)}}$$

$\cpçpr{Blue}{x^3 – x^{2} y – xy^{2} + y^3 } $

Na substituição ficamos com:

${( 7 – 3)}^2\cdot{(7 + 3)} $

$ {4}^2\cdot {(10)} $

$ 16\cdot 10 $

$\color{Red}{160} $

${7^3 – 7^{2}\cdot 3 – 7\cdot{3}^2 + 3^3} $

${ 343 – 147 – 63 + 27}$

$ {370 – 210} $

$\color{Red}{160}$

Fechou de vez. Todas as regras vistas estão corretas e podem ser usadas sem problema. Não resta a menor dúvida.

Eu estou imaginando que alguém, neste momento, depois de ver a resolução de todas as regras, irá dizer: Mas por que vou usar tantos cálculos, se a forma direta é muito mais rápida e simples?

Sou levado a concordar com você. Realmente o cálculo feito com os números, sem todas as potências, sinais, multiplicações e tudo mais é bem mais curto e igualmente correto. Mas, no futuro, continuando os estudos, surgirão momentos, como por exemplo na fatoração, quando estas regras se tornarão extremamente úteis. Posso garantir, sem a menor dúvida, que você irá me agradecer, se conseguir lembrar ou encontrar um lugar qualquer em que isso esteja anotado para poder usar e facilitar sua vida, especialmente quem for continuar seus estudos em alguma área que utiliza matemática como ferramenta constante. Se você não for continuar nesse sentido, não fique triste, pois o conhecimento não ocupa espaço, o raciocínio se desenvolve e é aplicável em inúmeras situações, até mesmo onde você menos espera. Ao aprender estas coisas não estará gastando seu cérebro, que é como os músculos. Quanto mais usa, melhor eles funcionam. Sua memória e mesmo seu cérebro irão lhe agradecer muito pelos exercícios aos quais você os submete, pois isso os mantém ágeis e funcionando à perfeição. A memória é uma coisa natural de nosso cérebro. Ele registra e armazena tudo que vivemos em cada momento, do nascimento até o momento da morte. Pouco lhe importa se você quer ou não lembrar dos fatos. Eles ficam registrados. Por isso, quanto mais você a usar para armazenar coisas úteis, melhor para você mesmo, para sua saúde física e mental. Tudo isso pode até ajudar a retardar o eventual aparecimento de doenças como Alzheimer, Parkinson. Não que isso seja um remédio para evitar esses males, mas que ajuda e muito, disso não resta dúvida.

Curitiba, 16 de abril de 2016. Republicado em 17 de dezembro de 2017.

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