Equação do segundo grau

Vimos a equação do primeiro grau, onde a incógnita (variável), tem o expoente igual a unidade. Agora é a vez de termos uma igualdade algébrica, com uma incógnita e o expoente máximo é igual a 2. A forma algébrica dessa equação é formada por um trinômio, igualado a zero. Assim:

$$\color{NavyBlue}{ ax^2 + bx +c = 0} $$

As letras a, b e c, substituem as constantes, isto é, os coeficientes numéricos. Assim, temos um termo com expoente 2, um termo com expoente 1 e o terceiro termo, chamado de termo independente, pois não contém variável, onde consideramos o expoente da mesma igual a zero (0).

Um pouco de história.

A equação do segundo grau é conhecida, em sua forma primitiva há milhares de anos. Há notícias dela nos registros da época dos babilônios. Posteriormente vários matemáticos da Índia deixaram trabalhos relacionados com ela. Hoje usamos na resolução das equações do segundo grau uma fórmula, que leva o nome de um desses matemáticos. É conhecida como Fórmula de Bhaskara. Somos levados a acreditar que foi ele quem desenvolveu a fórmula, porém ela já existia. Ele apenas lhe deu a forma final, ou seja, ele a aprimorou, dando-lhe a forma aproximada do que usamos hoje. Foi no fim da Idade Média, começo do Renascimento que ela recebeu os retoques finais, ficando como é hoje. Vejamos o que é afinal essa fórmula.

$$\color{Sepia}{{x} = { – b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}\over2a}}$$

Na hora de determinar as soluções de qualquer equação do segundo grau, bastará usar esta fórmula e teremos como resultado dois valores, o que é uma característica dessas equações. O número de raízes (soluções) corresponde ao numeral indicativo do grau.

Mas cabe uma pergunta, que provavelmente, pelo menos alguns, estarão se fazendo nesse momento. Como se chega a essa fórmula, partindo da forma geral da equação? Será que alguém, em uma linda noite de luar, olhou para as estrelas e, num lampejo de clarevidência, teve uma iluminação, sentou-se e escreveu a fórmula? Isso seria uma linda fábula infantil, que, nos dias de hoje, até as crianças teriam dificuldade em aceitar. E logicamente não foi assim. Provavelmente o raciocínio foi sendo aperfeiçoado ao longo de gerações, até que se deparou finalmente com essa forma que usamos hoje, o que ocorreu depois da era renascentista.

Vamos ver como se pode mostrar que a fórmula é realmente a solução para as equações do segundo grau. É necessário usar alguns artifícios e aplicar o raciocínio algébrico, aritmético até chegar ao resultado final. Começamos por eliminar o termo independente no primeiro membro, pela adição de um termo (- c) aos dois membros da equação. Assim teremos:

$$\color{Sepia}{ax^2 + bx + c – c = -c }$$

$$\color{Sepia}{ax^2 + bx = -c }$$

Se multiplicarmos todos os termos da igualdade por um determinado valor, a igualdade permanece. Não podemos introduzir elementos estranhos na expressão e por isso vamos multiplicar tudo por $${4a}$$, o que nos leva à seguinte expressão.

$${(ax^2 + bx)}\cdot{(4a)} = {(-c)}\cdot{(4a)} $$

$${ 4a^2x^2 + 4abx} = -4ac $$

Observemos o primeiro membro da equação, nesse ponto. Podemos notar que está faltando apenas um termo $ b^2$ para resultar em um trinômio quadrado perfeito, isto é, o quadrado da soma de dois números. Então podemos chegar a isso, se adicionarmos esse termo aos dois membros da equação e teremos:

$${4a^2x^2 + 4abx + b^2} = {b^2 – 4ac}$$

Se o primeiro membro agora é um trinômio quadrado perfeito, podemos substituí-lo pelo quadrado da soma correspondente. Basta extrairmos a raiz quadrada dos termos que são quadrados perfeitos e poderemos escrever:

$${4a^2x^2 + 4abx + b^2} = {(2ax + b)}^2 $$

Agora podemos substituir na equação do segundo grau o primeiro membro por esse quadrado da soma.

$${(2ax + b)}^2 = b^2 – 4ac $$ Na continuação, extraímos a raiz quadrada de ambos os membros, o que resulta assim:

$$\sqrt{{(2ax + b)}^2} = \sqrt{b^2 – 4ac} $$

Note que no primeiro membro, temos a raiz quadrada de um binômio elevado ao quadrado, o que nos permite cancelar o índice com o expoente, isto é, resta apenas o binômio, sem o expoente nem o radical. Fica assim:

$$ 2ax + b = \sqrt{b^2 – 4ac} $$

Se somarmos aos dois membros o simétrico do termo b, teremos:

$$ 2ax + b – b = -b\pm\sqrt{b^2 – 4ac} $$

$$ 2ax = – b\pm\sqrt{b^2 – 4ac} $$

Dividindo ambos os membros por (2a), estaremos terminando a demonstração.

$${2ax\over 2a} = {{-b\pm\sqrt{b^2 – 4ac}}\over 2a}$$

$$\color{Orchid}{{x} ={{-b^+_-\sqrt{b^2 – 4ac}}\over 2a}}$$

E esta é a fórmula mostrada no começo, conhecida mundialmente como Fórmula de Bhaskara e usada em toda parte para solucionar inúmeros problemas envolvendo as equações do segundo grau.

Lembre-se do que falamos nos parágrafos anteriores. Essas equações têm duas soluções ou raízes. Como isso é obtido?

Olhando bem para a fórmula, vemos que o radical existente no segundo membro é precedido pelos sinais (+) e (-). Isso se deve ao fato de que um número elevado ao quadrado, sempre resulta em positivo. Consequentemente, para cada número positivo, existem duas raízes quadradas simétricas. Por exemplo: $\sqrt{ + 4} = \pm {2}$, pois tanto ${(+2)}^2 = + 4 $ quanto ${(-2)}^2 = +4$

Podemos então dizer que existem duas soluções ou raízes (x’  e  x”) para a equação do segundo grau. Iremos obter essas soluções, da seguinte maneira:

$${x’} = {{-b +\sqrt{b^2 – 4ac}}\over 2a} $$

$${x”} = {{-b – \sqrt{b^2 – 4ac}}\over 2a} $$

Uma das soluções é obtida pela soma do resultado da raiz quadrada e a outra pela subtração. Isso traz algumas considerações que serão vistas mais adiante. Por enquanto, vejamos como se aplica essa fórmula na solução de uma equação do segundo grau.

Obs.:Essa demonstração não é cobrada em provas e concursos, salvo em se tratando de concurso para professores de matemática. Eu costumo mostrar para que o aluno saiba que ela não surgiu do nada. Existe todo um raciocínio que leva a esse resultado final. Mesmo não sendo exigida a memorização da demonstração, o fato de saber que ela existe e é obtida seguindo uma lógica, serve de estímulo ao entendimento e aplicação da mesma.

Seja a equação $$\color{Red}{x^2 + x – 6 = 0}$$

Começamos por identificar os coeficientes numéricos. Vamos comparar essa equação com a forma geral. Escrevendo lado à lado, temos:

$${ax^2 + bx + c = 0} $$

$${x^2 + x – 6 = 0}$$

Comparando as duas, vemos que o coeficiente ${a = 1} $ ${b = 1}$ ${c} = {-6} $. Substituindo na fórmula, teremos:

$${x} = {{-1 \pm\sqrt{1^2 – 4\cdot {1}\cdot{(-6)}}}\over {2\cdot{1}}} $$

$${x} = {{-1\pm\sqrt{1 + 24}}\over 2} $$

$${x} = {{-1\pm\sqrt{25}}\over 2}$$

$${x} = {{-1\pm5}\over 2} $$

Agora é a hora de separar para obter as duas raízes.

$${x’} = {{-1 + 5}\over 2} $$

$$ {x’} = {{4\over 2}}$$

$ x’ = 2 $

$${x”} = {{-1 – 5}\over 2}$$

$${x”} = {-6\over 2} $$

$ x” = -3$

Daí resulta que: \[\color{Blue}{V = \{ -3, 2\}}\]

A equação dada, torna-se uma expressão verdadeira se substituirmos o x por -3 ou por 2. Basta verificar.

$$\begin{align} {(-3)}^2 + (-3) – 6 = 9 – 3 – 6 &= 0\end{align}$$

$$\begin{align}{2^2 + 2 – 6} = 4 + 2 – 6 &= 0\end{align}$$

Agora é hora de praticar.

Determine os conjuntos verdade ou as soluções das equações do segundo grau a seguir.

a)$\color{Sepia}{x^2 -4x + 3 = 0}$

b)$\color{Sepia} {x^2 -2x – 15 = 0} $

c)$\color{Sepia} {x^2 + 2x -35 = 0}$

d)$\color{Sepia} {4x^2 -8x + 3 = 0}$

e)$\color{Sepia} {3x^+ 5x – 2 = 0} $

f)$\color{Sepia} {4x^2 + 4x – 15 = 0}$

g)$\color{Sepia}{x^2 + 3x – 40 = 0}$

Curitiba, 06 de maio de 2016. Republicado em 22 de dezembro de 2017.

Décio Adams

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