Tag: #Teoria dos conjuntos

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Matemática – Teoria dos conjuntos.

Conjuntos de números.

  • A necessidade de contar ou quantificar as coisas, como número de animais caçados, composição do rebanho com o surgimento da pecuária, volume de cereais e outros produtos colhidos. Até o número de soldados de um exército, levou o homem, há muito tempo, a criar números e símbolos para representá-los. Existiu, ao longo da história, uma imensa variedade de sistemas de numeração. Muitos deles associados a alguma coisa ou até a uma parte do próprio corpo.
  • Assim, os indígenas que habitavam a América, utilizavam um sistema de numeração de base 5(cinco), que é o número de dedos de uma mão. Os povos fenícios da antiguidade, usaram e espalharam por todos os lugares onde comerciavam, seu sistema de numeração  sexagesimal ,  isto é, de base 60. É deles que vem a divisão de uma hora em 60 minutos, e um minuto em 60 segundos. Uma circunferência é dividida em 360º, cada grau dividido em 60′ e cada minuto em 60″.
  • Os sistemas de informática, são baseados na numeração de base 2 (dois) ou numeração binária. Associada, inicialmente à uma lâmpada apagada, representando o número 0(zero) e uma lâmpada acesa representando o número 1(hum)

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Matemática – Conjuntos

Conjuntos numéricos – Produto cartesiano

Produto cartesiano!

Que bicho é esse?

Chamamos produto cartesiano de dois conjuntos numéricos A e B, ao conjunto de pares ordenados $\color{maroon}{(x; y)}$, onde $\color{maroon}{ x\in A} $ e $\color{maroon}{ y\in B}$. 

Simbólicamente fica

  • $\bbox[5px,border:2px solid olive]{\color{maroon}{ A X B =\{{(x;y)} | x \in A \wedge y \in B\}}}$. Lê-se:“A cartesiano B é igual aos pares (x;y), tais que x pertence a A e y pertence a B”.

Podemos inverter a ordem:

  • $\bbox[5px,border:2px solid olive]{\color{maroon}{B X A = \{{(x;y)} | x\in B \wedge y \in A\}}}$. Lemos: “B cartesiano A, é igual aos pares (x;y), tais que x pertence a B e y pertence a A”.

Vejamos como fica isso na prática. Sejam os conjuntos:

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01.019 – Matemática – Aritmética, Teoria dos conjuntos. Diferença entre conjuntos

Diferença entre conjuntos.

Em artigos anteriores falamos de intersecção, reunião ou união, conjuntos disjuntos. Faltou apenas uma coisa. Diferença entre dois conjuntos A e B.

  • Denominamos diferença entre os conjuntos$\color{Navy}{A}$ e $\color{NavyBlue}{B}$, ao conjunto dos elementos pertencentes ao conjunto $\color{NavyBlue}{A}$ , que não pertencem ao conjunto $\color{NavyBlue}{B}$ . Um Diagrama de Venn pode nos mostrar graficamente como é.
  • $\color{Brown}{A = \{m, n, o, p, q\}}$
  • $\color{Brown}{B =\{p, q, r, s, t\}}$
  • $\color{OliveGreen}{A – B = \{m, n, o\}}$ ou $\color{OliveGreen}{A/B = \{m, n, o\}}$
  • $\color{OliveGreen}{B – A = \{r, s, t\}}$ ou  $\color{OliveGreen}{B/A = \{r, s, t\}}$

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01.018 – Matemática, Teoria dos conjuntos. Intersecção e união de conjuntos.

Operações com conjuntos.

  • União ou reunião de conjuntos.

Sejam:

  • $\color{Navy}{A = \{a,e,i,o,u\}}$ $\rightarrow$ conjunto das vogais.
  • $\color{Navy}{B = \{a,b,c,d,e,…,x,y,z\}}$$\rightarrow$ alfabeto latino.

A união ou reunião desses dois conjuntos, formará o conjunto das letras do alfabeto. Simbolicamente representamos isso da seguinte maneira:

  • $\color{Navy}{A \cup B = U =\{a,b,c,d,e,f,g,…,x,y,z\}}$
  • Vemos que ao unir um conjunto a um de seus sub-conjuntos, o resultado é o próprio conjunto.

Num Diagrama de Venn:

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01.017 – Matemática, Teoria dos conjuntos. Relação de pertinência, sub-conjuntos.

Relação de pertinência.

Pertence/não pertence

Para dizer que um determinado elemento faz parte ou não de um conjunto, usamos as palavras pertence  e não pertence. Simbolicamente, usamos $\in$ e $\notin$. 

Assim, dado o conjunto das vogais:

$V = {a, e, i, o, u}$ podemos dizer que:

  • $a\in V$$\Rightarrow$ “a pertence ao conjunto V”;
  • $i\in V$$\Rightarrow$ “ i pertence ao conjunto V“;
  • $u\in V$$\Rightarrow$”u pertence ao conjunto V”;
  • $m\notin V$$\Rightarrow$ “m não pertence ao conjunto V”;
  • $r\notin V$$\Rightarrow$ “r não pertence ao conjunto V”;

e assim sucessivamente.

Subconjunto

Tomemos por exemplo o conjunto das vogais.

  • $\bbox[4px,border:2px solid Olive]{\color{Navy}{ A = \{a, e, i, o, u\}}} $

Denominamos sub-conjunto  de um conjunto dado, a todo conjunto cujos elementos pertençam a este conjunto. No exemplo acima, conjunto das vogais, temos 5 (cinco) elementos. Vimos que existe o conjunto vazio, que não tem nenhum elemento; conjunto unitário com um elemento apenas e assim por diante. Iremos formar um conjunto de subconjuntos do conjunto $\color{Navy}{A}$, também denominado conjunto das partes. Vejamos detalhadamente.

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