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Talvez você saiba o que é equalizar o som produzido por um aparelho. Na verdade você ajusta os níveis de saída dos diferentes sons agudos, médios e graves para que eles sejam produzidos de modo equilibrado, constante e principalmente harmoniosa.
A palavra equação tem origem semelhante. Tem a ver com igualdade. Mas igualdade de que?
Vamos resolver os exercícios deixados no post anterior, para depois vermos esse novo conteúdo.
b) $\color{Sepia}{mr^{2} + 2 r^{3} – 5mr^{2} – 4r^{3} – 6 r}$
$$\color{Red}{{(mr^2 – 5mr^2)} + {(2r^{3} – 4r^{3})} – 6r}$$ $$\color{Red}{{(1 – 5)}{mr^2} + {(2 -4)}\cdot r^{3} – 6r}$$ $$\color{NavyBlue}{-4mr^2 -2r^3 – 6r} $$
c) $\color{Sepia}{{2\over3}uv + 6xy – 3 x^{2} + {7\over 3} uv -2xy}$
$$\color{Red}{{({2\over 3}{uv} + {7\over 3}{uv})} + {(6xy – 2xy)} – 3x^2}$$ $$\color{Red}{{({2\over 3} + {7\over 3}){uv} } + 4xy -3x^2}$$
$$ \color{Red}{{9\over3}{uv} + 4xy -3x^2} $$
$$\color{NavyBlue}{3uv +4xy – 3x^2}$$
d) $\color{Sepia}{\sqrt 5{m^3} + pq + 2\sqrt 5{m^3} – 4pq – n}$
$$\color{Red}{{\sqrt 5{m^3} +2\sqrt 5{m^3}} + {pq – 4pq} – n}$$ $$\color{Red}{({\sqrt 5 + 2\sqrt 5}){m^3} -3pq – n}$$ $$\color{NavyBlue}{3\sqrt 5{m^3} -3pq – n}$$
e) $\color{Sepia}{5 abc^2 + 3 abc^2 – a{b^3}c – 6a{b^3} – 4 abc^2 }$
$$\color{Red}{({5abc^2} + {3abc^2} – {4abc^2}) – a{b^3}c – 6a{b^3}}$$
$$ \color{NavyBlue}{4abc^2 – a{b^3}c – 6ab^3}$$
f)$\color{Sepia}{12 {m^2}n + 15 mn^3 – 9{m^2}n + {m^2}n – 4mn^3 }$
$$\color{Red}{(12{m^2}n – 9{m^2}n + {m^2}n) + ({15mn^3 – 4mn^3})}$$ $$\color{NavyBlue}{ 4{m^2}n + 11mn^3}$$
2. Coloque em ordem crescente e depois decrescente os expoentes da variável nas expressões abaixo.
$\color{BrickRed}{2x^4 + 3x + x^2 – 5x^3 + 1}$
Ordem crescente: $$\color{Purple}{1 + 3x + x^2 -5 x^3 + 2x^4} $$
Ordem decrescente: $$\color{Violet}{2x^4 – 5x^3 + x^2 + 3x + 1}$$
$\color{Purple}{7a^6 – 3 a + 5a^3 – 6}$
Ordem crescente: $$\color{Sepia}{ -6 -3a + 5a^3 +7a^6}$$
Ordem decrescente: $$\color{BrickRed}{7a^6 + 5a^3 – 3a – 6}$$
$\color{Indigo}{4i – 3 i^3 – 2 i^4 + 3 i^2}$
Ordem crescente: $$\color{Blue}{ 4i + 3 i^2 – 3i^3 – 2i^4}$$
Ordem decrescente: $$\color{Sepia}{-2 i^4 – 3i^3 + 3i^2 + 4i}$$
Continue lendo “01.039 – Matemática – Álgebra. Adição e subtração de expressões algébricas.”
O que significa esse título?
Imagine uma expressão algébrica com vários termos, sendo alguns deles semelhantes. Já sabemos, nesta altura dos acontecimentos, que sempre devemos buscar a expressão mais simples que for possível estabelecer, para facilitar qualquer solução que tenhamos em mente.
Devemos ter em mente que, em uma mesma expressão, não é aceitável que uma mesma letra (símbolo) represente mais de um valor. Por exemplo se $$\begin{align}\color{Sepia}{{x} = 5}\end{align}$$ em um termo de uma expressão algébrica, em todos os lugares em que aparecer a letra $\color{Red}{x}$, ela terá sempre o valor $\color{Red}{5}$. Então, as partes literais de vários termos algébricos semelhantes, terão o mesmo valor. O que distingue os termos entre si, são seus coeficientes. Isto indica quantas parcelas iguais serão somadas ou subtraídas entre si nesta expressão. Desta forma nos é possível substituir vários termos semelhantes por um único termo, cujo coeficiente seja a soma dos coeficientes numéricos daqueles.
Continue lendo “01.038 – Matemática – Álgebra. Redução de termos semelhantes”
Vamos resolver os exercícios propostos no post anterior e fazer outros, sobre os assuntos apresentados no mesmo.
a) O triplo de um número somado com o quíntuplo de outro número.
$$\color{Sepia}{{3\cdot x} + {5\cdot y}}$$ ou $$\color{Sepia}{ 3x + 5y} $$
b) Um número adicionado ao dobro de outro.
$$\color{Sepia}{{ m } + {2\cdot n}}$$ ou $$\color{Sepia}{m + 2n}$$
c) O produto de dois números, adicionado ao produto de outros dois.
$$\color{Sepia}{{a\cdot b} + {m\cdot n}}$$ ou $$\color{Sepia}{ab + mn}$$
d) O quíntuplo da soma de dois números.
$$\color{Sepia}{5 \cdot{( u + v)}}$$ ou $$\color{Sepia}{5{(u + v)}}$$
e) A metade do produto de dois números.
$$\color{Sepia}{{i\cdot j}\over {2}} $$ ou $$\color{Sepia}{{1\over 2}{ij}}$$ ou $$\color{Sepia}{{ij}\over 2}$$
f) Um quinto do produto de três números.
$$\color{Sepia}{{x\cdot y\cdot z}\over {5}}$$ ou $$\color{Sepia}{{xyz}\over 5}$$
$$\color{Sepia}{{1\over 5}\cdot{x\cdot y \cdot z}}$$ $$\color{Sepia}{1\over5}{xyz}$$
g) A metade de um número, mais a terça parte de outro.
$$\color{Sepia}{{m\over 2} + {n\over 3}}$$ ou$$\color{Sepia}{{1\over2}\cdot x} + {{1\over 3}\cdot y}$$
h) A diferença entre o triplo de um número e o dobro de outro.
$$\color{Sepia}{{3\cdot a} – {2\cdot b}} $$ ou$$\color{Sepia}{3a – 2b}$$
2. Vamos classificar as expressões algébricas em função do número de seus termos.
a) $$\color{Red}{2ab}$$.
Observando vemos que estamos diante de um produto, sem nenhum sinal de adição ou subtração. É pois uma expressão de um único termo e iremos classificá-la como um monômio.
b) $$\color{Red}{3x + 5y – 2z}$$.
Facilmente vemos que há três termos, separados por sinais de adição (+) e (-). Portanto estamos diante de um polinômio que recebe a denominação específica de trinômio.
c) $$\color{Red}{xy + 3y^{2} + 4z – x}$$.
Este é um polinômio com quatro termos e não temos denominação específica para ele. É um polinômio de quatro termos.
d) $$\color{Red}{{xy}\over3}+{2x^{3}}$$.
Temos agora dois termos algébricos, separados por um sinal (+) e este recebe a denominação de binômio.
Não se deve esquecer que o que separa os termos de um polinômio são os sinais (+) e (-). Multiplicação e divisão, agrupam os números e letras formando um único termo.
3) Vamos separar as partes literais e os coeficientes numéricos dos termos algébricos.
a) $$\color{Red}{abc}$$
Qual é o coeficiente numérico?Não vamos esquecer. O coeficiente que não precisa ser escrito é aquele igual unidade e pode ser positivo ou negativo, dependendo do sinal que houver antes do termo. Se for o primeiro termo de uma expressão o sinal (+) é sempre subentendido. Neste caso o nosso coeficiente numérico é (+ 1) ou simplesmente 1.
A parte literal é o produto das letras $\color{Red}{abc}$.
b) $$\color{Red}{{5\over 3}\cdot xy^{5}}$$.
O coeficiente numérico é a fração $\color{Red}{\frac{5}{3}}$ e a parte literal é o produto:
$$\color{Red}{x\cdot y^{5}}$$.
c) $$\color{Red}{{3mn}\over 7}$$.
O coeficiente numérico agora é também uma fração, cujo numerador é 3 e o denominador é 7. Portanto a resposta é $\color{Red}{\frac{3}{7}}$. A parte literal é o produto $\color{Red}{m\cdot n}$
d) $$\color{Red}{\sqrt{5}\cdot x^{3}\cdot y}$$.
Agora nosso coeficiente é
$$\color{Blue}{\sqrt 5}$$
e a parte literal o produto
$$\color{Blue}{x^{3}\cdot y}$$
e) $$\color{Red}{-{{ 6ij}\over 11}}$$.
Agora nosso coeficiente numérico é uma fração e seu sinal é (-), pois o sinal faz parte dele.
$$\color{Blue}{-{6\over 11}}$$
e a parte literal é o produto $\color{Blue}{i\cdot j}$
f) $$\color{Red}{-{3}^{2}\cdot x^{2}\cdot y^{3}}$$.
O coeficiente numérico será
$$\color{Blue}{- {3^{2}}} $$ ou $${-9}$$.
É importante notar que o sinal está diante da potência e não faz parte dela. Equivale a termos escrito
$$\color{Red}{-{(3)}^{2}\cdot x^{2}\cdot y^{3}}$$
A parte literal é $$\color{Red}{x^{2}\cdot y^{3}}$$
g) $$\color{Red}{(-3)^{2}\cdot x^{2}\cdot y^{3}}$$.
Agora o coeficiente numérico é
$$\color{Red} {(-3)^{2}}$$ ou $$\color{Red}{+9}$$ ou simplesmente $$\color{Red}{9}$$.
É muito fácil acontecer neste caso de se cometer o erro de sinal. No caso anterior o sinal (-) estava antes da base da potência, porém, não fazia parte dela. Agora temos a base da potência associada diretamente ao sinal (-). Esta é a diferença e pode ser fatal numa situação de resolução de algum problema, durante uma prova ou coisa assim.
A parte literal é a mesma do exercício anterior
$$\color{Blue}{{x^{2}}\cdot y^{3}}$$
Obs.: Esta dificuldade deixa de ser percebida quando o expoente da potência que compõe o coeficiente numérico for ímpar. Neste caso ela sempre terá o sinal da base.
4. Vamos identificar termos semelhantes em expressões algébricas e agrupá-los.
a) $$\color{Sepia}{{xy^{2}} +{3\over 2}{x^{2}y} + {2xy} – 5{xy^{2}} – { {xy}\over 5}} $$
Não podemos esquecer. O que torna dois termos semelhantes, é a parte literal. Se houver uma única diferença, eles deixam de ser semelhantes. Assim iremos encontrar $$\color{Red}{({xy^2} – 5{xy^2}) + {({3\over2}{x^2}{y})}+{({2xy} -{{xy}\over 5})}} $$ Os termos semelhantes estão colocados entre parênteses. Temos cinco termos, sendo dois pares deles que são semelhantes entre si e um que é diferente de todos os outros.
b) $$\color{Sepia}{{5x} – 4{xy} + 3{x} – 2{y} + {y} – {xy} – {x}} $$ $$ {{(5x + 3x -x)}+{(-4xy – xy)} + {(-2y + y)}} $$
c) $$\color{Sepia}{a^2}{b^3} – {5\over 8}{a^2} + {4\over 3}{b^5} + 2{a^2}{b^3} – {b^5} + 2{a^2}$$
$$\color{Sepia}{{({a^2}{b^3} + 2{a^2}{b^3})} +{(-{5\over 8}{a^2} +2{a^2})} + {({4\over 3}{b^5} – {b^5})}} $$
05. Identificar o coeficiente numérico dos termos algébricos abaixo.
5.1. $\frac{3}{7}\times ax^{2}$$\Rightarrow$$\color{Red}{\frac{3}{7}}$
5.2.$\sqrt{12}\cdot mn$$\Rightarrow$$\color{Red}{\sqrt{12} = 2\sqrt{3}}$
5.3.$5^{2}\times xy^{3}$$\Rightarrow$$\color{Red}{25}$
5.4.$\sqrt\frac{rs}{5}$$\Rightarrow$$\color{Red}{\sqrt{\frac{1}{5}}}$
5.5. $\frac{ay^{5}}{7}$$\Rightarrow$$\color{Red}{{1}{7}}$
5.6. $2\cdot\frac{bx^{5}}{2z}$$\Rightarrow$$\color{Red}{{2}{2} = 1}$
5.7. $\sqrt[3]{27}\times nu^{7}$$\Rightarrow$$\color{Red}{\sqrt[3]{27} = 3}$
5.8. $\frac{ac^{2}y}{15z}$$\Rightarrow$$\color{Red}{{1}{15}}$
5.9. $ [(3^{2}]^{3}\times a^{3}y^{5}$$\Rightarrow$$\color{Red}{9^{3} = 729}$
5.10. $2(\frac{3}{5})\times m^{3}x^{2}$$\Rightarrow$$\color{Red}{{13}{5}}$
06. Identifique a parte literal dos monômios que abaixo.
6.1. $2\times \frac{ax}{3y}$$\Rightarrow$$\color{Red}{\frac{ax}{y}}$
6.2. $7\cdot\sqrt{x^{3}y^{2}}$$\Rightarrow$$\color{Red}{x^{3}y^{2}}$
6.3. $\sqrt[5]{7}\cdot{cd^{5}}$$\Rightarrow$$\color{Red}{c\cdot d^{5}}$
6.4. $9\cdot{rsu^{3}}$$\Rightarrow$$\color{Red}{rsu^{3}}$
6.5. $\frac{4}{5}\cdot{a^{2}x^{3}}$$\Rightarrow$$\color{Red}{a^{2}\cdot x^{3}}$
Havendo dúvidas, contate por um dos canais abaixo. Estou sempre pronto a ajudar quem estiver com dificuldades para entender alguma coisa.
Obs.: Não irão aparecer na prática expressões onde haja somente dois termos semelhantes. Esse número é indeterminado. Agrupamos tantos quantos tiverem a parte literal igual.
Curitiba, 28 de março de 2016. Republicado em 04 de dezembro de 2017.
Décio Adams
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