043.0 – Matemática, Álgebra – Produtos Notáveis – Quadrado da soma de dois números

O que é algo notável? 

Tudo que tem uma característica que chama atenção, tem algo além do comum, pode ser apontado como algo notável.  Usamos o adjetivo notável, quando percebemos uma coisa extraordinária em alguma coisa, situação ou fato. Então, a expressão Produtos notáveis tem algo de importante e com aplicações relevantes em algum momento futuro. Vejamos quais são esses casos e o que eles tem de tão diferente.

– Quadrado da soma de dois números. 

Você provavelmente irá pensar que é mais fácil efetuar a soma e depois calcular a potência, ou seja elevar ao quadrado. Nisso você tem toda razão. Por que então vamos dedicar tempo especial a esse assunto? Lembre-se que já estudamos álgebra, onde números são substituídos por letras ou mesmo outros símbolos.  Se for esse o caso, ou houver letras e números, como fica o resultado? Vamos ver?

$\underbrace{ (a + b)} $

É a adição dos números representados por letras e fica indicada. Vamos elevar ao quadrado:

$\underbrace{( a + b)^2} $

Temos a multiplicação de um binômio por ele mesmo, sendo a o primeiro termo e b o segundo.

$\underbrace{(a + b)}\cdot{\underbrace{(a + b)}} $

Multiplicamos cada um dos termos do primeiro binômio, por cada um dos termos do segundo e ficará:

$\underbrace{ {a}\cdot {a}} +\underbrace{{a}\cdot{b}} +\underbrace {{b}\cdot {a} }+ \underbrace{{b}\cdot{b}}$

${ a^2 + \underbrace{ab + ba} + b^2} $

Há dois termos semelhantes, embora estejam com a ordem das letras invertida, isso não significa nada. Podemos usar a propriedade comutativa da multiplicação e colocar ambos na mesma ordem. Aqui estamos vendo uma aplicação da propriedade vista quando estudamos as quatro operações, está lembrado?. Lá ela não parecia ter importância, mas aqui fica claro que para alguma coisa ela serve.

${ a^2 +\underbrace{ ab + ab} + b^2}$

O coeficiente numérico que não é escrito, sempre é igual a unidade (1). Então:

${a^2 +\underbrace{ 1\cdot {ab} + 1\cdot {ab}} + b^2}$

Fazemos a redução dos termos semelhantes (somando seus coeficientes numéricos) e fica:

${a^2 +\underbrace{(1 + 1)}\cdot {ab} + b^2}$

${ a^2 + 2ab + b^2}$

O resultado é um trinômio, cujo primeiro termo é o primeiro termo da soma elevado ao quadrado, o segundo termo é o dobro do produto do primeiro pelo segundo termo e o terceiro termo é o quadrado do segundo termo da soma. Isso nos permite estabelecer a regra que pode ser usada em qualquer caso de uma soma de dois números, elevada ao quadrado, pouco importando ser somente de letras ou letras e números.

O quadrado da soma de dois números é igual ao quadrado do primeiro termo, mais o duplo produto (dobro) do primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo”.

Bom para lembrar!

Se observar bem, verá que o primeiro termo da soma (a), aparece primeiro com o expoente 2, depois com o expoente 1 e por último com o expoente 0, o que o torna igual a 1 (unidade). Já o segundo termo tem os expoentes em ordem inversa: 0, 1 e por último 2.

Expoentes do a: 2>1>0

Expoentes do b: 0<1<2

Se a = 9 b = 5, podemos substituir esses valores nas duas formas e efetuar as operações. Os resultados devem ser iguais. Vejamos:

$\underbrace{(a + b)^2}$

$\underbrace{(9 + 5)^2}$

$ 14^2 = 196 $

$ a^2 + 2ab + b^2$

$ 9^2 +\underbrace{ 2\cdot 9\cdot 5} + 5^2$

$ 81 +90 + 25 = 171 + 25 = 196 $

NOTA: Vemos que na substituição os resultados numéricos são os mesmos, o que valida a regra.

Vamos aplicar isso em alguns exemplos:

a) $\underbrace{(2x + y)^2}$

Primeiro termo é$ 2x$ o segundo termo é$ y$

${ {(2x)}^2 + \underbrace{2\cdot 2\cdot{x}{y}} + y^2} $

${\underbrace{(2^2)\cdot (x^2)} +\underbrace{2\cdot 2\cdot{x}{y}} + (y^2)}$

$ {4x^2 + 4xy + y^2}$

b) $\underbrace{(3m + 5)^2}$

O primeiro termo é $3m$ e o segundo termo é $5$.

$ \underbrace{(3m)^2} +\underbrace{ 2\cdot 3\cdot {m}\cdot 5} + 5^2$

$ {9m^2 + 30m + 25 }$

c) $\underbrace{( 6 + 4xy)^2}$

O primeiro termo é $6$ e o segundo termo é $4xy$.

$6^2 +\underbrace{ 2\cdot 6\cdot {(4xy)}} +\underbrace {(4xy)^2} $

${36 + 48xy + 16x^{2}y^{2} }$

d) $\underbrace{( p + 3q)^2}$

Primeiro termo é $p$ o segundo termo é $3q$.

$ p^2 + \underbrace{2\cdot {p}\cdot{3q}} + {(3q)}^2 $

$ {p^2 + 6pq + 9q^2}$

Resolva, aplicando a regra vista, os quadrados da soma de dois números na lista a seguir.

a)${(3ax + 2by)}^2= ?$

b)${(7n + 3m)}^2= ?$

c)${(2 + 8mx)}^2= ?$

d)${(5a + 3b)}^2= ?$

e)${(11 + 5mn)}^2= ?$

f)${(4mx + 7n)}^2= ?$

g)${(6xy^2 + 2x^2y)}^2= ?$

h)${(9pq + 13)}^2= ?$

Curitiba, 09 de junho de 2018.

Décio Adams

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