Mais umas novidades sobre radiciação.

Multiplicação de radicais de mesmo índice.

• Vamos ver como isso funciona.
  • $\sqrt[3]{5}\times \sqrt[3]{7}\times \sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{5\times 7\times 2}=\sqrt[3]{70}$
  • $\sqrt[5]{2^3}\times \sqrt[5]{4^2}\times \sqrt[5]{8}=\sqrt[5]{2^3}\times {\sqrt[5]{2^2}}^2\times \sqrt[5]{2^3}$
  • $\sqrt[5]{2^3}\times \sqrt[5]{2^4}\times \sqrt[5]{2^3}=\sqrt[5]{2^{3+4+3}}$
  • $\sqrt[5]{2^{10}}=2^{\frac{10}{5}}=2^2$
  • Podemos notar que é possível resolver uma porção de operações com potências e raízes sem recorrer a nenhum cálculo pesado. Basta aplicar as propriedades que permitem fazer uma variedade de transformações. Dos exemplos deduzimos:
• Uma multiplicação de radicais de mesmo índice é igual a um único radical, com o mesmo índice, cujo radicando é o produto dos radicandos fatores.

• Em muitas situações ocorre o que vimos no segundo exemplo. No final resulta uma raiz cujo índice é divisor do expoente do radicando. Nesse caso podemos efetuar a divisão do expoente pelo índice e passamos a ter um número inteiro.

• Vamos exercitar isso um pouco.

• $\sqrt[3]{4^2}\times \sqrt[3]{16}\times \sqrt[3]{2}=?$
• $\sqrt[8]{5^3}\times \sqrt[8]{25}\times \sqrt[8]{625}\times \sqrt[8]{5}=?$
• $\sqrt[5]{81}\times \sqrt[5]{{27}^2}\times \sqrt[5]{243}\times {\sqrt[5]{9^2}}^2=?$
• $\sqrt{3}{2^2}^2\times {\sqrt[3]{3^3}}^2\times {\sqrt[3]{2^3}}^2\times {\sqrt[3]{2}}^2\times {\sqrt[3]{3^2}}^2=?$
• ${\sqrt[4]{2^3}}^5\times {\sqrt[4]{2^3}}^3=?$
• ${\sqrt[7]{5^2}}^7\times {\sqrt[7]{5^3}}^7\times {\sqrt[7]{{25}^2}}^7=?$
• $\sqrt[3]{7^5}\times \sqrt[3]{{49}^2}\times \sqrt[3]{343}=?$

• Do mesmo modo que procedemos com radicais de mesmo índice na multiplicação, podemos decompor o radical de um produto em um produto de radicais de mesmo índice. Vamos usar o mesmo exemplo acima, agora em sentido inverso.
• $\sqrt[3]{70}=\sqrt[3]{2\times 5\times 7}=\sqrt[3]{2}\times \sqrt[3]{5}\times \sqrt[3]{7}$
• $\sqrt[5]{2^3\times {(2^2)}^2\times 2^3}=\sqrt[5]{2^3}\times {\sqrt[5]{(2^2)}}^2\times \sqrt[5]{2^3}=\sqrt[5]{2^3}\times {\sqrt[5]{2}}^4\times \sqrt[5]{2^3}$
• Novamente vemos que há o caminho de ida e volta. Em algumas situações, se faz necessário usar artifícios, mas isso faz parte dos recursos que a matemática dispõe.
• Vamos decompor os radicais em um produto de radicais de mesmo índice.
  • $\sqrt[5]{1444}=?$
  • $\sqrt[3]{16\cdot 25\cdot 49}=?$
  • $\sqrt[2]{27\times 36\times 75\times 243}=?$
  • $\sqrt[7]{2\times 5\times 3\times 7\times 8}=?$
  • $\sqrt[6]{3^2\times 5^3\times 7^4}=?$

• E se a situação for de divisão de radicais?

• $\frac{\sqrt[3]{3125}}{\sqrt[3]{5^2}}=\frac{\sqrt[3]{5^5}}{\sqrt[3]{5^2}}=\frac{\sqrt[3]{5^3\cdot 5^2}}{\sqrt[3]{5^2}}=\frac{\sqrt[3]{5^3}\cdot \sqrt[3]{5^2}}{\sqrt[3]{5^2}}=\sqrt[3]{5^3}=5$

Note que ao desmembrar o numerador em uma multiplicação de radicais de mesmo índice, passamos a ter termos semelhantes entre numerador e denominador. Isso permite seu cancelamento. O que sobrou foi um radical em que o índice e o expoente do radicando são iguais. O resultado é um número inteiro.

• Vamos transformar a divisão de radicais em radical da divisão dos radicandos.
• $$\frac{\sqrt[3]{80}}{\sqrt[3]{10}}=\frac{\sqrt[3]{8010}}{=}\sqrt[3]{8}=\sqrt[3]{2^3}=2$$
• Nesse caso a divisão dos radicandos nos deu o número 8. Decompondo-o em fatores primos encontramos:
• $$8=2^3$$
• Assim o índice e o expoente iguais, resultou em um número também inteiro. Nem sempre acontece isso.

Vejamos mais um exemplo.

• $\frac{\sqrt[5]{1296}}{\sqrt[5]{144}}=\frac{\sqrt[5]{2^4\cdot 3^4}}{\sqrt[5]{2^4\cdot 3^2}}=\frac{\sqrt[5]{2^4\cdot 3^4}}{2^4\cdot 3^2}=\sqrt[5]{2^{4-4}\cdot 3^{4-2}}=\sqrt[5]{2^0\cdot 3^2}=\sqrt[5]{1\cdot 3^2}=\sqrt[5]{3^2}$

• Vamos exercitar?

• $\frac{\sqrt[5]{2187}}{\sqrt[5]{243}}=?$

• $\frac{\sqrt[5]{1728}}{\sqrt[5]{64}}=?$

• $\frac{\sqrt[3]{248}}{\sqrt[3]{36}}=?$

• $\frac{\sqrt[7]{8}}{\sqrt[7]{128}}=?$

• $\frac{\sqrt[3]{5^7}}{\sqrt[3]{5^{10}}}=?$

Você pode criar seus próprios exercícios ou encontrar em livros, provas de concursos, e aplicar o que foi visto. As opções de aplicação dessas técnicas são inúmeras e facilitam muito alguns cálculos.

Obs.: Havendo dificuldades com algum dos exercícios, dúvidas sobre algum dos procedimentos, faça contato por um dos canais fornecidos abaixo. Não há assunto excluído, dentro do campo da matemática básica e de ensino médio. 

Curitiba, 22 de fevereiro de 2015. (Revisto e reformulado em 16 de julho de 2016). Republicado em 04/11/2017.

Décio Adams

decioa@gmail.com

adamsdecio@gmail.com

canalmatfisonline@gmail.com

www.facebook.com/livros.decioadams

www.facebook.com/decio.adams

www.facebook.com/decioadams.matfisonline

@AdamsDcio

Telefone: (41) 3019-4760

Celular WhatsApp: (41) 99805-0732