Divisibilidade.
Recordando os critérios de divisibilidade, vamos resolver alguns exercícios sobre o assunto, antes de continuarmos com os outros casos.
- Verifique a divisibilidade dos números a seguir.
- $\color{Navy}{1546}$
- O último algarismo é par e portanto é divisível por 2 (dois). $\color{Navy}{1546\div 2= 773}$
- A soma dos algarismos $\color{Navy}{S=1+5+4+6= 16}$. Esse número não é divisível por $\color{Navy}{3}$ e portanto o primitivo também não é.
- termina em $\color{Navy}{6}$ e assim não é divisível por $\color{Navy}{5}$.
- O dobro do último algarismo é $\color{Navy}{2\cdot 6 = 12}$. Subtraindo esse valor do número formado pelos algarismos restantes, temos $\color{Navy}{154 – 12 = 142}$. O número obtido não é divisível por $\color{Navy}{7}$.
- A soma das ordens pares e ímpares $\color{Navy}{S_{i} = 6 + 5 = 11}$ e $\color{Navy}{S_{p}= 4 + 1 = 5}$. A diferença entre essas somas $\color{Navy}{S_{i} – S_{p} = 11 – 5 = 6}$. Como o resultado não é múltiplo de $\color{Navy}{11}$, o número também não é divisível por $\color{Navy}{11}$.
- Notamos que o processo de determinação da divisibilidade, aplicando os critérios, fica bastante complexo na medida que o número cresce e acaba ficando tão ou mais difícil do que fazer a divisão e verificar. Vamos ver ainda o critério para saber se um número é divisível por $\color{Navy}{13}$. O procedimento é semelhante ao usado no caso do número $\color{Navy}{7}$. O último algarismo é multiplicado por $\color{Navy}{4}$ (quatro) e adicionado ao número formado pelos algarismos restantes. E prosseguimos até obter um número divisível por $\color{Navy}{13}$ ou não, mas fácil de identificar. Seja o exemplo: $\color{Navy}{32708}$.
- O último algarismo $\color{Navy}{8\cdot 4 = 32}$.
- Adicionado ao número restante $\color{Navy}{3270 + 32 = 3302}$
- $\color{Navy}{2\cdot 4 = 8}$
- $\color{Navy}{330 + 8 = 338}$
- $\color{Navy}{8\cdot 4 = 32}$
- $\color{Navy}{33 + 32 = 65}$
- $\color{Navy}{65\div 13 = 5}$
- O número do exemplo é divisível por 13. No entanto vemos que gastamos um bocado de tempo para chegar a essa conclusão. Talvez se fizéssemos a divisão diretamente, teríamos chegado à conclusão mais depressa. Isso nos mostra que não compensa muito recorrer a esses critérios para verificar a divisibilidade.
Números primos entre si
O que é isso agora?
Na definição de números primos, vimos que eles têm somente dois divisores, o 1 (um) e o próprio número. E agora, os primos entre si, como é que ficam?
- Os números são chamados primos entre si, se eles tiverem como único divisor comum, o número 1(um).
O notável é que, dois números que não são primos, podem ser primos entre si. Como por exemplo $\color{navy}{ 8, 9}$.
- Os divisores de $\color{Navy}{8}$$\Rightarrow$$\color{Brown}{\{1,2,4,8\}}$.
- Os divisores de $\color{Navy}{9}$$\Rightarrow$$\color{Brown}{\{1,3,9\}}$
Podemos perceber que todos os números primos, são também primos entre si, mas há números que não são primos, porém são primos entre si. Basta determinar a família ou conjunto de divisores de cada um, depois comparar. Se houver somente o número 1(um) de comum entre eles, os números são primos entre si.
- Verificar se os números a seguir, são primos entre si.
- $\color{Brown}{15, 16}$
- $\color{Navy}{f(D)(15) = \{1,3,5,15\}}$
- $\color{Navy}{f(D)(16) = \{1,2,4,8,16\}}$
- O único divisor comum entre eles é o número 1 (um) e por isso eles são primos entre si.
- $\color{Brown}{16, 21}$
- $\color{Navy}{f(D)(16) = \{1,2,4,8,16\}}$
- $\color{Navy}{f(D)(21) = \{1,3,7,21\}}$
- Entre os divisores dos dois números, encontramos apenas o 1(um) de comum. Números primos entre si.
- $\color{Brown}{22, 25}$
- $\color{Brown}{32,35}$
- $\color{Brown}{12,13}$
- $\color{Brown}{17, 51}$
- $\color{Brown}{19, 54}$
- $\color{Brown}{19, 57}$
- $\color{Brown}{23, 36}$
- $\color{Brown}{18, 25}$
- $\color{Brown}{8, 12}$
- $\color{Brown}{13, 33}$
- $\color{Brown}{5, 7}$
- $\color{Brown}{10, 101}$
- $\color{Brown}{15, 24}$
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Curitiba, 28 de julho de 2016.Revisado e republicado em 04 de outubro de 2019.
Décio Adams
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