Operações com números relativos – adição.

• Números com o mesmo sinal e sinais opostos.

Vamos usar exemplos práticos. Você e seu irmão trabalham, recebendo por dia de serviço. Se seu trabalho rende $R\mathrm{\$}100,00$ por dia e o de seu irmão $R\mathrm{\$}110,00$ por dia. Quanto terão a receber ao final de um dia de serviço?

É fácil dizer que a soma será de $100,00+110,00=210,00$. Representando os valores ganhos como números positivos, podemos escrever:

$$(+100)+(+110,00)=+210,00$$

Vamos supor que vocês compraram uma muda de roupas para cada um, gastando $R\mathrm{\$}90,00$ na sua roupa e $R\mathrm{\$}85,00$ na roupa do seu irmão. O dinheiro gasto, podemos representar por valores negativos, pois irão diminuir o saldo disponível.

• $$(-90,00)+(-85,00)=-175,00$$

Vamos determinar o saldo que sobra no seu bolso e no de seu irmão.

• $$(+100,00)+(-90,00)=+10,00$$

No seu bolso haverá o saldo de $R\$10,00$.

• $$(+110,00)+(-85,00)=+25,00$$

No bolso de seu irmão, haverá um saldo de $R\$25,00$.

Depois de uma semana de trabalho nas mesmas condições (5) dias, terão ganho $R\mathrm{\$}500,00$ e $R\mathrm{\$}550,00$. Se fizeram a compra de material para construir uma pequena casa e gastaram um total de $R\mathrm{\$}6.500,00$. Ao final da primeira semana de trabalho, vocês decidem pagar uma parcela de $R\mathrm{\$}650,00$ do total da dívida. Podemos aí analisar a soma de dois números positivos, representando os ganhos dos dois. Também podemos somar o valor positivo da parcela paga e os $R\mathrm{\$}-6.500,00$ de dívida, número negativo.

• $$(+500,00)+(+550,00)=+1.050,00$$

O ganho total dos dois na semana é de $R\mathrm{\$}1.050,00$.

• $$(-6.500,00)+(+650,00)=–5.850,00$$

O saldo devedor fica sendo de $R\mathrm{\$}-5.850,00$, valor negativo, dívida.

Olhando os exemplos dados, vemos que:

•  Ao adicionarmos dois valores com sinais iguais, somamos os módulos e conservamos os sinais.
• Assim:
  • $$(+5)+(+7)=+(5+7)=+12$$
  • $$(-6)+(-3)=–(6+3)=–9$$

• Ao adicionarmos dois valores com sinais opostos, tomamos a diferença entre os módulos com o sinal do maior módulo.
  • $(+10)+(-4)=+(10–4)=+6$
  • $(-13)+(+8)=–(13–8)=–5$

Subtração.

• Para subtrair um número relativo de outro, podemos somar o número simétrico, isto é, com sinal trocado.
• $(+7)–(+5)=(+7)+(-5)=+7–5=+2$
• $(–9)–(–4)=(–9)+(+4)=–9+4=–5$
• $(–12)–(+15)=(-12)+(-15)=–12–15=–27$
• $(+6)–(–5)=(+6)+(+5)=+6+5=+11$

Expressões com números relativos.

Vejamos uma expressão com vários números relativos, sendo positivos e negativos em qualquer ordem. Aplicando a propriedade comutativa, podemos colocar as adições em sequência e as subtrações por sua vez em outra. Isso irá tornar mais fácil a resolução dessas expressões.

• $(+4)+(-7)–(-8)–(+3)+(-6)=(+4)+(-7)+(-6)–(-8)–(+3)$ =
• $+4–7–6+8–3=+4+8–7–6–3=+12–16=-4$
• $+9–10+6+3–4–1+8=+9+6+8–10–4–1\$=\$+23–15=+8$

Sempre procuramos diminuir o uso desnecessário ou supérfluo de símbolos, sinais e assim, os números positivos, escritos no início de uma expressão, dispensam o uso do sinal (+). Portanto, o número inicial da expressão, será considerado positivo, na ausência do sinal (+). Por exemplo:

• $10–4+3+1–7=10+3+1–4–7=14–11=3$
• $7+12–5–7+2–6=7+12+2–5–7–6=21–18=3$

Uma outra coisa importante é quando temos um sinal de reunião $\left(\right)$, $\left[\right]$, $\left\{\right\}$, precedido de um sinal $(+)$ ou $(-)$. Esses sinais de reunião podem ser eliminados seguindo-se a regra:”Se o sinal que vem antes for positivo, basta eliminar o sinal de reunião. Já se o sinal que vem antes for $(-)$, os números no interior dele trocam de sinal. Assim:

• $(+5–3+8)–(+4+2–7–4)=+5–3+8–4–2+7+4$ =
• $+5+8+7+4-3–4–2=24–9=13$

Note que depois de eliminar o parêntese agrupamos os números positivos e os negativos, para então efetuar a adição. Só no final estabelecemos o resultado entre os totais positivos e negativos.

Essas transformações que fazemos com as expressões de números relativos, resultam em uma “soma algébrica”. Esse procedimento vai ser de particular importância no estudo de álgebra, quando iremos substituir números por letras ou outros símbolos.

Antes de continuar, vamos exercitar o que foi visto até aqui.

•  Efetue as operações com números relativos a  seguir.
  • $(+7)+(+5)=?$
  • $(-15)+(-5)=?$
  • $(+9)+(-12)=?$
  • $(-22)+(+10)=?$
  • $(+8)–(+4)=?$
  • $(-4)–(-9)=?$
  • $(-12)–(+8)=?$
  • $(+7)–(-4)=?$
•  Determine o resultado das expressões com números relativos a seguir.
  • $(+9–4–2+6)+(+6–4+3+1)=?$
  • $6+9–3–7–(-4+6+3–8)=?$
  • $(-12+5+3–9)–(+3–8+2–4)=?$
  • $(+10–4–3+5)+(-6+5+4–3)=?$

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Curitiba, 21 de maio de 2015 (Atualizado em 25 de julho de 2016). Republicado em 12/11/2017.

Décio Adams

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