Matemática – Geometria – Geometria Plana.

Estudo detalhado do triângulo equilátero.

Depois de termos visto o Teorema de Pitágoras, podemos aplicar esse conhecimento na determinação de elementos notáveis dos triângulos equiláteros.

Como foi visto acima, é o único triângulo classificado como figura geométrica regular. Isso implica em que o traçado de suas alturas, bissetrizes dos ângulos, medianas e mediatrizes sejam coincidentes, interceptando-se em um mesmo ponto que é o centro geométrico do triângulo ou seja é o baricentro, ortocentro, incentro e circuncentro. Iremos estabelecer modos de determinação das medidas da altura, do apótema e do raio da circunferência circunscrita.

Esses três segmentos traçados a partir dos vértices, representam todas as linhas mencionadas acima. Altura, bissetriz, mediana e mediatriz de cada lado e vértice. Interceptam-se no CG da figura.

O ponto $M$ , divide o lado $\overset{―}{B C}$ em dois segmentos congruentes, equivalentes à metade do lado do triângulo. Portanto $\overset{―}{M C} = \frac{l}{2}$ , determinando assim um triângulo retângulo $Δ (A M C A)$ , onde podemos aplicar o Teorema de Pitágoras.

$\overset{―}{A C} = l$ $\Rightarrow$ hipotenusa.

$\overset{―}{A M} = h$ $\Rightarrow$ altura do triângulo e é um dos catetos.

$\overset{―}{M C} = \frac{l}{2}$ $\Rightarrow$ cateto.

$l ² = h ² + (\frac{l}{2}) ²$ $\Leftrightarrow$ $h ² = l ² - \frac{l ²}{4}$

$\sqrt{h ²} = \frac{4 \cdot l ² - l ²}{4}$

$h = \frac{3 \cdot l ²}{4}$ $\Leftrightarrow$ $h = \sqrt{\frac{3 \cdot l ²}{4}}$

$h = \frac{l \cdot \sqrt{3}}{2}$

O apótema equivale ao segmento que representa o raio da circunferência inscrita no interior do retângulo equilátero.

O apótema é um dos catetos do $Δ B M O B$ , o raio da circunferência circunscrita é a hipotenusa e $\overset{―}{B M} = \frac{l}{2}$ é o outro cateto.

No triângulo destacado, temos:

$\overset{―}{B O}$ $\Rightarrow$ raio da circunferência circunscrita (hipotenusa). Equivale à diferença entre a altura e o apótema.

$R = h - a$

$\overset{―}{B M} = \frac{l}{2}$ $\Rightarrow$ cateto.

$a$ $\Rightarrow$ apótema que é igual ao raio da circunferência inscrita.

$R ² = a ² + (\frac{l}{2}) ²$ $\Leftrightarrow$ $h - a ² = a ² + \frac{l ²}{4}$

$h ² - 2 a h + a ² = a ² + \frac{l ²}{4}$ $\Leftrightarrow$ $h ² - 2 a h = a ² - a ² + \frac{l ²}{4}$

$h ² - \frac{l ²}{4} = 2 a h$ $\Leftrightarrow$ $a = \frac{h^{2} - \frac{l^{2}}{4}}{2 h}$

$a = \frac{{(\frac{l \sqrt{3}}{2})}^{2} - l ²}{\frac{2 l \sqrt{3}}{2}}$ $\Leftrightarrow$ $a = \frac{\frac{3 l ² - l ²}{4}}{l \sqrt{3}}$

$a = \frac{\frac{2 l ²}{4}}{l \sqrt{3}}$ $\Leftrightarrow$ $a = \frac{l ²}{2} \cdot \frac{1}{l \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

$a = \frac{l \sqrt{3}}{6}$

Estabelecemos acima que $R = h - a$ de onde podemos deduzir a expressão de $R$ em função do lado do triângulo.

$R = \frac{l \sqrt{3}}{2} - \frac{l \sqrt{3}}{6}$

$R = \frac{3 \cdot l \sqrt{3} - l \sqrt{3}}{6}$

$R = \frac{2 l \sqrt{3}}{6}$

$R = \frac{l \sqrt{3}}{3}$

Comparando esses três elementos, podemos estabelecer que:

$\frac{h}{a} = \frac{\frac{l \sqrt{3}}{2}}{\frac{l \sqrt{3}}{6}}$ $\Leftrightarrow$ $\frac{h}{a} = \frac{l \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{6}{l \sqrt{3}}$

$\frac{h}{a} = \frac{⧸ 6}{⧸ 2}$ $\Leftrightarrow$ $a = \frac{1}{3} \cdot h$

$\frac{h}{R} = \frac{\frac{l \sqrt{3}}{2}}{\frac{l \sqrt{3}}{3}}$ $\Leftrightarrow$ $\frac{h}{R} = \frac{l \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{l \sqrt{3}}$

$\frac{h}{R} = \frac{3}{2}$

$R = \frac{2}{3} \cdot h$

$\frac{a}{R} = \frac{\frac{l \sqrt{3}}{6}}{\frac{l \sqrt{3}}{3}}$ $\Leftrightarrow$ $\frac{a}{R} = \frac{l \sqrt{3}}{6} \cdot \frac{3}{l \sqrt{3}}$

$a = \frac{1}{2} \cdot R$

Vejamos as circunferências inscrita e circunscrita num triângulo equilátero.

Temos aí uma circunferência inscrita num triângulo equilátero. Note que o raio da mesma é o apótema do triângulo. Este equivale à $\frac{1}{3}$ da altura do triângulo.

Aqui, além da inscrita, temos também a circunferência circunscrita, cujo raio é exatamente igual ao dobro do apótema, ou seja $\frac{2}{3}$ da altura do triângulo.

Perímetro

Denominamos perímetro a soma das medidas de todos os lados de um polígono. Se imaginarmos fazer uma cerca ao redor do polígono usando arame, qual seria o comprimento de um fio desse produto para dar uma volta completa? Com certeza todos dirão que é só somar os lados. Pronta a resposta. Por isso dizemos que:

Perímetro de um triângulo equilátero é a soma de seus três lados.

$p = l + l + l$ $\Leftrightarrow$ $p = 3 \cdot l$

Vamos exercitar um bocado.

Um triângulo equilátero tem uma circunferência inscrita, cujo raio mede $7, 0 c m$ . Pede-se determinar o raio da circunferência circunscrita, a altura do triângulo e a medida do lado. Calcule também a área do triângulo.

$r = a = \frac{1}{2} \cdot R$ $\Leftrightarrow$ $7 = \frac{R}{2}$

$R = 7, 0 \cdot 2 = 14, 0 c m$

$h = a + R$

$h = 7, 0 + 14, 0 = 21, 0 c m$

$h = \frac{l \sqrt{3}}{2}$

$21, 0 = \frac{l \sqrt{3}}{2}$ $\Leftrightarrow$ $(21, 0) \cdot 2 = l \sqrt{3}$

$\frac{(42, 0)}{\sqrt{3}} = l$ $\Leftrightarrow$ $\frac{(42, 0) \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = l$

$l = \frac{(42, 0) \cdot \sqrt{3}}{3} = (14, 0) \cdot \sqrt{3} c m$

$S_{3} = \frac{b \cdot h}{2}$

$b = l = (14, 0) \cdot \sqrt{3}$

$h = 21.0 c m$

$S_{3} = \frac{(14, 0) \cdot \sqrt{3} \cdot (21, 0)}{2}$

$S_{3} = (147, 0) \sqrt{3} c m$

2. Uma circunferência de raio $R = 30, 0 c m$ é circunscrita a um triângulo equilátero. Pede-se determinar o raio da circunferência inscrita, a altura e o lado do triângulo, além de sua área.

$R = 30, 0 c m$

$a = \frac{R}{2}$

$a = \frac{(30, 0)}{2} = 15, 0 c m$

$r = a = 15, 0 c m$

$h = R + a$ $\Leftrightarrow$ $h = 30, 0 + 15, 0 = 45, 0 c m$

$h = \frac{l \cdot \sqrt{3}}{2}$

$(45, 0) = \frac{l \sqrt{3}}{2}$ $\Leftrightarrow$ $\frac{(45, 0) \cdot 2}{\sqrt{3}} = l$

$\frac{(90, 0) \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = i$ $\Leftrightarrow$ $l = \frac{(90, 0) \sqrt{3}}{3}$ $\Leftrightarrow$ $l = (30, 0) \sqrt{3} c m$

$S_{3} = \frac{b \cdot h}{2}$

$S_{3} = \frac{(30, 0) \sqrt{3} \cdot (45, 0)}{2}$

$S_{3} = (15, 0) \cdot (45, 0) \sqrt{3}$ $\Leftrightarrow$ $S_{3} = (675, 0) \sqrt{3} c m ²$

3. Um triângulo equilátero tem o lado medindo $l = 27, 0 m$ . Pede-se determinar o raio da circunferência circunscrita, o raio da circunferência inscrita, a altura e a área da figura.

$R = \frac{l \sqrt{3}}{3}$

Sendo $l = 27, 0 m$ , ficamos com:

$R = \frac{(27, 0) \sqrt{3}}{3}$ $\Leftrightarrow$ $R = (9, 0) \sqrt{3} m$

$r = a = \frac{l \sqrt{3}}{6}$

$r = \frac{(27, 0) \sqrt{3}}{6}$ $\Leftrightarrow$ $r = \frac{(9, 0) \sqrt{3}}{2} m$

$h = \frac{l \sqrt{3}}{2}$

$h = \frac{(27, 0) \sqrt{3}}{2}$ $\Leftrightarrow$ $h = (13, 5) \sqrt{3} m$

$S_{3} = \frac{b \cdot h}{2}$

$S_{3} = \frac{(27, 0) \cdot (13, 5) \sqrt{3}}{2}$

$S_{3} = 182, 25 \sqrt{3} m ²$

4. Um proprietário de terras, deseja cercar uma área em forma de triângulo equilátero, com 5(cinco) fios de arame liso. Se um dos lados da área mede $l = 200, 0 m$ , quantos metros de fio ele irá gastar para completar a cerca?

Se $p = 3 \cdot l$ $\Leftrightarrow$ $p = 3 \cdot 200, 0 = 600, 0 m$

Cada fio de arame consumirá $600, 0 m$ do material. Se ele quer colocar 5(cinco) fios, irá gastar:

$P = 5 \cdot p$ $\Leftrightarrow$ $P = 5 \cdot 600, 0 = 3000, 0 m$

Chegou a sua vez. Mostre do que é capaz.

Se um círculo de raio $r = 12, 0 c m$ está inscrito em um triângulo equilátero, determine: a) o raio do círculo circunscrito; b) a altura do triângulo; c) o lado do triângulo; d) a área do triângulo.
Um triângulo equilátero está inscrito em uma circunferência de raio $R = 25, 0 c m$ . Calcule o raio do círculo inscrito nesse triângulo, a altura do triângulo e o seu lado.
Um triângulo equilátero tem altura de $h = 18, 0 c m$ . Quer-se saber quanto mede o raio da circunferência inscrita, o lado do triângulo e a sua área. É possível circunscrever um círculo perfeito a esse triângulo? Se for, qual é seu raio.
O perímetro de um triângulo equilátero (soma dos lados) é $p = 54, 0 c m$ . Determine sua altura, o apótema, o raio da circunferência circunscrita e a área do triângulo.
Um triângulo equilátero, justapõe-se a outro igual a ele, formando um losango. Sendo as diagonais desse losango de medidas $d = 12, 0 c m$ e $D = (8, 0) \sqrt{3} c m$ , determine sua área, a medida dos lados, o raio da circunferência inscrita e o raio da circunferência circunscrita aos vértices mais distantes.
Um homem possui no terreno de sua casa uma sobra onde pretende colocar cerca murada. A forma é de um triângulo equilátero e vai precisar de 24 unidades de tijolos de 25,0cm, para cada fileira de um lado. Se quer fazer o muro com 8 (oito) fileiras de tijolos, quantos tijolos irá precisar para completar a obra?
Dois irmãos são sócios em 50% para cada um de um terreno em forma de triângulo equilátero. Eles querem construir suas casas e para isso precisam demarcar as parcelas que cabem a cada um. Visando proteger o terreno de intrusos, quando ali forem colocar o material para a construção, querem construir muros de todos os lados e também na divisória. Se o lado do terreno mede $l = 50, 0 m$ , quantos metros de muros terão que construir? Se o código de edificações em área residencial da prefeitura permite ocupar 40% da área, qual é a área máxima que cada um deles poderá ocupar com a sua moradia?
A diagonal menor de um losango, divide a figura em dois triângulos equiláteros. Se $d = 15, 0 m$ , determine a área de cada triângulo e a área do losango. Determine a diagonal maior da figura resultante. Determine o raio da circunferência que poderá ser inscrita na figura completa.

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Curitiba, 30 de outubro de 2019

Décio Adams

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