Categoria: Álgebra

www.facebook.com/adamsdecio

@AdamsDcio

Telefone: (41) 3019-4760

Celulares: (41) 99805-0732

20 de junho de 201826 de maio de 2020

043.0 – Matemática, Álgebra – Produtos Notáveis – Quadrado da soma de dois números

O que é algo notável?

Tudo que tem uma característica que chama atenção, tem algo além do comum, pode ser apontado como algo notável. Usamos o adjetivo notável, quando percebemos uma coisa extraordinária em alguma coisa, situação ou fato. Então, a expressão Produtos notáveis tem algo de importante e com aplicações relevantes em algum momento futuro. Vejamos quais são esses casos e o que eles tem de tão diferente.

– Quadrado da soma de dois números.

Você provavelmente irá pensar que é mais fácil efetuar a soma e depois calcular a potência, ou seja elevar ao quadrado. Nisso você tem toda razão. Por que então vamos dedicar tempo especial a esse assunto? Lembre-se que já estudamos álgebra, onde números são substituídos por letras ou mesmo outros símbolos. Se for esse o caso, ou houver letras e números, como fica o resultado? Vamos ver?

$\underbrace{ (a + b)} $

É a adição dos números representados por letras e fica indicada. Vamos elevar ao quadrado:

$\underbrace{( a + b)^2} $

Temos a multiplicação de um binômio por ele mesmo, sendo a o primeiro termo e b o segundo.

$\underbrace{(a + b)}\cdot{\underbrace{(a + b)}} $

Multiplicamos cada um dos termos do primeiro binômio, por cada um dos termos do segundo e ficará:

$\underbrace{ {a}\cdot {a}} +\underbrace{{a}\cdot{b}} +\underbrace {{b}\cdot {a} }+ \underbrace{{b}\cdot{b}}$

${ a^2 + \underbrace{ab + ba} + b^2} $

Há dois termos semelhantes, embora estejam com a ordem das letras invertida, isso não significa nada. Podemos usar a propriedade comutativa da multiplicação e colocar ambos na mesma ordem. Aqui estamos vendo uma aplicação da propriedade vista quando estudamos as quatro operações, está lembrado?. Lá ela não parecia ter importância, mas aqui fica claro que para alguma coisa ela serve.

${ a^2 +\underbrace{ ab + ab} + b^2}$

O coeficiente numérico que não é escrito, sempre é igual a unidade (1). Então:

${a^2 +\underbrace{ 1\cdot {ab} + 1\cdot {ab}} + b^2}$

Fazemos a redução dos termos semelhantes (somando seus coeficientes numéricos) e fica:

${a^2 +\underbrace{(1 + 1)}\cdot {ab} + b^2}$

${ a^2 + 2ab + b^2}$

O resultado é um trinômio, cujo primeiro termo é o primeiro termo da soma elevado ao quadrado, o segundo termo é o dobro do produto do primeiro pelo segundo termo e o terceiro termo é o quadrado do segundo termo da soma. Isso nos permite estabelecer a regra que pode ser usada em qualquer caso de uma soma de dois números, elevada ao quadrado, pouco importando ser somente de letras ou letras e números.

“O quadrado da soma de dois números é igual ao quadrado do primeiro termo, mais o duplo produto (dobro) do primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo”.

Bom para lembrar!

Se observar bem, verá que o primeiro termo da soma (a), aparece primeiro com o expoente 2, depois com o expoente 1 e por último com o expoente 0, o que o torna igual a 1 (unidade). Já o segundo termo tem os expoentes em ordem inversa: 0, 1 e por último 2.

Expoentes do a: 2>1>0

Expoentes do b: 0<1<2

Se a = 9 e b = 5, podemos substituir esses valores nas duas formas e efetuar as operações. Os resultados devem ser iguais. Vejamos:

$\underbrace{(a + b)^2}$

$\underbrace{(9 + 5)^2}$

$ 14^2 = 196 $

$ a^2 + 2ab + b^2$

$ 9^2 +\underbrace{ 2\cdot 9\cdot 5} + 5^2$

$ 81 +90 + 25 = 171 + 25 = 196 $

NOTA: Vemos que na substituição os resultados numéricos são os mesmos, o que valida a regra.

Vamos aplicar isso em alguns exemplos:

a) $\underbrace{(2x + y)^2}$

Primeiro termo é$ 2x$ o segundo termo é$ y$.

${ {(2x)}^2 + \underbrace{2\cdot 2\cdot{x}{y}} + y^2} $

${\underbrace{(2^2)\cdot (x^2)} +\underbrace{2\cdot 2\cdot{x}{y}} + (y^2)}$

$ {4x^2 + 4xy + y^2}$

b) $\underbrace{(3m + 5)^2}$

O primeiro termo é $3m$ e o segundo termo é $5$.

$ \underbrace{(3m)^2} +\underbrace{ 2\cdot 3\cdot {m}\cdot 5} + 5^2$

$ {9m^2 + 30m + 25 }$

c) $\underbrace{( 6 + 4xy)^2}$

O primeiro termo é $6$ e o segundo termo é $4xy$.

$6^2 +\underbrace{ 2\cdot 6\cdot {(4xy)}} +\underbrace {(4xy)^2} $

${36 + 48xy + 16x^{2}y^{2} }$

d) $\underbrace{( p + 3q)^2}$

Primeiro termo é $p$ o segundo termo é $3q$.

$ p^2 + \underbrace{2\cdot {p}\cdot{3q}} + {(3q)}^2 $

$ {p^2 + 6pq + 9q^2}$

Resolva, aplicando a regra vista, os quadrados da soma de dois números na lista a seguir.

a)${(3ax + 2by)}^2= ?$

b)${(7n + 3m)}^2= ?$

c)${(2 + 8mx)}^2= ?$

d)${(5a + 3b)}^2= ?$

e)${(11 + 5mn)}^2= ?$

f)${(4mx + 7n)}^2= ?$

g)${(6xy^2 + 2x^2y)}^2= ?$

h)${(9pq + 13)}^2= ?$

Curitiba, 09 de junho de 2018.

Décio Adams

www.facebook.com/adamsdecio

@AdamsDcio

Telefone: (41) 3019-4760

Celulares: (41) 99805-0732

11 de janeiro de 20184 de julho de 2020

01.066 – Matemática, Álgebra. Inequações 2º Grau – Exercícios

Hora de treinar a cuca!

Vamos determinar o conjunto verdade de algumas inequações do segundo grau, fazendo o estudo de sua variação de sinais em relação às raízes.

a) $\color{navy}{ -5x^2 + 25x + 70 \lt 0 }$

Vamos começar por identificar os coeficientes numéricos, comparando com a forma geral. Temos que $ a = -5 $, $ b = 25 $ e $ c = 70 $.

Para facilitar os cálculos, iremos dividir todos os termos por $-5$, simplificando e teremos \[\frac{-5x^2}{-5} + \frac{25x}{-5} + \frac{70}{-5} \lt 0\] \[x^2 – 5x – 14 \lt 0\] Agora os coeficientes passam a ser $ a = 1$, $b = -5$ e $c = -14$. É o momento de determinar o discriminante \[\bbox[grey,5px,border:2px solid brown]{\color{maroon}{\Delta = b^2 – 4\cdot a \cdot c}} \] \[\Delta = {(-5)^2 – 4\cdot 1\cdot (-14)}\] \[\Delta = 25 + 56 \] \[\Delta = 81\] O discriminante é positivo e portanto teremos duas raízes reais e diferentes que tornarão a expressão igual a zero. Calculando as raízes \[\bbox[grey,5px,border:2px solid red]{\color{maroon}{ x = {{-b\pm\sqrt \Delta}\over{2a}}}} \] \[ x = {{-(-5)\pm\sqrt{81}}\over {2\cdot 1}} \] \[x= {{5\pm 9}\over 2}\] \[x’ = {{5 + 9}\over 2} = {14\over 2} = 7\] \[ x” = {{5 – 9}\over 2} = {-4\over 2} = -2\]

Temos pois para valores que anulam a expressão em $x$ os números $-2 $ e $7$. Vejamos como fica o comportamento na Reta Real.

\[\underbrace{\color{navy}{-\infty\leftarrow =========}}{-2}\circ\underbrace{————-}{7}\circ\underbrace{\color{navy}{============\rightarrow\infty}}\]

Vimos que para valores externos das raízes, isto é, nesse caso para $x \lt -2$ ou $x \gt 7$ a expressão terá o mesmo sinal do coeficiente $a$ na inequação em sua forma original, sem simplificação. Vimos acima que $a = -5$ ou seja $ a \lt 0$, o que nos leva à conclusão de que o sinal será negativo para esses valores. Já para os valores compreendidos entre $ -2 $ e $7$, a expressão terá o sinal contrário de $a$, portanto positivo. Assim deduzimos que o conjunto verdade dessa inequação é dado por: \[\bbox[silver, 5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{ V = \{ x \in R | x \lt -2 \vee x \gt 7\}}} \]

b)$\color{navy}{ 3x^2 + 15x -72 \ge 0}$

Identificamos os coeficientes $ a = 3$, $b = 15$ e $c = -72$. Observando esses valores, percebemos que é possível simplificar a expressão, dividindo todos os termos por $3$, o que nos dá \[\frac{3x^2}{3} +\frac{15x}{3} – \frac{-72}{3} \] \[ x^2 + 5x – 24 \ge 0\] Temos agora os novos coeficientes $ a= 1$, $b = 5 $ e $c = -24$. Vamos determinar o discriminante. \[\bbox[yellow,5px,border:2px solid brown]{\color{maroon}{\Delta = b^2 – 4\cdot a \cdot c}} \] \[ \Delta = 5^2 – 4\cdot 1\cdot {-24} \] \[\Delta = 25 + 96 \] \[\Delta = 121\] Temos novamente $\Delta \gt 0$ e em consequência duas raízes reais e diferentes.

\[\bbox[lime,5px,border:2px solid brown]{\color{maroon}{ x = {{-b\pm\sqrt \Delta}\over{2a}}}} \] \[x = {{- 5\pm\sqrt{121}}\over{2\cdot 1}}\] \[x= {{-5\pm{11}}\over 2}\] \[x’ = {{-5 + 11}\over 2} = {6\over 2} = 3 \] \[x” = {{-5 – 11}\over 2} ={-16\over 2} = -8\] Lançando esses valores na Reta Real, fica:

\[\underbrace{\color{lime}{-\infty\leftarrow ============(-8)\bullet}}\underbrace{———-}\underbrace{\color{lime}{3\bullet============\rightarrow\infty}}\]

As raízes $-8$ e $ 3$ anulam a expressão, enquanto os valores externos tornam a expressão positiva, por ter no mesmo sinal de $a$. Os valores internos tornarão a expressão negativa, que é o sinal contrário de $a$. Como a inequação é $\ge 0$, o conjunto verdade será também dado por:

\[\bbox[silver,5px,border: 2px solid blue]{\color{navy}{V=\{ x \in R| x\le -8 \vee x \ge 3\}}} \]

c)$\color{blue} {x^2 -13x + 42 \le 0}$

Os coeficientes numéricos são $a=1$, $b= -13$ e $c = 42$. Notamos que agora não há simplificação a ser feita, pois o coeficiente $a =1$ e a expressão está na sua forma mais simples. Vejamos o discriminante:\[\bbox[yellow,5px,border:2px red solid]{\color{maroon}{\Delta = b^2 – 4\cdot a \cdot c}} \] \[\Delta=(-13)^2 – 4\cdot 1\cdot 42 = 169 – 168 = 1\] Temos então que $\Delta \gt 0$ e novamente as raízes são reais e diferentes. \[\bbox[lime,5px,border:2px solid red]{\color{maroon}{ x = {{-b\pm\sqrt \Delta}\over{2a}}}} \] \[x={{-(-13\pm\sqrt{1}}\over{2\cdot 1}}\] \[x = {{13\pm 1}\over 2}\] \[x’= {{13 + 1}\over2} = {14\over 2} = 7\] \[x”={{13 – 1}\over 2} = {12\over 2} = 6 \] Lançando os valores $6$ e $7$ na Reta Real, teremos:

\[\underbrace{-\infty\leftarrow —————-}\underbrace{\color{lime}{6\bullet========7\bullet}}\underbrace{———————-\rightarrow\infty}\]

Para valores de $x$ a esquerda de $6$ ou a direita de $7$, a expressão será positiva, isto é, o mesmo sinal de $a$, que é positivo. Para valores internos do intervalo $6$ e $7$, a expressão será negativa, o sinal contrário de $a$. Assim sendo, a desigualdade da inequação é $\le$, o conjunto verdade será formado pelos números entre $6$ e $7$, inclusive.

\[\bbox[silver, 5px, border:2px solid blue]{\color{navy}{V = \{x \in R| 6 \le x \le 7\}}}\]

d)$\color{blue}{ 3x^2 – 18x + 72 \gt 0} $

Notamos que é possível simplificar a expressão, pois todos os coeficientes são múltiplos de $3$. Então \[\frac{3x^2}{3} – \frac{18x}{3} + \frac{72}{3} \] \[ x^2 – 6x + 24 \gt 0\]

Agora os nossos coeficientes são $a = 1$, $b = -6$ e $c = 24$. Vamos ao discriminante.

\[\bbox[yellow,5px,border:2px red solid]{\color{maroon}{\Delta = b^2 – 4\cdot a \cdot c}} \] \[ \Delta = {(-6)^2}\cdot 1\cdot {24} = 36 – 96 = -60\] Consequentemente constatamos que $\Delta \lt 0$, o que nos leva a conclusão de que nenhum número real tornará a expressão igual a zero. Como fica a inequação? Não temos ponto de referência para dizer que a expressão será positiva ou negativa para esse ou aquele valor. Vamos escolher três valores, sendo um negativo, o próprio zero e um positivo, substituindo e verificando o resultado. Sejam esses números $-3$, $0$ e $5$.

Para $x = -3$, teremos \[3x^2 -18x + 72 \gt 0\] \[ 3\cdot (-3)^2 – 18\cdot{(-3)} + 72 \gt 0\] \[{3\cdot 9} + 54 + 72 \gt 0 \] \[ 27 + 54 + 72 \gt 0\] \[ 153 \gt 0\] Esta sentença é verdadeira.

Para $x = 0$, teremos \[3\cdot 0 – 18\cdot 0 + 72 \gt 0\] \[ 0 + 0 + 72 \gt 0\] \[ 72 \gt 0\] Esta sentença é verdadeira.

Para $x = 5$, teremos \[3\cdot 5^2 – 18\cdot 5 + 72 \gt 0\] \[ 3\cdot 25 – 90 + 72 \gt 0\] \[75 – 90 + 72 \gt 0\] \[147 – 90 \gt 0\] \[ 57 \gt 0\] Sentença verdadeira.

Vamos escolher mais um número negativo e dois positivos, para sanar qualquer dúvida. $-5$, $2$ e $7$.

Para $x=-5$, teremos \[3\cdot (-5)^2 – 18\cdot(- 5) + 72 \gt 0\] \[3\cdot 25 + 90 + 72 \gt 0\] \[75 +90 + 72 \gt 0\] \[ 237 \gt 0\] Sentença verdadeira.

Para $x = 2$, teremos \[3\cdot 2^2 – 18\cdot 2 + 72 \gt 0 \] \[3\cdot 4 – 54 + 72 \gt 0\] \[ 12 – 54 + 72 \gt 0\] \[30 \gt 0\] Sentença verdadeira.

Para $x = 7$, teremos \[3\cdot 7^2 – 18\cdot 7 + 72 \gt 0\] \[3\cdot 49 – 126 + 72 \gt 0\] \[147 – 126 + 72 \gt 0 \] \[93 \gt 0\] Sentença verdadeira.

Fica evidenciado que para qualquer número real colocado no lugar de $x$ nessa inequação, o resultado é uma sentença verdadeira. Podemos concluir que o conjunto verdade é então o próprio conjunto dos números reais.

\[\bbox[silver,5px,border:2px solid blue]{\color{navy}{ V = R}}\]

Se a mesma inequação tivesse o sinal de desigualdade $\lt $ no lugar de $\gt$, essas sentenças todas seriam falsas e portanto o conjunto verdade da inequação seria um conjunto vazio. Assim

\[3x^2 – 18x + 72 \lt 0\] \[\bbox[silver,5px,border:2px solid blue]{\color{navy}{ V = \emptyset}}\] O mesmo aconteceria se tivéssemos os sinais de desigualdade $\ge$ ou $\le$, uma vez que teríamos a conjunção alternativa $\vee$, que tornaria as sentenças igualmente verdadeiras. É interessante notar que nestes casos o sinal da expressão é sempre igual ao sinal de $a$. Se $a\lt 0$, a expressão será sempre negativa, para qualquer número $x \in R$. Se $a \gt 0$, a expressão será positiva para qualquer valor de $x \in R$.

Agora é a sua vez de praticar. Analise os sinais das inequações e determine o conjunto verdade em cada caso.

a) $\color{navy}{x^2 – 17x + 70 \le 0}$

b) $\color{navy}{2x^2 + 4x – 48 \ge 0}$

c) $\color{navy}{ x^2 – 5x – 36 \gt 0} $

d)$\color{navy}{ 3x^2 – 108 \lt 0}$

e) $\color{navy}{5x^2 – 35x \lt 0}$

f)$\color{navy}{ 4x^2 – 12x + 44 \gt 0}$

g) $\color{navy}{5x^2 + 110 \ge 3x^2 + 14x} $

h)$\color{navy}{ 6x^2 + 54 \le 0} $

i) $\color{navy}{4x -9 \gt x^2 }$

j) $\color{navy}{x^2 – 19x + 88 \lt 0}$

l) $\color{navy}{ 7x^2 + 28x \gt 0}$

m) $\color{navy}{{\frac{2}{3}}x^2 -\frac{3}{5} \le 0} $

Obs.: Se tiver dúvida sobre a resolução de algum desses exercícios, faça contato comigo. Estes eu não vou resolver logo em seguida. Legal? Procure se virar nos trinta, meu!

Curitiba, 10 de junho de 2016

Revisado e republicado em 11 de janeiro de 2017.

Décio Adams

www.facebook.com/decioadams.matfisonline

@AdamsDcio

Telefone: (41) 3019-4760

Celular e WhatsApp: (41) 99805-0732

11 de janeiro de 20183 de julho de 2020

01.065 – Matemática, Álgebra. Inequações 2º Grau (Cont. II)

Mais um pouco desse assunto.

No último post analisamos as inequações que têm apenas um valor que torna nula a expressão. Creio que nem é necessário falar daquelas em que as raízes não pertencem ao conjunto dos Reais. Vamos ver como ficam as incompletas, do tipo

\[\bbox[4px,border:2px solid maroon]{\color{Blue}{ ax^2 + bx \not = 0}}\]
\[\bbox[4px,border:2px solid maroon]{\color{Blue}{ ax^2 + c \not= 0}}\]

Para começar vamos estudar a inequação

\[\bbox[4px,border:2px solid maroon]{\color{Blue}{ 2x^2 – 32 \lt 0}}\]. Não temos o termo com a variável $\color{Navy}{x}$ apresentando o expoente $\color{Navy}{1}$. Portanto podemos resolver a questão, pelo método abreviado.

Continue lendo “01.065 – Matemática, Álgebra. Inequações 2º Grau (Cont. II)”

11 de janeiro de 20183 de julho de 2020

01.064 – Matemática, Álgebra. Inequações 2º Grau (continuação)

Pensou que acabou?

Ainda tem mais, bem mais. No post anterior nós vimos o caso das inequações em que existem dois valores que anulam a sentença da inequação. Mas existem aquelas em que temos duas raízes iguais, os que têm duas raízes simétricas, não têm raiz uma vez que recai num radical de índice par com radicando negativo.
Um passo de cada vez. Seja a inequação $\bbox[5px,border:2px solid maroon]{\mathbf{\color{Blue}{ x^2 -6x + 9 \lt 0}}} $.

Continue lendo “01.064 – Matemática, Álgebra. Inequações 2º Grau (continuação)”

7 de janeiro de 20182 de julho de 2020

01.063 – Matemática, Álgebra. Inequações do 2º Grau.

Inequações do 2º Grau.

Agora complicou!

Bem, já sabemos o que é uma inequação, não é? Por que complicou?

É que agora as que antes eram equações, agora são inequações e o conjunto verdade é um pouco mais difícil de determinar, mesmo aplicando a $\color{Green}{ f \acute { o } rmula}$ $\color{Green}{de}$ $\color{Green}{ Bhaskara}$, pois os sinais variam dependendo das condições que a inequação apresenta.
A forma geral é semelhante àquela que vimos para as equações, apenas em lugar de uma igualdade, temos uma desigualdade, onde novamente iremos usar os símbolos $\color{Blue}{ \lt} $, $\color{Blue}{\gt}$, $\color{Blue}{\le}$, $\color{Blue}{\ge}$, principalmente, pelo menos no primeiro momento. Talvez você me pergunte, por que vamos estudar esse assunto? Isso é importante mesmo? Vou responder que é muito, mas muito importante mesmo. Só para adiantar alguma coisa, digo que chegará o momento de estudar as funções e estas serão representadas graficamente, num plano cartesiano, formando retas, parábolas, hipérboles, senoides, cossenoides e outras mais. Nesse momento o conhecimento do estudo dos sinais será muito importante e é o que iremos aprender aqui.

Continue lendo “01.063 – Matemática, Álgebra. Inequações do 2º Grau.”

7 de janeiro de 20182 de julho de 2020

01.062 – Matemática, Álgebra. Inequações do 1º grau – Exercícios resolvidos.

Vamos “malhar”?

Determine o conjunto verdade das inequações a seguir.
$\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{blue}{ 4x – 7 \lt 2x + 1}} $

Observamos que há termos com a variável $x$ tanto no primeiro como no segundo membro da inequação. Igualmente termos independentes da variável. Para obtermos a solução precisamos deixar a variável no primeiro membro e os termos independentes no segundo. Isso fazemos adicionando os simétricos em ambos os lados. Assim:

\[{4x – 7} \lt {2x + 1} \]

\[ \underbrace{\color{blue}{( 4x – 2x)}} +\underbrace{\color{maroon}{ (- 7 + 7) }} \lt \underbrace{\color{blue}{ (2x – 2x)}} + \underbrace{\color{maroon}{( + 1 + 7) }} \]

\[2x + 0 \lt 0 + 8 \] \[{ 2x } \lt { + 8} \]

Para concluir, vamos dividir ambos os membros pelo fator $2$, o que nos deixará a variável $x$ isolada no primeiro membro da inequação. Não há necessidade de mudança de sentido, pois ambos os termos são positivos.

\[ \frac{2x}{2} \lt \frac{+8}{2} \]

\[ x \lt 4 \]

Portanto

\[\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy} {V} = \color{navy}{\{ x\in R | x \lt +4 \}}}\]

Rendered by QuickLaTeX.com

$\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{blue}{ 11 + 3x \gt – 8}} $

Vamos isolar $x$ no primeiro membro, adicionando $ – 11$ aos dois membros da inequação.

\[\overbrace{\color{maroon}{ (11 – 11)}} + 3x \gt \overbrace{\color{maroon}{ (-8 -11)}} \] \[ 0 + 3x \gt – 19 \] \[ {3x} \gt {- 19} \]

Dividindo ambos os membros por $3$, iremos isolar $x$ no primeiro membro.

\[ \frac{ (3x) }{ 3 } \gt \frac { (-19) }{ 3 } \] \[x \gt {(-19/3)} \]

\[\bbox[4px,border:2px solid brown]{\color{navy} { V = \left\{ x \in R | x \gt \left(-\frac {19}{3}\right)\right \}}} \]

Rendered by QuickLaTeX.com

$ \bbox[4px,border:2px solid brown]{\color{navy}{- 6 + 2x \ge 3x + 1}}$

Temos que adicionar $\color{brown}{+6}$ e $\color{brown}{-3x}$ a ambos os membros da inequação, para isolar a variável $\color{brown}{x}$ no primeiro membro.

\[ \underbrace{\color{maroon}{ (- 6 + 6)}} +\underbrace{\color{blue}{(2x – 3x)}} \ge \underbrace{\color{blue}{(3x – 3x)}} + \underbrace{\color{maroon}{(1 +6)}}\]

\[ 0 – x \ge 0 + 7 \] \[ {-x} \ge 7 \]

Multiplicamos por $\color{brown}{ -1}$ para deixar $\color{brown}{x}$ com sinal positivo, invertendo dessa maneira a desigualdade.

\[{-x}\cdot {(-1)} \ge {+7}\cdot {(-1)}\] \[ x \le (-7) \]

\[\bbox[4px,border:2px solid brown]{\color{navy}{V = \{ x \in R | x \le (-7) \}}}\]

Rendered by QuickLaTeX.com

$\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{ 6 \le 5 – 3x}} $

Para trazermos a variável para o primeiro membro, adicionamos seu simétrico $\color{brown}{3x}$, bem como o simétrico $\color{brown}{-6}$ do termo independente. Obtemos assim:

\[ \underbrace{\color{maroon}{(6 – 6)}} + 3x \le \underbrace{\color{maroon}{ (5 – 6)}} + \underbrace{\color{blue}{(-3x + 3x)}} \]

\[ 0 + 3x \le -1 + 0 \] \[ 3x \le -1 \]

Dividindo por $\color{brown}{3}$ ambos os membros, temos:

\[ \frac{3x}{3} \le \frac{(-1)}{3} \]

\[ x \le \left(-{\frac{1}{3}}\right) \]

\[\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{ V = \left\{ x \in R | x \le \left({-\frac{1}{3}}\right) \right\}}} \]

Rendered by QuickLaTeX.com

$\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{ 3y + 4 \le 7 – y}} $

Adicionando a ambos os membros da inequação os simétricos $\color{brown}{ -4}$ e $\color{brown}{+y}$, teremos:

\[ \underbrace{\color{blue}{(3y + y) }} + \underbrace{\color{maroon}{(4 – 4)}} \le \underbrace{\color{maroon}{(7 – 4)}} + \underbrace{\color{blue}{(-y + y)}} \]

\[ 4y + 0 \le 3 + 0 \]

\[ 4y \le 3 \]

Dividindo ambos os membros por $\color{brown}{4}$, teremos:

\[ \frac{4y}{4} \le \frac{3}{4} \]

\[ y \le \left(\frac{3}{4}\right) \]

\[\bbox[4px,border:2px solid brown]{\color{navy}{ V = \left\{ x \in R | x \le \left({\frac{3}{4}}\right)\right\}}}\]

Rendered by QuickLaTeX.com

$\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{blue}{ 15 – 4x \lt 11 + x}}$

Começamos por adicionar aos dois membros os simétricos $\color{brown}{-x}$ e $\color{brown}{-15}$.

\[\underbrace{\color{maroon}{(15 – 15)}} + \underbrace{\color{blue}{(-4x – x)}} \lt \underbrace{\color{maroon}{(11 – 15)}} + \underbrace{\color{blue}{(x – x)}} \]

\[ 0 – 5x \lt -4 + 0 \] \[ -5x \lt -4 \]

Dividindo ambos os membros por $\color{brown}{-5}$, isolamos $\color{brown}{x}$ e invertemos a desigualdade de $\color{brown}{\lt}$ para $\color{brown}{\gt}$.

\[\frac{-5x}{-5} \lt \frac{-4}{-5} \] \[ x \gt \left(\frac{4}{5}\right) \]

\[\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{ V = \left\{ x \in R | x \gt \left(\frac{4}{5}\right) \right\}}}\]

Rendered by QuickLaTeX.com

$\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{blue}{ 6x + 5\gt 4x – 7}}$

Para isolarmos $\color{brown}{x}$ no primeiro membro, temos que adicionar aos dois os simétricos de $\color{brown}{4x}$ e $\color{brown}{5}$, ficando assim:

\[\underbrace{\color{blue}{6x -4x}} + \underbrace{\color{maron}{ 5 – 5}} \gt \underbrace{\color{blue}{4x – 4x}} + \underbrace{\color{maroon}{(-7 – 5)}} \]

\[ 2x + 0 \gt 0 – 12 \] \[ 2x \gt -12 \]

Dividimos por $\color{brown}{2}$ ambos os membros e teremos:

\[ \frac{2x}{2} \gt \frac{-12}{2} \] \[ x \gt -6 \]

\[\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{ V = \{ x \in R | x \gt – 6 \}}} \]

Rendered by QuickLaTeX.com

$\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{blue}{ 2 + 7x \gt 6x + 4}} $

Adicionando $\color{brown}{-2}$ e $\color{brown}{-6x}$ aos dois membros isolamos $\color{brown}{x}$ no primeiro membro.

\[ \underbrace{\color{maroon}{ 2 – 2}} + \underbrace{\color{blue}{7x – 6x}} \gt \underbrace{\color{blue}{6x – 6x}} + \underbrace{\color{maroon}{4 – 2}} \]

\[ 0 + x \gt 0 + 2 \]

\[ x \gt 2 \]

\[\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{ V = \{ x \in R| x \gt 2\}}} \]

Rendered by QuickLaTeX.com

Curitiba, 02 de junho de 2016

Curitiba, 07 de janeiro de 2018 (Republicação)

Décio Adams

www.facebook.com/decioadams.matfisonline

@AdamsDcio

Telefone: (41) 3019-4760

Celulares: (41) 99805-0732

7 de janeiro de 20181 de julho de 2020

01.061 – Matemática, Álgebra. Inequação do primeiro grau.

Inequação! Que é isso?

Lembremos que uma equação é uma igualdade, entre duas quantidades, representadas por números, letras e expressões de letras com números. O prefixo in é uma negação. Assim a palavra inequação, poderíamos dizer, que é a negação de uma equação. Em outras palavras é uma desigualdade. Existem alguns símbolos que usamos para indicar essas desigualdades como:

“Menor do que” $\Rightarrow\color{maroon}{ \mathbf{\lt}} $
“maior do que” $\Rightarrow \color{maroon}{\mathbf{\gt}} $
“menor ou igual a” $\Rightarrow \color{maroon}{\mathbf{\le}} $
“maior ou igual a” $\Rightarrow\color{maroon}{\mathbf{ \ge}} $
“Diferente” $\Rightarrow\color{maroon}{\mathbf{\neq}} $
“Não menor do que” $\Rightarrow\color{maroon}{\mathbf{\not\lt}} $
“Não maior do que” $\Rightarrow\color{maroon}{\mathbf{\not\gt}} $
“Não menor ou igual a” $\Rightarrow\color{maroon}{\mathbf{\not\le}}$
“Não maior ou igual a” $\Rightarrow\color{maroon}{ \mathbf{\not\ge}}$

Em determinados momentos, todos esses símbolos podem aparecer em uma expressão matemática. No caso presente, estudo das inequações, iremos usar principalmente os quatro primeiros. Vejamos alguns exemplos:

$\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{2x -3 \lt 0}} $
$\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{ x + 7 \gt 2}} $
$\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{ 8 -x \ge 5}}$
$\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{ 4 + x \le 2x}} $
A determinação do conjunto verdade de uma inequação, é feita de modo semelhante ao procedimento adotado nas equações, com algumas peculiaridades próprias.

Vamos pegar como exemplo a primeira das quatro citadas acima:
$\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{2x – 3\lt 0}}$.
O objetivo é obter uma desigualdade que indique onde estão localizados os valores que servem para substituir x nessa inequação. Temos então que deixar o x isolado no primeiro membro.
\[ 2x – 3 + 3 \lt 0 + 3 \] \[2x \lt 3 \] \[ {{2x}\over 2} \lt {3\over 2} \] \[ x \lt {3\over 2} \]
Isso nos mostra que todos os números reais, menores do que o número 3/2 servem para x, isto é, transformam a expressão em uma sentença verdadeira. Logo: \[\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{ V =\left\{ x\in R | {x\lt {3\over 2}}\right\}}} \]
Representando o conjunto dos números reais na Reta Real, o conjunto verdade dessa inequação será formado por todos os números associados aos pontos dessa reta, à esquerda do ponto que corresponde ao número 3/2.

Rendered by QuickLaTeX.com

A vez da terceira:
$\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{ 8 -x \ge 5}} $
Aplicando o mesmo procedimento, ficamos com:
\[ 8 – 8 – x \ge 5 – 8 \] \[ -x \ge -3 \]
Observe que o os dois membros da inequação são precedidos do sinal $-$, o que nos indica que para melhor interpretação, devemos multiplicar a expressão toda $-1$. Lembrando da reta numérica, vamos observar que a posição dos números negativos, fica invertida em relação ao zero$(0)$, isto é, quanto maior for o módulo, mais à esquerda ele se situa. A consequência disso é que, a multiplicação de uma inequação por $-1$, inverte o sentido da desigualdade, ou seja se era $\le$, passa para $\ge$ e vice-versa. Vamos ver como fica nosso exemplo.
\[ {(-x \ge – 3)}\cdot{(-1)} \] \[ x\le 3 \]
O conjunto verdade dessa inequação será pois:
\[\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{ V = \{x\in R|{x\le 3}\}}} \]
Neste caso o número $3$, faz parte do conjunto verdade. Ficam excluídos apenas os números à direita do $3$. Na Reta Real fica:

Rendered by QuickLaTeX.com

O último exemplo:
$\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{ 4 + x \le 2x}} $
Aplicando o raciocínio par isolar a variável, temos:
\[ 4 – 4 + x \le 2x – 4 \] \[ x – 2x \le 2x – 2x – 4 \] \[ -x \le -4 \]
Novamente é preciso multiplicar por $-1$, e inverter o sinal da desigualdade.
\[{(-x \le -4)}\cdot{(-1)} \] \[ x \ge 4 \]
O conjunto verdade será composto por todos os números reais, desde o $4$ inclusive, até infinito$\infty$.
\[\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{V = \{x\in R|{x\ge 4}\}}} \]
Na Reta Real, teremos:

Rendered by QuickLaTeX.com

O final da resolução de qualquer inequação de primeiro grau será sempre a variável, seguida de um sinal de desigualdade e depois um número. Se a variável tiver sinal negativo, devemos multiplicar por $\color{Brown}{-1}$ e inverter o sinal da desigualdade. Isso não pode ser esquecido.

Vamos “malhar”?

Determine o conjunto verdade das inequações a seguir.

$\color{navy}{ 4x – 7 \lt 2x + 1}$
$\color{navy}{ 11 + 3x \gt – 8} $
$\color{navy}{ – 6 + 2x \ge 3x + 1}$
$\color{navy}{ 6 \le 5 – 3x} $
$\color{navy}{ 3y + 4 \le 7 – y} $
$\color{navy}{15 – 4x \lt 11 +x}$
$\color{navy}{ 6x + 5\gt 4x – 7}$
$\color{navy}{ 2 + 7x \ge 6x + 4} $

Curitiba, 21 de maio de 2016.

Curitiba, 07 de janeiro de 2018 (Revisto e republicado)

Décio Adams