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Na última vez que falamos desse assunto, vimos duas funções do tipo denominado função afim e deixamos alguns exercícios. Mas o assunto não ficou esgotado. Há mais coisas a saber sobre isso. Do mesmo modo que as funções lineares, também essas podem ter coeficiente angular negativo, isto é, apresentar-se na forma gráfica, inclinadas ao contrário dos dois exemplos vistos. Vejamos o primeiro.
Continue lendo “Matemática – Álgebra. Função afim (continuação)”Vimos que se ${0 < a ≠ 1}$ e ${b > 0}$, denominamos logaritmo de ${b}$ na base ${a}$ ao expoente de ${a}$ que resulta na potência igual a ${b}$.
Já o cologaritmo é o oposto ou simétrico do logaritmo. Assim: ${colog_a{b} = – log_a{b}}$
${colog_a{b} = (-1)\cdot{log_a{b}}} ⇔ {colog_a{b} = log_a{b}^{-1}}$
${colog_a{b} = log_a{1\over b}}$
Fica demonstrado que o cologaritmo de um número em determinada base é igual ao logaritmo de seu inverso na mesma base.
Continue lendo “067.11 – Matemática, álgebra. Cologaritmo e antilogaritmo.”
Há várias formas de equações envolvendo logaritmos. Vamos ver o primeiro deles.
I) Igualdade entre logaritmos de mesma base, como
${log_a{x} = log_a{y}} ⇔ { x = y}$
Exemplo.
${log_5\underbrace{{(2x + 4)}} = log_5\underbrace{{(3x + 1)}}}$
${2x + 4 = 3x + 1} ⇔ {2x – 3x = 1 – 4}$
${-x = -3} ⇔ {-x\cdot{(-1)} = -3\cdot{(-1)}}$
${x = 3} ⇔ {S = \{3\}}$
Continue lendo “067.10 – Matemática, álgebra. Equações logarítmicas”
Vimos no início do nosso estudo dos logaritmos que
${log_a{b} = x}$, tem como condição de existência que tenhamos:
${a > 0, a ≠ 1}$ ⇔ ${0 < a ≠ 1}$
${b > 0}$
Se estas condições não forem satisfeitas o logaritmo não existe. Isso nos leva a um tipo de expressão em que precisamos analisar uma ou mais situações e estabelecer a condição de existência daquele(s) logaritmo(s) especificamente.
Continue lendo “067.9 – Matemática, álgebra. Condições de existência dos logaritmos.”
Vamos determinar o conjunto verdade de algumas inequações do segundo grau, fazendo o estudo de sua variação de sinais em relação às raízes.
a) $\color{navy}{ -5x^2 + 25x + 70 \lt 0 }$
Vamos começar por identificar os coeficientes numéricos, comparando com a forma geral. Temos que $ a = -5 $, $ b = 25 $ e $ c = 70 $.
Para facilitar os cálculos, iremos dividir todos os termos por $-5$, simplificando e teremos \[\frac{-5x^2}{-5} + \frac{25x}{-5} + \frac{70}{-5} \lt 0\] \[x^2 – 5x – 14 \lt 0\] Agora os coeficientes passam a ser $ a = 1$, $b = -5$ e $c = -14$. É o momento de determinar o discriminante \[\bbox[grey,5px,border:2px solid brown]{\color{maroon}{\Delta = b^2 – 4\cdot a \cdot c}} \] \[\Delta = {(-5)^2 – 4\cdot 1\cdot (-14)}\] \[\Delta = 25 + 56 \] \[\Delta = 81\] O discriminante é positivo e portanto teremos duas raízes reais e diferentes que tornarão a expressão igual a zero. Calculando as raízes \[\bbox[grey,5px,border:2px solid red]{\color{maroon}{ x = {{-b\pm\sqrt \Delta}\over{2a}}}} \] \[ x = {{-(-5)\pm\sqrt{81}}\over {2\cdot 1}} \] \[x= {{5\pm 9}\over 2}\] \[x’ = {{5 + 9}\over 2} = {14\over 2} = 7\] \[ x” = {{5 – 9}\over 2} = {-4\over 2} = -2\]
Temos pois para valores que anulam a expressão em $x$ os números $-2 $ e $7$. Vejamos como fica o comportamento na Reta Real.
\[\underbrace{\color{navy}{-\infty\leftarrow =========}}{-2}\circ\underbrace{————-}{7}\circ\underbrace{\color{navy}{============\rightarrow\infty}}\]
Vimos que para valores externos das raízes, isto é, nesse caso para $x \lt -2$ ou $x \gt 7$ a expressão terá o mesmo sinal do coeficiente $a$ na inequação em sua forma original, sem simplificação. Vimos acima que $a = -5$ ou seja $ a \lt 0$, o que nos leva à conclusão de que o sinal será negativo para esses valores. Já para os valores compreendidos entre $ -2 $ e $7$, a expressão terá o sinal contrário de $a$, portanto positivo. Assim deduzimos que o conjunto verdade dessa inequação é dado por: \[\bbox[silver, 5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{ V = \{ x \in R | x \lt -2 \vee x \gt 7\}}} \]
b)$\color{navy}{ 3x^2 + 15x -72 \ge 0}$
Identificamos os coeficientes $ a = 3$, $b = 15$ e $c = -72$. Observando esses valores, percebemos que é possível simplificar a expressão, dividindo todos os termos por $3$, o que nos dá \[\frac{3x^2}{3} +\frac{15x}{3} – \frac{-72}{3} \] \[ x^2 + 5x – 24 \ge 0\] Temos agora os novos coeficientes $ a= 1$, $b = 5 $ e $c = -24$. Vamos determinar o discriminante. \[\bbox[yellow,5px,border:2px solid brown]{\color{maroon}{\Delta = b^2 – 4\cdot a \cdot c}} \] \[ \Delta = 5^2 – 4\cdot 1\cdot {-24} \] \[\Delta = 25 + 96 \] \[\Delta = 121\] Temos novamente $\Delta \gt 0$ e em consequência duas raízes reais e diferentes.
\[\bbox[lime,5px,border:2px solid brown]{\color{maroon}{ x = {{-b\pm\sqrt \Delta}\over{2a}}}} \] \[x = {{- 5\pm\sqrt{121}}\over{2\cdot 1}}\] \[x= {{-5\pm{11}}\over 2}\] \[x’ = {{-5 + 11}\over 2} = {6\over 2} = 3 \] \[x” = {{-5 – 11}\over 2} ={-16\over 2} = -8\] Lançando esses valores na Reta Real, fica:
\[\underbrace{\color{lime}{-\infty\leftarrow ============(-8)\bullet}}\underbrace{———-}\underbrace{\color{lime}{3\bullet============\rightarrow\infty}}\]
As raízes $-8$ e $ 3$ anulam a expressão, enquanto os valores externos tornam a expressão positiva, por ter no mesmo sinal de $a$. Os valores internos tornarão a expressão negativa, que é o sinal contrário de $a$. Como a inequação é $\ge 0$, o conjunto verdade será também dado por:
\[\bbox[silver,5px,border: 2px solid blue]{\color{navy}{V=\{ x \in R| x\le -8 \vee x \ge 3\}}} \]
c)$\color{blue} {x^2 -13x + 42 \le 0}$
Os coeficientes numéricos são $a=1$, $b= -13$ e $c = 42$. Notamos que agora não há simplificação a ser feita, pois o coeficiente $a =1$ e a expressão está na sua forma mais simples. Vejamos o discriminante:\[\bbox[yellow,5px,border:2px red solid]{\color{maroon}{\Delta = b^2 – 4\cdot a \cdot c}} \] \[\Delta=(-13)^2 – 4\cdot 1\cdot 42 = 169 – 168 = 1\] Temos então que $\Delta \gt 0$ e novamente as raízes são reais e diferentes. \[\bbox[lime,5px,border:2px solid red]{\color{maroon}{ x = {{-b\pm\sqrt \Delta}\over{2a}}}} \] \[x={{-(-13\pm\sqrt{1}}\over{2\cdot 1}}\] \[x = {{13\pm 1}\over 2}\] \[x’= {{13 + 1}\over2} = {14\over 2} = 7\] \[x”={{13 – 1}\over 2} = {12\over 2} = 6 \] Lançando os valores $6$ e $7$ na Reta Real, teremos:
\[\underbrace{-\infty\leftarrow —————-}\underbrace{\color{lime}{6\bullet========7\bullet}}\underbrace{———————-\rightarrow\infty}\]
Para valores de $x$ a esquerda de $6$ ou a direita de $7$, a expressão será positiva, isto é, o mesmo sinal de $a$, que é positivo. Para valores internos do intervalo $6$ e $7$, a expressão será negativa, o sinal contrário de $a$. Assim sendo, a desigualdade da inequação é $\le$, o conjunto verdade será formado pelos números entre $6$ e $7$, inclusive.
\[\bbox[silver, 5px, border:2px solid blue]{\color{navy}{V = \{x \in R| 6 \le x \le 7\}}}\]
d)$\color{blue}{ 3x^2 – 18x + 72 \gt 0} $
Notamos que é possível simplificar a expressão, pois todos os coeficientes são múltiplos de $3$. Então \[\frac{3x^2}{3} – \frac{18x}{3} + \frac{72}{3} \] \[ x^2 – 6x + 24 \gt 0\]
Agora os nossos coeficientes são $a = 1$, $b = -6$ e $c = 24$. Vamos ao discriminante.
\[\bbox[yellow,5px,border:2px red solid]{\color{maroon}{\Delta = b^2 – 4\cdot a \cdot c}} \] \[ \Delta = {(-6)^2}\cdot 1\cdot {24} = 36 – 96 = -60\] Consequentemente constatamos que $\Delta \lt 0$, o que nos leva a conclusão de que nenhum número real tornará a expressão igual a zero. Como fica a inequação? Não temos ponto de referência para dizer que a expressão será positiva ou negativa para esse ou aquele valor. Vamos escolher três valores, sendo um negativo, o próprio zero e um positivo, substituindo e verificando o resultado. Sejam esses números $-3$, $0$ e $5$.
Para $x = -3$, teremos \[3x^2 -18x + 72 \gt 0\] \[ 3\cdot (-3)^2 – 18\cdot{(-3)} + 72 \gt 0\] \[{3\cdot 9} + 54 + 72 \gt 0 \] \[ 27 + 54 + 72 \gt 0\] \[ 153 \gt 0\] Esta sentença é verdadeira.
Para $x = 0$, teremos \[3\cdot 0 – 18\cdot 0 + 72 \gt 0\] \[ 0 + 0 + 72 \gt 0\] \[ 72 \gt 0\] Esta sentença é verdadeira.
Para $x = 5$, teremos \[3\cdot 5^2 – 18\cdot 5 + 72 \gt 0\] \[ 3\cdot 25 – 90 + 72 \gt 0\] \[75 – 90 + 72 \gt 0\] \[147 – 90 \gt 0\] \[ 57 \gt 0\] Sentença verdadeira.
Vamos escolher mais um número negativo e dois positivos, para sanar qualquer dúvida. $-5$, $2$ e $7$.
Para $x=-5$, teremos \[3\cdot (-5)^2 – 18\cdot(- 5) + 72 \gt 0\] \[3\cdot 25 + 90 + 72 \gt 0\] \[75 +90 + 72 \gt 0\] \[ 237 \gt 0\] Sentença verdadeira.
Para $x = 2$, teremos \[3\cdot 2^2 – 18\cdot 2 + 72 \gt 0 \] \[3\cdot 4 – 54 + 72 \gt 0\] \[ 12 – 54 + 72 \gt 0\] \[30 \gt 0\] Sentença verdadeira.
Para $x = 7$, teremos \[3\cdot 7^2 – 18\cdot 7 + 72 \gt 0\] \[3\cdot 49 – 126 + 72 \gt 0\] \[147 – 126 + 72 \gt 0 \] \[93 \gt 0\] Sentença verdadeira.
Fica evidenciado que para qualquer número real colocado no lugar de $x$ nessa inequação, o resultado é uma sentença verdadeira. Podemos concluir que o conjunto verdade é então o próprio conjunto dos números reais.
\[\bbox[silver,5px,border:2px solid blue]{\color{navy}{ V = R}}\]
Se a mesma inequação tivesse o sinal de desigualdade $\lt $ no lugar de $\gt$, essas sentenças todas seriam falsas e portanto o conjunto verdade da inequação seria um conjunto vazio. Assim
\[3x^2 – 18x + 72 \lt 0\] \[\bbox[silver,5px,border:2px solid blue]{\color{navy}{ V = \emptyset}}\] O mesmo aconteceria se tivéssemos os sinais de desigualdade $\ge$ ou $\le$, uma vez que teríamos a conjunção alternativa $\vee$, que tornaria as sentenças igualmente verdadeiras. É interessante notar que nestes casos o sinal da expressão é sempre igual ao sinal de $a$. Se $a\lt 0$, a expressão será sempre negativa, para qualquer número $x \in R$. Se $a \gt 0$, a expressão será positiva para qualquer valor de $x \in R$.
Agora é a sua vez de praticar. Analise os sinais das inequações e determine o conjunto verdade em cada caso.
a) $\color{navy}{x^2 – 17x + 70 \le 0}$
b) $\color{navy}{2x^2 + 4x – 48 \ge 0}$
c) $\color{navy}{ x^2 – 5x – 36 \gt 0} $
d)$\color{navy}{ 3x^2 – 108 \lt 0}$
e) $\color{navy}{5x^2 – 35x \lt 0}$
f)$\color{navy}{ 4x^2 – 12x + 44 \gt 0}$
g) $\color{navy}{5x^2 + 110 \ge 3x^2 + 14x} $
h)$\color{navy}{ 6x^2 + 54 \le 0} $
i) $\color{navy}{4x -9 \gt x^2 }$
j) $\color{navy}{x^2 – 19x + 88 \lt 0}$
l) $\color{navy}{ 7x^2 + 28x \gt 0}$
m) $\color{navy}{{\frac{2}{3}}x^2 -\frac{3}{5} \le 0} $
Obs.: Se tiver dúvida sobre a resolução de algum desses exercícios, faça contato comigo. Estes eu não vou resolver logo em seguida. Legal? Procure se virar nos trinta, meu!
Curitiba, 10 de junho de 2016
Revisado e republicado em 11 de janeiro de 2017.
Décio Adams
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No último post analisamos as inequações que têm apenas um valor que torna nula a expressão. Creio que nem é necessário falar daquelas em que as raízes não pertencem ao conjunto dos Reais. Vamos ver como ficam as incompletas, do tipo
Para começar vamos estudar a inequação
Continue lendo “01.065 – Matemática, Álgebra. Inequações 2º Grau (Cont. II)”
Continue lendo “01.064 – Matemática, Álgebra. Inequações 2º Grau (continuação)”
Bem, já sabemos o que é uma inequação, não é? Por que complicou?
Continue lendo “01.063 – Matemática, Álgebra. Inequações do 2º Grau.”
Observamos que há termos com a variável $x$ tanto no primeiro como no segundo membro da inequação. Igualmente termos independentes da variável. Para obtermos a solução precisamos deixar a variável no primeiro membro e os termos independentes no segundo. Isso fazemos adicionando os simétricos em ambos os lados. Assim:
\[{4x – 7} \lt {2x + 1} \]
\[ \underbrace{\color{blue}{( 4x – 2x)}} +\underbrace{\color{maroon}{ (- 7 + 7) }} \lt \underbrace{\color{blue}{ (2x – 2x)}} + \underbrace{\color{maroon}{( + 1 + 7) }} \]
\[2x + 0 \lt 0 + 8 \] \[{ 2x } \lt { + 8} \]
Para concluir, vamos dividir ambos os membros pelo fator $2$, o que nos deixará a variável $x$ isolada no primeiro membro da inequação. Não há necessidade de mudança de sentido, pois ambos os termos são positivos.
\[ \frac{2x}{2} \lt \frac{+8}{2} \]
\[ x \lt 4 \]
Portanto
\[\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy} {V} = \color{navy}{\{ x\in R | x \lt +4 \}}}\]
Vamos isolar $x$ no primeiro membro, adicionando $ – 11$ aos dois membros da inequação.
\[\overbrace{\color{maroon}{ (11 – 11)}} + 3x \gt \overbrace{\color{maroon}{ (-8 -11)}} \] \[ 0 + 3x \gt – 19 \] \[ {3x} \gt {- 19} \]
Dividindo ambos os membros por $3$, iremos isolar $x$ no primeiro membro.
\[ \frac{ (3x) }{ 3 } \gt \frac { (-19) }{ 3 } \] \[x \gt {(-19/3)} \]
\[\bbox[4px,border:2px solid brown]{\color{navy} { V = \left\{ x \in R | x \gt \left(-\frac {19}{3}\right)\right \}}} \]
Temos que adicionar $\color{brown}{+6}$ e $\color{brown}{-3x}$ a ambos os membros da inequação, para isolar a variável $\color{brown}{x}$ no primeiro membro.
\[ \underbrace{\color{maroon}{ (- 6 + 6)}} +\underbrace{\color{blue}{(2x – 3x)}} \ge \underbrace{\color{blue}{(3x – 3x)}} + \underbrace{\color{maroon}{(1 +6)}}\]
\[ 0 – x \ge 0 + 7 \] \[ {-x} \ge 7 \]
Multiplicamos por $\color{brown}{ -1}$ para deixar $\color{brown}{x}$ com sinal positivo, invertendo dessa maneira a desigualdade.
\[{-x}\cdot {(-1)} \ge {+7}\cdot {(-1)}\] \[ x \le (-7) \]
\[\bbox[4px,border:2px solid brown]{\color{navy}{V = \{ x \in R | x \le (-7) \}}}\]
Para trazermos a variável para o primeiro membro, adicionamos seu simétrico $\color{brown}{3x}$, bem como o simétrico $\color{brown}{-6}$ do termo independente. Obtemos assim:
\[ \underbrace{\color{maroon}{(6 – 6)}} + 3x \le \underbrace{\color{maroon}{ (5 – 6)}} + \underbrace{\color{blue}{(-3x + 3x)}} \]
\[ 0 + 3x \le -1 + 0 \] \[ 3x \le -1 \]
Dividindo por $\color{brown}{3}$ ambos os membros, temos:
\[ \frac{3x}{3} \le \frac{(-1)}{3} \]
\[ x \le \left(-{\frac{1}{3}}\right) \]
\[\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{ V = \left\{ x \in R | x \le \left({-\frac{1}{3}}\right) \right\}}} \]
Adicionando a ambos os membros da inequação os simétricos $\color{brown}{ -4}$ e $\color{brown}{+y}$, teremos:
\[ \underbrace{\color{blue}{(3y + y) }} + \underbrace{\color{maroon}{(4 – 4)}} \le \underbrace{\color{maroon}{(7 – 4)}} + \underbrace{\color{blue}{(-y + y)}} \]
\[ 4y + 0 \le 3 + 0 \]
\[ 4y \le 3 \]
Dividindo ambos os membros por $\color{brown}{4}$, teremos:
\[ \frac{4y}{4} \le \frac{3}{4} \]
\[ y \le \left(\frac{3}{4}\right) \]
\[\bbox[4px,border:2px solid brown]{\color{navy}{ V = \left\{ x \in R | x \le \left({\frac{3}{4}}\right)\right\}}}\]
Começamos por adicionar aos dois membros os simétricos $\color{brown}{-x}$ e $\color{brown}{-15}$.
\[\underbrace{\color{maroon}{(15 – 15)}} + \underbrace{\color{blue}{(-4x – x)}} \lt \underbrace{\color{maroon}{(11 – 15)}} + \underbrace{\color{blue}{(x – x)}} \]
\[ 0 – 5x \lt -4 + 0 \] \[ -5x \lt -4 \]
Dividindo ambos os membros por $\color{brown}{-5}$, isolamos $\color{brown}{x}$ e invertemos a desigualdade de $\color{brown}{\lt}$ para $\color{brown}{\gt}$.
\[\frac{-5x}{-5} \lt \frac{-4}{-5} \] \[ x \gt \left(\frac{4}{5}\right) \]
\[\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{ V = \left\{ x \in R | x \gt \left(\frac{4}{5}\right) \right\}}}\]
Para isolarmos $\color{brown}{x}$ no primeiro membro, temos que adicionar aos dois os simétricos de $\color{brown}{4x}$ e $\color{brown}{5}$, ficando assim:
\[\underbrace{\color{blue}{6x -4x}} + \underbrace{\color{maron}{ 5 – 5}} \gt \underbrace{\color{blue}{4x – 4x}} + \underbrace{\color{maroon}{(-7 – 5)}} \]
\[ 2x + 0 \gt 0 – 12 \] \[ 2x \gt -12 \]
Dividimos por $\color{brown}{2}$ ambos os membros e teremos:
\[ \frac{2x}{2} \gt \frac{-12}{2} \] \[ x \gt -6 \]
\[\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{ V = \{ x \in R | x \gt – 6 \}}} \]
Adicionando $\color{brown}{-2}$ e $\color{brown}{-6x}$ aos dois membros isolamos $\color{brown}{x}$ no primeiro membro.
\[ \underbrace{\color{maroon}{ 2 – 2}} + \underbrace{\color{blue}{7x – 6x}} \gt \underbrace{\color{blue}{6x – 6x}} + \underbrace{\color{maroon}{4 – 2}} \]
\[ 0 + x \gt 0 + 2 \]
\[ x \gt 2 \]
\[\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{ V = \{ x \in R| x \gt 2\}}} \]
Curitiba, 02 de junho de 2016
Curitiba, 07 de janeiro de 2018 (Republicação)
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Lembremos que uma equação é uma igualdade, entre duas quantidades, representadas por números, letras e expressões de letras com números. O prefixo in é uma negação. Assim a palavra inequação, poderíamos dizer, que é a negação de uma equação. Em outras palavras é uma desigualdade. Existem alguns símbolos que usamos para indicar essas desigualdades como:
Em determinados momentos, todos esses símbolos podem aparecer em uma expressão matemática. No caso presente, estudo das inequações, iremos usar principalmente os quatro primeiros. Vejamos alguns exemplos:
Curitiba, 21 de maio de 2016.
Curitiba, 07 de janeiro de 2018 (Revisto e republicado)
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