Equações logarítmicas
Há várias formas de equações envolvendo logaritmos. Vamos ver o primeiro deles.
I) Igualdade entre logaritmos de mesma base, como
${log_a{x} = log_a{y}} ⇔ { x = y}$
Exemplo.
${log_5\underbrace{{(2x + 4)}} = log_5\underbrace{{(3x + 1)}}}$
${2x + 4 = 3x + 1} ⇔ {2x – 3x = 1 – 4}$
${-x = -3} ⇔ {-x\cdot{(-1)} = -3\cdot{(-1)}}$
${x = 3} ⇔ {S = \{3\}}$
II)Igualdade entre um logaritmo e um número.
${log_a{x} = n} ⇔ {a^n = x}$
Exemplo.
${log_3{(5x + 2)} = 3} ⇔ {5x + 2 = 3^3}$
${5x + 2 = 27} ⇔ {5x + 2 – 2 = 27 – 2}$
${5x = 25} ⇔ {{{5x}\over 5} = {25\over 5}}$
${ x = 5}$
${S = \{5\}}$
III)Equação logarítmica cuja solução depende de mudança de variável.
${(log_4{x})^2 – 3(log_4{x}) = 4}$
Fazendo ${log_4{x} = y}$ e substituindo na equação, fica:
${y^2 -3\cdot y = 4} ⇔ {y^2 – 3y – 4 = 0}$
Temos agora uma equação do segundo grau, cuja solução nos dará as respostas procuradas.
${a = 1; b = -3; c = -4}$
O discriminante será: ${Δ = {b^2 – 4\cdot{a}\cdot {c}}}$
${Δ = {{(-3)}^2 – 4\cdot {1}\cdot{-4}}}$
${Δ = {9 + 16}} ⇔ {Δ = 25}$
Na fórmula de Bhaskara:
${y = {{-{(-3)}\pm\sqrt{(25)}}\over{2\cdot 1}}}$
${y = {{+ 3\pm 5}\over 2}}$
${y’ = {{3 + 5}\over 2}} ⇔ { y’ = {8\over2}} ⇔ {y’ = 4}$
${y” = {{3 – 5}\over 2}} ⇔ {y” = {{- 2}\over 2}} ⇔ {y” = -1}$
Começamos fazendo ${log_4{x} = y}$. Agora podemos determinar ${x}$, substituindo${y}$ pelos valores determinados.
${log_4{x} = 4} ⇔ {x = 4^4} ⇔ {x = 256}$
${log_4{x} = -1} ⇔ { x = 4^{-1}} ⇔ {x = 1/4} $
${S = \{{1/4}; 256\}}$
IV)Usando as propriedades dos logaritmos na solução de equações.
${\underbrace{log(2x + 3)} + \underbrace{log(x + 2)} = \underbrace{2\cdot logx}}$
Vimos que o logaritmo de um produto é igual à soma dos logaritmos na mesma base. Também o logaritmo de uma potência é igual ao produto do expoente pelo logaritmo na mesma base. Logo:
${log\underbrace{{{(2x + 3)}\cdot {(x + 2)}}} = \underbrace{log x^2}}$
${log\underbrace{{(2x^2 + 7x + 6)}} =\underbrace{log x^2}}$
Para igualdade de logaritmos de mesma base, temos que os logaritmandos são iguais. Então:
${2x^2 + 7x +6 = x^2}$
${2x^2 + 7x + 6 – x^2 = 0} ⇔ {x^2 + 7x +6 = 0}$
Equação do segundo grau. Os coeficientes são:
${a = 1}; { b = 7}; {c = 6}$
Discriminante: ${Δ = b^2 – 4\cdot{a}\cdot{c}}$
${Δ = 7^2 – 4\cdot {1}\cdot {6}}$
${Δ = 49 – 24 } ⇔ {Δ = 25}$
Aplicando Bhaskara: ${ x = {{-{+7}\pm\sqrt{25}}\over{2\dot {1}}}}$
${x = {{-7\pm 5}\over 2}}$
${x’ = {{-7+ 5}\over 2}} ⇔ {x = -2/2} ⇔ {x = -1}$
${x” ={{-7 – 5}\over 2}} ⇔ {x = {-12}/2} ⇔ {x = -6}$
Na substituição de x pelos valores encontrados, teremos nos dois casos logaritmandos negativos (b<0) o que torna o logaritmo inexistente. Portanto o conjunto solução será:
${S = \{ \}}$ ou ${S = Ø}$
V)${log_{1/5}{log_{1/2}{x} = -1}}$
${log_{1/2}{x} = {(1/5)}^{-1}}$
${log_{1/2}{x} = 5} ⇔ {x = {(1/2)}^5} ⇔ { x = {1\over{32}}}$
${S = {1\over{32}}}$
Espero que tenham sido abordados os principais casos de resolução de equações. Abaixo seguem alguns exercícios para seu treino. Se surgirem dúvidas, não hesite. Faça contato e peça ajuda.
Resolver as equações logarítmicas que seguem.
a)${log_7{(3x – 5)} = log_7{(2x + 1)}}$
b)${log_5{{(2x – 1)}\cdot {(x + 5)}} = log_5{{(x – 3)}\cdot{(x + 7)}}} $
c)${log_4{(x – 3)} = log_4{(-x + 7)}}$
d)${log_{(0,2)}{(3x -2)} = -1}$
e)${2^{log_3{log_2{x}}} = {1\over2}}$
f)${M_w = -10,7 + {{2\over 3}\cdot{log_{10}{M_0}}}}$, considere ${M_w = 7,3}$
g)${log_a{(5 – 3x)} = log_a{(4x + 19)}}$
h)${(log_{0,4}{(x)})^2 – 5(log_{0,4}{(x)}) = -6}$
i)${log_{1\over3}{(log_{1\over5}{x})} = – 1}$
j)${log_{0,3}{(log_{0, 2}{y})} = -2}$
k)${log{(x – 5)} + log{(x – 3)} = 2\cdot{logx}}$
Curitiba, 11 de julho de 2018
Décio Adams
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