Categoria: Potenciação

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044.1 – Matemática, álgebra – Produtos notáveis – Cubo da diferença

**– É a vez do Cubo da Diferença de dois números**

Para manter a continuidade, vamos considerar os mesmos números (letras) e desenvolver o produto.

$\underbrace{( a – b )^3} $

Novamente desmembramos numa multiplicação de potências de mesma base.

$\underbrace{( a – b )^2} {\overbrace{(a – b)}} $

$\underbrace { (a^2 – 2ab + b^2)}\cdot\overbrace{( a – b )} $

$a^2{a} – 2a^2b + ab^2 + a^2{(-b)} – 2ab{(-b)} + b^2{(-b)}$

$ a^{3} – 2a^{2}b + ab^{2} – a^{2}b +2ab^{2} – b^{3} $

Agrupando os termos semelhantes e somando os coeficientes:

$ a^{3} +\underbrace {- 2a^{2} b – a^{2}b} +\overbrace{ ab^{2} + 2ab^{2}} – b^{3} $

$ a^{3} – 3a^{2}b + 3ab^{2} – b^{3} $

Se compararmos esse polinômio com o que foi obtido no caso do cubo da soma de dois números, veremos que eles são exatamente iguais, exceto dois sinais (-) no segundo e quarto termos. Assim, podemos escrever a regra.

“O cubo da diferença entre dois números é dado pelo cubo do primeiro termo, menos o triplo do produto entre o quadrado do primeiro e o segundo termo, mais o triplo do produto do primeiro termo pelo quadrado do segundo, menos o cubo do segundo termo”.

Para lembrar mais facilmente.

A ordem dos expoentes nas variáveis segue a mesma sequência do cubo da soma, apenas os termos pares (segundo e quarto), tem um sinal (-) negativo.

Para aplicar a regra, vamos a um exemplo.

$ {( ax – by)}^{3} $

O primeiro termo é ax e o segundo termo é by. Vamos agora aplicar a regra

O cubo do primeiro termo é

${(ax)}^{3} $

$ {a^{3}x^{3}} $

O triplo do quadrado do primeiro multiplicado pelo segundo termo é

$ {3{(ax)}^{2}{(by)}}$

$ {3a^{2}bx^{2}y }$

O triplo do primeiro termo multiplicado pelo quadrado do segundo é

$ {3ab^{2}xy{2} }$

O cubo do segundo termo é

$ {(by)} ^{3} $

$b^{3}y^{3} $

Escrevendo na ordem correta e aplicando os sinais teremos

${ a^{3}x^{3} – 3 a^{2}bx^{2}y + 3ab^{2}xy^{2} – b^{3}y^{3} }$

Hora de exercitar. Não podemos esquecer disso.

Desenvolver os cubos das diferenças.

a)$ {(3x – 4y)^{3}}= ?$

b) ${(pq – 2r)^{3}}= ?$

c) ${(uv – 3z)^{3}}= ?$

d) ${(3i – 2j)^{3}}= ?$

e) ${(5x – 7y)^{3}} = ?$

f) ${(2x – 5xy)^{3}}= ?$

g) ${(7m – 3n)^{3}}= ?$

h) ${(5x – 4y)^{3}}=?$

Curitiba, 20 de junho de 2018

Décio Adams

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044.0 – Matemática, álgebra – Produtos notáveis – Cubo da soma de dois números

Agora o bicho vai pegar

Vamos avançar mais um pouco com os produtos notáveis. Nem todos os livros apresentam esses tópicos, mas vale a pena conhecer, se você deseja ir um pouco mais longe, desenvolver mais suas aptidões.

**– Vamos ver o Cubo da Soma de dois números**

Os dois números, serão novamente representados por duas letras. Para manter a sequência adotada nos primeiros três casos, vamos usar novamente as letras a e b para isso.

$\underbrace{( a + b)^3} $

Podemos separar a potência de expoente 3 em um produto de potências de mesma base. Uma com expoente 2 e outra com expoente 1. Assim:

$\underbrace{( a + b)^2}{\overbrace{(a + b)}} $

Como já sabemos o resultado do quadrado da soma, podemos agora fazer a multiplicação do trinômio quadrado perfeito resultante, pela soma dos números a e b.

$\underbrace{ (a^2 + 2ab + b^2)}\cdot\overbrace{(a + b)} $

${(a^2)}{a} + {(2ab)}{a} +{(b^2)}{a} + {(a^2)}{b} + {(2ab)}{b} + {(b^2)}{b} $

${a^3} + {2a^{2}b} + {b^2}a + {a^{2}b} + {2ab^{2}}+ {b^3}$

Temos agora um polinômio com seis termos, onde existem dois pares de termos semelhantes. Vamos agrupar estes termos e depois efetuar a adição de seus coeficientes numéricos.

${a^3} +\underbrace{ 2a^{2}b + a^{2}b} +\overbrace{ 2ab^{2} + ab^{2}} + {b^3} $

$ {a^3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b{^3}$

O resultado é um polinômio de quatro termos e podemos enunciar a regra para sua obtenção da seguinte maneira:

“O cubo da soma de dois números é igual ao cubo do primeiro termo, mais o triplo do produto entre o quadrado do primeiro termo e o segundo termo, mais o triplo do produto do primeiro termo, pelo quadrado do segundo, mais o cubo do segundo termo”.

Para lembrar mais facilmente.

Na parte literal a variável do primeiro termo tem o expoente 3 no primeiro termo, expoente 2 no segundo termo, expoente 1 no terceiro termo e expoente 0 no quarto termo. A variável do segundo termo segue o inverso, isto é, seus expoentes estão em ordem crescente.

Vejamos um outro exemplo para resolver, aplicando essa regra.

${( 2x + 3y)}^3 $

Para facilitar, vamos por partes. O primeiro termo é 2x e o seu cubo é

$ {(2x)}^3 $

$ {8 x^3} $

O triplo do quadrado do primeiro, multiplicado pelo segundo termo será:

$ {3\cdot{(2^{2}x^{2})}{(3y)}} $

$ {36 x^{2}y}$

O triplo do primeiro termo, multiplicado pelo quadrado do segundo será:

$ {3\cdot{2x}\cdot{(3^{2}y^{2})}}$

$ {54xy^{2}} $

O cubo do segundo termo será

${(3y)}^3$

$ {27y^3}$

Falta apenas escrever os termos na ordem correta, para terminar:

$ 8x^3 + 36 x^{2}y + 54xy^{2} + 27y^3 $

Podemos dizer que esse polinômio de quatro termos é um cubo perfeito.

Aos exercícios. Efetue os cubos das somas a seguir.

a)${(5 + 2xy)^3}= ?$

b)${(3m + 5a)^3}= ?$

c)${(4x + 3y)^3}= ?$

d)${(uv +yz)^3}= ? $

e)${(2 + 3h)^3}= ? $

f)${(5x + 2by)^3}= ?$

g}${(7 + 3x)^{3}}= ?$

h} ${(6n + 3mx)^{3}}= ?$

Curitiba, 21 de junho de 2018

Décio Adams

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043.2 – Matemática, álgebra – Produtos notáveis. Produto da soma de dois números pela sua diferença.

– Produto da soma de dois números pela sua diferença

Sejam os números representados pelas letras a e b. A soma será (a + b) e a diferença será (a – b). Vamos multiplicar o binômio soma pelo binômio diferença.

${\underbrace{(a + b)} }\cdot {\underbrace{(a – b)}} $

${a}{a} + {a}{(-b)} + {b}{a} + {b}{(-b)} $

${ a^2 – ab + ab – b^2}$

$ {a^2 – b^2}$

Admitamos que sejam dados para $a$ e $b$ os valores:

${ a = 7}$

${ b = 3}$

Substituindo na multiplicação, temos:

${\underbrace{(7 + 3)}}\cdot{\underbrace{(7 – 3)}}$

${\underbrace{10 \cdot 4} = 40}$

Substituindo na diferença entre os quadrados:

${a^2 – b^2}$

${7^2 – 3^2}$

${\underbrace{49 – 9} = 40}$

NOTA: Percebemos que o resultado é exatamente igual, não importando se usamos a substituição dos valores das variáveis (letras) na multiplicação e efetuamos ou se usamos a diferença entre os quadrados.

Notamos que os dois termos semelhantes, são simétricos e por isso sua soma é igual a zero, isto é, se anulam. O resultado é um binômio diferença entre os quadrados dos dois números.

“O produto da soma de dois números pela sua diferença, é igual à diferença entre seus quadrados”.

Poderíamos também dizer: O produto da soma pela diferença de dois números é igual ao quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo termo”.

Vamos exercitar um pouco.

a) $ {\underbrace{(mn + n)}}\cdot{\underbrace{(mn – n)}} $

$ {{(mn)}^2 – n^2 }$

${ m^{2}n^{2} – n^2 }$

b) $\underbrace {(7 – 3x)}\cdot{\underbrace {(7 + 3x)}} $

$ {{7}^2 – {(3x)}^2 }$

${ 49 – 9x^2 }$

c) $\underbrace {(4x + 3z)}\cdot{\underbrace{(4x – 3z)}} $

${(4x)}^2 – {(3z)}^2 $

${ 16x^2 – 9z^2 }$

d) $ \underbrace{( 1 + ab)}\cdot{\underbrace{( 1 – ab)}} $

$ {1^2 -{(ab)}^2 }$

${ 1 – a^{2}b^{2} }$

Resolva os produtos das somas pelas respectivas diferenças entre dois números, aplicando a regra.

a)${(2a + 3b)}{(2a – 3b)}= ?$

b)${(mn – 5)} {(mn + 5)}= ?$

c)${(3ax + 2by)}{(3ax – 2by)}= ?$

d)${(mx + ny)}{(mx – ny)}= ?$

e)${(7 – 5b)}{(7 + 5b)}= ?$

f)${(6az + 3by)}{(6az – 3by)}= ?$

g)${(3bp + 5br)}{(3bp – 5br)}= ?$

h)${(5qp – 7rp)}{(5qp + 7rp)}= ?$

Curitiba, 09 de junho de 2018.

Décio Adams

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043.1 – Matemática, Álgebra – Produtos notáveis, quadrado da diferença de dois números

– Quadrado da diferença de dois números

A mesma coisa que acontece no caso da soma, também ocorre com a diferença. Os números são representados por letras, formando no final a multiplicação de dois binômios iguais. Seja o exemplo:

$\underbrace{( a – b)^2} $

A letra $a$ é o primeiro termo e a letra $b$ é o segundo termo da diferença.

$\underbrace{( a – b)}\cdot{\underbrace{(a – b)}} $

Cada termo do primeiro fator é multiplicado por todos os termos do segundo fator. O que resulta em:

$\underbrace{{a}\cdot {a}} + \underbrace{ {a}\cdot {(-b) }} + \underbrace{{(-b)}\cdot {a}} + \underbrace{{-b}\cdot{b}} $

$ a^\underbrace{(1+ 1)} \underbrace{- ab – ba} + b^\underbrace{(1 + 1)} $

${ a^2 – 2ab + b^2} $

Os dois termos (- ab) e (-ba), são semelhantes, pois a ordem dos fatores pode ser alterada sem causar problemas no resultado. Basta aplicar a propriedade comutativa da multiplicação. Assim passamos a ter que:

“O quadrado da diferença entre dois números é igual ao quadrado do primeiro termo, menos o duplo produto (dobro) do primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo”.

Bom como lembrete!

Também aqui os expoentes das partes literais seguem a mesma sequência como acontece no quadrado da soma. A única diferença é que os sinais que precedem os termos, são alternadamente +, – e +. Isso facilita a recordação do resultado de um produto notável desse tipo.

Expoentes de $a$: $2 > 1 > 0$$\Rightarrow$ ordem decrescente

Expoentes de $b$: $ 0 < 1 < 2$$\Rightarrow$ ordem crescente

Se tivermos para $a$ o valor $7$ e para $b$ o valor $2$ e substituirmos na forma da diferença e na forma de trinômio quadrado, teremos:

${(a – b)}^2$

${(7 – 2)^2} = 5^2 = 25$

$ a^2 – 2ab + b^2 $

$ 7^2 – 2\cdot{7}\cdot{2} + {2}^2$

$ 49 – 28 + 4 = 21 + 4 = 25$

NOTA: Percebemos que o resultado é o mesmo.

Vamos exercitar:

a) $\underbrace{(x – y)^2}$

O primeiro termo é a letra $x$ e o segundo termo é a letra $y$.

$\underbrace{(x – y )}\cdot\underbrace{(x – y)}$

$ {x^2 – 2xy + y^2}$

b) $\underbrace{(3x – 2y)^2}$

O primeiro termo é $3x$ e o segundo termo é $2y$.

$\underbrace{3x – 2y}\cdot{\underbrace{3x – 2y}}$

${(3x)}^2 – \underbrace{ 2\cdot {(3x)}{(2y)}} +{(2y)}^2$

$ {9x^2 – 12xy + 4y^2} $

c) $\underbrace{(ab – bc)^2}$

O primeiro termo é $ab$ e o segundo termo é $bc$.

$\underbrace{(ab – bc)}\cdot\underbrace {(ab – bc)} $

${(ab)}^2 – \underbrace{ 2\cdot{(ab)}{(bc)}} + {(bc)}^2 $

$ {a^{2}b^{2} – 2ab^{2}c + b^{2}c^{2} }$

d) $\underbrace{(5 – 2a)^2}$

$\underbrace {(5 – 2a)}\cdot{\underbrace{(5 – 2a)}}$

$ {5^2 -\underbrace{ 2\cdot 5\cdot{2a}} + {(2a)}^2}$

${ 25 – 20a + 4a^2 }$

Obs.: Note que tanto o quadrado da soma como da diferença, resulta sempre em um trinômio, onde há dois termos que são quadrados e um termo que representa o produto dos dois termos. Costumeiramente esses trinômios recebem o nome de Trinômio quadrado perfeito. Voltaremos a falar neles em outro momento, ou seja por ocasião da fatoração.

Resolva aplicando a regra acima, os quadrados das diferenças entre dois números da seguinte sequência.

a)${(5ax – 3bx)}^2= ?$

b)${(Axy – Byz)}^2= ?$

c)${(4rp^2 – 3pq)}^2= ?$

d)${(5xy^3 – 3xy^2)}^2= ?$

e)${(mz – my)}^2= ?$

f)${(2aj – 3bj)}^2= ?$

g)${(6gx – 7gy)}^2= ?$

h)${(3my – 4n)}^2= ?$

Curitiba, 09 de junho de 2018

Décio Adams

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11 de janeiro de 20184 de julho de 2020

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01.066 – Matemática, Álgebra. Inequações 2º Grau – Exercícios

Hora de treinar a cuca!

Vamos determinar o conjunto verdade de algumas inequações do segundo grau, fazendo o estudo de sua variação de sinais em relação às raízes.

a) $\color{navy}{ -5x^2 + 25x + 70 \lt 0 }$

Vamos começar por identificar os coeficientes numéricos, comparando com a forma geral. Temos que $ a = -5 $, $ b = 25 $ e $ c = 70 $.

Para facilitar os cálculos, iremos dividir todos os termos por $-5$, simplificando e teremos \[\frac{-5x^2}{-5} + \frac{25x}{-5} + \frac{70}{-5} \lt 0\] \[x^2 – 5x – 14 \lt 0\] Agora os coeficientes passam a ser $ a = 1$, $b = -5$ e $c = -14$. É o momento de determinar o discriminante \[\bbox[grey,5px,border:2px solid brown]{\color{maroon}{\Delta = b^2 – 4\cdot a \cdot c}} \] \[\Delta = {(-5)^2 – 4\cdot 1\cdot (-14)}\] \[\Delta = 25 + 56 \] \[\Delta = 81\] O discriminante é positivo e portanto teremos duas raízes reais e diferentes que tornarão a expressão igual a zero. Calculando as raízes \[\bbox[grey,5px,border:2px solid red]{\color{maroon}{ x = {{-b\pm\sqrt \Delta}\over{2a}}}} \] \[ x = {{-(-5)\pm\sqrt{81}}\over {2\cdot 1}} \] \[x= {{5\pm 9}\over 2}\] \[x’ = {{5 + 9}\over 2} = {14\over 2} = 7\] \[ x” = {{5 – 9}\over 2} = {-4\over 2} = -2\]

Temos pois para valores que anulam a expressão em $x$ os números $-2 $ e $7$. Vejamos como fica o comportamento na Reta Real.

\[\underbrace{\color{navy}{-\infty\leftarrow =========}}{-2}\circ\underbrace{————-}{7}\circ\underbrace{\color{navy}{============\rightarrow\infty}}\]

Vimos que para valores externos das raízes, isto é, nesse caso para $x \lt -2$ ou $x \gt 7$ a expressão terá o mesmo sinal do coeficiente $a$ na inequação em sua forma original, sem simplificação. Vimos acima que $a = -5$ ou seja $ a \lt 0$, o que nos leva à conclusão de que o sinal será negativo para esses valores. Já para os valores compreendidos entre $ -2 $ e $7$, a expressão terá o sinal contrário de $a$, portanto positivo. Assim deduzimos que o conjunto verdade dessa inequação é dado por: \[\bbox[silver, 5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{ V = \{ x \in R | x \lt -2 \vee x \gt 7\}}} \]

b)$\color{navy}{ 3x^2 + 15x -72 \ge 0}$

Identificamos os coeficientes $ a = 3$, $b = 15$ e $c = -72$. Observando esses valores, percebemos que é possível simplificar a expressão, dividindo todos os termos por $3$, o que nos dá \[\frac{3x^2}{3} +\frac{15x}{3} – \frac{-72}{3} \] \[ x^2 + 5x – 24 \ge 0\] Temos agora os novos coeficientes $ a= 1$, $b = 5 $ e $c = -24$. Vamos determinar o discriminante. \[\bbox[yellow,5px,border:2px solid brown]{\color{maroon}{\Delta = b^2 – 4\cdot a \cdot c}} \] \[ \Delta = 5^2 – 4\cdot 1\cdot {-24} \] \[\Delta = 25 + 96 \] \[\Delta = 121\] Temos novamente $\Delta \gt 0$ e em consequência duas raízes reais e diferentes.

\[\bbox[lime,5px,border:2px solid brown]{\color{maroon}{ x = {{-b\pm\sqrt \Delta}\over{2a}}}} \] \[x = {{- 5\pm\sqrt{121}}\over{2\cdot 1}}\] \[x= {{-5\pm{11}}\over 2}\] \[x’ = {{-5 + 11}\over 2} = {6\over 2} = 3 \] \[x” = {{-5 – 11}\over 2} ={-16\over 2} = -8\] Lançando esses valores na Reta Real, fica:

\[\underbrace{\color{lime}{-\infty\leftarrow ============(-8)\bullet}}\underbrace{———-}\underbrace{\color{lime}{3\bullet============\rightarrow\infty}}\]

As raízes $-8$ e $ 3$ anulam a expressão, enquanto os valores externos tornam a expressão positiva, por ter no mesmo sinal de $a$. Os valores internos tornarão a expressão negativa, que é o sinal contrário de $a$. Como a inequação é $\ge 0$, o conjunto verdade será também dado por:

\[\bbox[silver,5px,border: 2px solid blue]{\color{navy}{V=\{ x \in R| x\le -8 \vee x \ge 3\}}} \]

c)$\color{blue} {x^2 -13x + 42 \le 0}$

Os coeficientes numéricos são $a=1$, $b= -13$ e $c = 42$. Notamos que agora não há simplificação a ser feita, pois o coeficiente $a =1$ e a expressão está na sua forma mais simples. Vejamos o discriminante:\[\bbox[yellow,5px,border:2px red solid]{\color{maroon}{\Delta = b^2 – 4\cdot a \cdot c}} \] \[\Delta=(-13)^2 – 4\cdot 1\cdot 42 = 169 – 168 = 1\] Temos então que $\Delta \gt 0$ e novamente as raízes são reais e diferentes. \[\bbox[lime,5px,border:2px solid red]{\color{maroon}{ x = {{-b\pm\sqrt \Delta}\over{2a}}}} \] \[x={{-(-13\pm\sqrt{1}}\over{2\cdot 1}}\] \[x = {{13\pm 1}\over 2}\] \[x’= {{13 + 1}\over2} = {14\over 2} = 7\] \[x”={{13 – 1}\over 2} = {12\over 2} = 6 \] Lançando os valores $6$ e $7$ na Reta Real, teremos:

\[\underbrace{-\infty\leftarrow —————-}\underbrace{\color{lime}{6\bullet========7\bullet}}\underbrace{———————-\rightarrow\infty}\]

Para valores de $x$ a esquerda de $6$ ou a direita de $7$, a expressão será positiva, isto é, o mesmo sinal de $a$, que é positivo. Para valores internos do intervalo $6$ e $7$, a expressão será negativa, o sinal contrário de $a$. Assim sendo, a desigualdade da inequação é $\le$, o conjunto verdade será formado pelos números entre $6$ e $7$, inclusive.

\[\bbox[silver, 5px, border:2px solid blue]{\color{navy}{V = \{x \in R| 6 \le x \le 7\}}}\]

d)$\color{blue}{ 3x^2 – 18x + 72 \gt 0} $

Notamos que é possível simplificar a expressão, pois todos os coeficientes são múltiplos de $3$. Então \[\frac{3x^2}{3} – \frac{18x}{3} + \frac{72}{3} \] \[ x^2 – 6x + 24 \gt 0\]

Agora os nossos coeficientes são $a = 1$, $b = -6$ e $c = 24$. Vamos ao discriminante.

\[\bbox[yellow,5px,border:2px red solid]{\color{maroon}{\Delta = b^2 – 4\cdot a \cdot c}} \] \[ \Delta = {(-6)^2}\cdot 1\cdot {24} = 36 – 96 = -60\] Consequentemente constatamos que $\Delta \lt 0$, o que nos leva a conclusão de que nenhum número real tornará a expressão igual a zero. Como fica a inequação? Não temos ponto de referência para dizer que a expressão será positiva ou negativa para esse ou aquele valor. Vamos escolher três valores, sendo um negativo, o próprio zero e um positivo, substituindo e verificando o resultado. Sejam esses números $-3$, $0$ e $5$.

Para $x = -3$, teremos \[3x^2 -18x + 72 \gt 0\] \[ 3\cdot (-3)^2 – 18\cdot{(-3)} + 72 \gt 0\] \[{3\cdot 9} + 54 + 72 \gt 0 \] \[ 27 + 54 + 72 \gt 0\] \[ 153 \gt 0\] Esta sentença é verdadeira.

Para $x = 0$, teremos \[3\cdot 0 – 18\cdot 0 + 72 \gt 0\] \[ 0 + 0 + 72 \gt 0\] \[ 72 \gt 0\] Esta sentença é verdadeira.

Para $x = 5$, teremos \[3\cdot 5^2 – 18\cdot 5 + 72 \gt 0\] \[ 3\cdot 25 – 90 + 72 \gt 0\] \[75 – 90 + 72 \gt 0\] \[147 – 90 \gt 0\] \[ 57 \gt 0\] Sentença verdadeira.

Vamos escolher mais um número negativo e dois positivos, para sanar qualquer dúvida. $-5$, $2$ e $7$.

Para $x=-5$, teremos \[3\cdot (-5)^2 – 18\cdot(- 5) + 72 \gt 0\] \[3\cdot 25 + 90 + 72 \gt 0\] \[75 +90 + 72 \gt 0\] \[ 237 \gt 0\] Sentença verdadeira.

Para $x = 2$, teremos \[3\cdot 2^2 – 18\cdot 2 + 72 \gt 0 \] \[3\cdot 4 – 54 + 72 \gt 0\] \[ 12 – 54 + 72 \gt 0\] \[30 \gt 0\] Sentença verdadeira.

Para $x = 7$, teremos \[3\cdot 7^2 – 18\cdot 7 + 72 \gt 0\] \[3\cdot 49 – 126 + 72 \gt 0\] \[147 – 126 + 72 \gt 0 \] \[93 \gt 0\] Sentença verdadeira.

Fica evidenciado que para qualquer número real colocado no lugar de $x$ nessa inequação, o resultado é uma sentença verdadeira. Podemos concluir que o conjunto verdade é então o próprio conjunto dos números reais.

\[\bbox[silver,5px,border:2px solid blue]{\color{navy}{ V = R}}\]

Se a mesma inequação tivesse o sinal de desigualdade $\lt $ no lugar de $\gt$, essas sentenças todas seriam falsas e portanto o conjunto verdade da inequação seria um conjunto vazio. Assim

\[3x^2 – 18x + 72 \lt 0\] \[\bbox[silver,5px,border:2px solid blue]{\color{navy}{ V = \emptyset}}\] O mesmo aconteceria se tivéssemos os sinais de desigualdade $\ge$ ou $\le$, uma vez que teríamos a conjunção alternativa $\vee$, que tornaria as sentenças igualmente verdadeiras. É interessante notar que nestes casos o sinal da expressão é sempre igual ao sinal de $a$. Se $a\lt 0$, a expressão será sempre negativa, para qualquer número $x \in R$. Se $a \gt 0$, a expressão será positiva para qualquer valor de $x \in R$.

Agora é a sua vez de praticar. Analise os sinais das inequações e determine o conjunto verdade em cada caso.

a) $\color{navy}{x^2 – 17x + 70 \le 0}$

b) $\color{navy}{2x^2 + 4x – 48 \ge 0}$

c) $\color{navy}{ x^2 – 5x – 36 \gt 0} $

d)$\color{navy}{ 3x^2 – 108 \lt 0}$

e) $\color{navy}{5x^2 – 35x \lt 0}$

f)$\color{navy}{ 4x^2 – 12x + 44 \gt 0}$

g) $\color{navy}{5x^2 + 110 \ge 3x^2 + 14x} $

h)$\color{navy}{ 6x^2 + 54 \le 0} $

i) $\color{navy}{4x -9 \gt x^2 }$

j) $\color{navy}{x^2 – 19x + 88 \lt 0}$

l) $\color{navy}{ 7x^2 + 28x \gt 0}$

m) $\color{navy}{{\frac{2}{3}}x^2 -\frac{3}{5} \le 0} $

Obs.: Se tiver dúvida sobre a resolução de algum desses exercícios, faça contato comigo. Estes eu não vou resolver logo em seguida. Legal? Procure se virar nos trinta, meu!

Curitiba, 10 de junho de 2016

Revisado e republicado em 11 de janeiro de 2017.

Décio Adams

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11 de janeiro de 20183 de julho de 2020

01.065 – Matemática, Álgebra. Inequações 2º Grau (Cont. II)

Mais um pouco desse assunto.

No último post analisamos as inequações que têm apenas um valor que torna nula a expressão. Creio que nem é necessário falar daquelas em que as raízes não pertencem ao conjunto dos Reais. Vamos ver como ficam as incompletas, do tipo

\[\bbox[4px,border:2px solid maroon]{\color{Blue}{ ax^2 + bx \not = 0}}\]
\[\bbox[4px,border:2px solid maroon]{\color{Blue}{ ax^2 + c \not= 0}}\]

Para começar vamos estudar a inequação

\[\bbox[4px,border:2px solid maroon]{\color{Blue}{ 2x^2 – 32 \lt 0}}\]. Não temos o termo com a variável $\color{Navy}{x}$ apresentando o expoente $\color{Navy}{1}$. Portanto podemos resolver a questão, pelo método abreviado.

Continue lendo “01.065 – Matemática, Álgebra. Inequações 2º Grau (Cont. II)”

7 de janeiro de 20182 de julho de 2020

01.062 – Matemática, Álgebra. Inequações do 1º grau – Exercícios resolvidos.

Vamos “malhar”?

Determine o conjunto verdade das inequações a seguir.
$\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{blue}{ 4x – 7 \lt 2x + 1}} $

Observamos que há termos com a variável $x$ tanto no primeiro como no segundo membro da inequação. Igualmente termos independentes da variável. Para obtermos a solução precisamos deixar a variável no primeiro membro e os termos independentes no segundo. Isso fazemos adicionando os simétricos em ambos os lados. Assim:

\[{4x – 7} \lt {2x + 1} \]

\[ \underbrace{\color{blue}{( 4x – 2x)}} +\underbrace{\color{maroon}{ (- 7 + 7) }} \lt \underbrace{\color{blue}{ (2x – 2x)}} + \underbrace{\color{maroon}{( + 1 + 7) }} \]

\[2x + 0 \lt 0 + 8 \] \[{ 2x } \lt { + 8} \]

Para concluir, vamos dividir ambos os membros pelo fator $2$, o que nos deixará a variável $x$ isolada no primeiro membro da inequação. Não há necessidade de mudança de sentido, pois ambos os termos são positivos.

\[ \frac{2x}{2} \lt \frac{+8}{2} \]

\[ x \lt 4 \]

Portanto

\[\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy} {V} = \color{navy}{\{ x\in R | x \lt +4 \}}}\]

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$\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{blue}{ 11 + 3x \gt – 8}} $

Vamos isolar $x$ no primeiro membro, adicionando $ – 11$ aos dois membros da inequação.

\[\overbrace{\color{maroon}{ (11 – 11)}} + 3x \gt \overbrace{\color{maroon}{ (-8 -11)}} \] \[ 0 + 3x \gt – 19 \] \[ {3x} \gt {- 19} \]

Dividindo ambos os membros por $3$, iremos isolar $x$ no primeiro membro.

\[ \frac{ (3x) }{ 3 } \gt \frac { (-19) }{ 3 } \] \[x \gt {(-19/3)} \]

\[\bbox[4px,border:2px solid brown]{\color{navy} { V = \left\{ x \in R | x \gt \left(-\frac {19}{3}\right)\right \}}} \]

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$ \bbox[4px,border:2px solid brown]{\color{navy}{- 6 + 2x \ge 3x + 1}}$

Temos que adicionar $\color{brown}{+6}$ e $\color{brown}{-3x}$ a ambos os membros da inequação, para isolar a variável $\color{brown}{x}$ no primeiro membro.

\[ \underbrace{\color{maroon}{ (- 6 + 6)}} +\underbrace{\color{blue}{(2x – 3x)}} \ge \underbrace{\color{blue}{(3x – 3x)}} + \underbrace{\color{maroon}{(1 +6)}}\]

\[ 0 – x \ge 0 + 7 \] \[ {-x} \ge 7 \]

Multiplicamos por $\color{brown}{ -1}$ para deixar $\color{brown}{x}$ com sinal positivo, invertendo dessa maneira a desigualdade.

\[{-x}\cdot {(-1)} \ge {+7}\cdot {(-1)}\] \[ x \le (-7) \]

\[\bbox[4px,border:2px solid brown]{\color{navy}{V = \{ x \in R | x \le (-7) \}}}\]

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$\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{ 6 \le 5 – 3x}} $

Para trazermos a variável para o primeiro membro, adicionamos seu simétrico $\color{brown}{3x}$, bem como o simétrico $\color{brown}{-6}$ do termo independente. Obtemos assim:

\[ \underbrace{\color{maroon}{(6 – 6)}} + 3x \le \underbrace{\color{maroon}{ (5 – 6)}} + \underbrace{\color{blue}{(-3x + 3x)}} \]

\[ 0 + 3x \le -1 + 0 \] \[ 3x \le -1 \]

Dividindo por $\color{brown}{3}$ ambos os membros, temos:

\[ \frac{3x}{3} \le \frac{(-1)}{3} \]

\[ x \le \left(-{\frac{1}{3}}\right) \]

\[\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{ V = \left\{ x \in R | x \le \left({-\frac{1}{3}}\right) \right\}}} \]

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$\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{ 3y + 4 \le 7 – y}} $

Adicionando a ambos os membros da inequação os simétricos $\color{brown}{ -4}$ e $\color{brown}{+y}$, teremos:

\[ \underbrace{\color{blue}{(3y + y) }} + \underbrace{\color{maroon}{(4 – 4)}} \le \underbrace{\color{maroon}{(7 – 4)}} + \underbrace{\color{blue}{(-y + y)}} \]

\[ 4y + 0 \le 3 + 0 \]

\[ 4y \le 3 \]

Dividindo ambos os membros por $\color{brown}{4}$, teremos:

\[ \frac{4y}{4} \le \frac{3}{4} \]

\[ y \le \left(\frac{3}{4}\right) \]

\[\bbox[4px,border:2px solid brown]{\color{navy}{ V = \left\{ x \in R | x \le \left({\frac{3}{4}}\right)\right\}}}\]

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$\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{blue}{ 15 – 4x \lt 11 + x}}$

Começamos por adicionar aos dois membros os simétricos $\color{brown}{-x}$ e $\color{brown}{-15}$.

\[\underbrace{\color{maroon}{(15 – 15)}} + \underbrace{\color{blue}{(-4x – x)}} \lt \underbrace{\color{maroon}{(11 – 15)}} + \underbrace{\color{blue}{(x – x)}} \]

\[ 0 – 5x \lt -4 + 0 \] \[ -5x \lt -4 \]

Dividindo ambos os membros por $\color{brown}{-5}$, isolamos $\color{brown}{x}$ e invertemos a desigualdade de $\color{brown}{\lt}$ para $\color{brown}{\gt}$.

\[\frac{-5x}{-5} \lt \frac{-4}{-5} \] \[ x \gt \left(\frac{4}{5}\right) \]

\[\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{ V = \left\{ x \in R | x \gt \left(\frac{4}{5}\right) \right\}}}\]

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$\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{blue}{ 6x + 5\gt 4x – 7}}$

Para isolarmos $\color{brown}{x}$ no primeiro membro, temos que adicionar aos dois os simétricos de $\color{brown}{4x}$ e $\color{brown}{5}$, ficando assim:

\[\underbrace{\color{blue}{6x -4x}} + \underbrace{\color{maron}{ 5 – 5}} \gt \underbrace{\color{blue}{4x – 4x}} + \underbrace{\color{maroon}{(-7 – 5)}} \]

\[ 2x + 0 \gt 0 – 12 \] \[ 2x \gt -12 \]

Dividimos por $\color{brown}{2}$ ambos os membros e teremos:

\[ \frac{2x}{2} \gt \frac{-12}{2} \] \[ x \gt -6 \]

\[\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{ V = \{ x \in R | x \gt – 6 \}}} \]

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$\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{blue}{ 2 + 7x \gt 6x + 4}} $

Adicionando $\color{brown}{-2}$ e $\color{brown}{-6x}$ aos dois membros isolamos $\color{brown}{x}$ no primeiro membro.

\[ \underbrace{\color{maroon}{ 2 – 2}} + \underbrace{\color{blue}{7x – 6x}} \gt \underbrace{\color{blue}{6x – 6x}} + \underbrace{\color{maroon}{4 – 2}} \]

\[ 0 + x \gt 0 + 2 \]

\[ x \gt 2 \]

\[\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{ V = \{ x \in R| x \gt 2\}}} \]

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Curitiba, 02 de junho de 2016

Curitiba, 07 de janeiro de 2018 (Republicação)

Décio Adams

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7 de janeiro de 20181 de julho de 2020

01.061 – Matemática, Álgebra. Inequação do primeiro grau.

Inequação! Que é isso?

Lembremos que uma equação é uma igualdade, entre duas quantidades, representadas por números, letras e expressões de letras com números. O prefixo in é uma negação. Assim a palavra inequação, poderíamos dizer, que é a negação de uma equação. Em outras palavras é uma desigualdade. Existem alguns símbolos que usamos para indicar essas desigualdades como:

“Menor do que” $\Rightarrow\color{maroon}{ \mathbf{\lt}} $
“maior do que” $\Rightarrow \color{maroon}{\mathbf{\gt}} $
“menor ou igual a” $\Rightarrow \color{maroon}{\mathbf{\le}} $
“maior ou igual a” $\Rightarrow\color{maroon}{\mathbf{ \ge}} $
“Diferente” $\Rightarrow\color{maroon}{\mathbf{\neq}} $
“Não menor do que” $\Rightarrow\color{maroon}{\mathbf{\not\lt}} $
“Não maior do que” $\Rightarrow\color{maroon}{\mathbf{\not\gt}} $
“Não menor ou igual a” $\Rightarrow\color{maroon}{\mathbf{\not\le}}$
“Não maior ou igual a” $\Rightarrow\color{maroon}{ \mathbf{\not\ge}}$

Em determinados momentos, todos esses símbolos podem aparecer em uma expressão matemática. No caso presente, estudo das inequações, iremos usar principalmente os quatro primeiros. Vejamos alguns exemplos:

$\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{2x -3 \lt 0}} $
$\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{ x + 7 \gt 2}} $
$\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{ 8 -x \ge 5}}$
$\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{ 4 + x \le 2x}} $
A determinação do conjunto verdade de uma inequação, é feita de modo semelhante ao procedimento adotado nas equações, com algumas peculiaridades próprias.

Vamos pegar como exemplo a primeira das quatro citadas acima:
$\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{2x – 3\lt 0}}$.
O objetivo é obter uma desigualdade que indique onde estão localizados os valores que servem para substituir x nessa inequação. Temos então que deixar o x isolado no primeiro membro.
\[ 2x – 3 + 3 \lt 0 + 3 \] \[2x \lt 3 \] \[ {{2x}\over 2} \lt {3\over 2} \] \[ x \lt {3\over 2} \]
Isso nos mostra que todos os números reais, menores do que o número 3/2 servem para x, isto é, transformam a expressão em uma sentença verdadeira. Logo: \[\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{ V =\left\{ x\in R | {x\lt {3\over 2}}\right\}}} \]
Representando o conjunto dos números reais na Reta Real, o conjunto verdade dessa inequação será formado por todos os números associados aos pontos dessa reta, à esquerda do ponto que corresponde ao número 3/2.

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A vez da terceira:
$\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{ 8 -x \ge 5}} $
Aplicando o mesmo procedimento, ficamos com:
\[ 8 – 8 – x \ge 5 – 8 \] \[ -x \ge -3 \]
Observe que o os dois membros da inequação são precedidos do sinal $-$, o que nos indica que para melhor interpretação, devemos multiplicar a expressão toda $-1$. Lembrando da reta numérica, vamos observar que a posição dos números negativos, fica invertida em relação ao zero$(0)$, isto é, quanto maior for o módulo, mais à esquerda ele se situa. A consequência disso é que, a multiplicação de uma inequação por $-1$, inverte o sentido da desigualdade, ou seja se era $\le$, passa para $\ge$ e vice-versa. Vamos ver como fica nosso exemplo.
\[ {(-x \ge – 3)}\cdot{(-1)} \] \[ x\le 3 \]
O conjunto verdade dessa inequação será pois:
\[\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{ V = \{x\in R|{x\le 3}\}}} \]
Neste caso o número $3$, faz parte do conjunto verdade. Ficam excluídos apenas os números à direita do $3$. Na Reta Real fica:

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O último exemplo:
$\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{ 4 + x \le 2x}} $
Aplicando o raciocínio par isolar a variável, temos:
\[ 4 – 4 + x \le 2x – 4 \] \[ x – 2x \le 2x – 2x – 4 \] \[ -x \le -4 \]
Novamente é preciso multiplicar por $-1$, e inverter o sinal da desigualdade.
\[{(-x \le -4)}\cdot{(-1)} \] \[ x \ge 4 \]
O conjunto verdade será composto por todos os números reais, desde o $4$ inclusive, até infinito$\infty$.
\[\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{V = \{x\in R|{x\ge 4}\}}} \]
Na Reta Real, teremos:

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O final da resolução de qualquer inequação de primeiro grau será sempre a variável, seguida de um sinal de desigualdade e depois um número. Se a variável tiver sinal negativo, devemos multiplicar por $\color{Brown}{-1}$ e inverter o sinal da desigualdade. Isso não pode ser esquecido.

Vamos “malhar”?

Determine o conjunto verdade das inequações a seguir.

$\color{navy}{ 4x – 7 \lt 2x + 1}$
$\color{navy}{ 11 + 3x \gt – 8} $
$\color{navy}{ – 6 + 2x \ge 3x + 1}$
$\color{navy}{ 6 \le 5 – 3x} $
$\color{navy}{ 3y + 4 \le 7 – y} $
$\color{navy}{15 – 4x \lt 11 +x}$
$\color{navy}{ 6x + 5\gt 4x – 7}$
$\color{navy}{ 2 + 7x \ge 6x + 4} $

Curitiba, 21 de maio de 2016.

Curitiba, 07 de janeiro de 2018 (Revisto e republicado)

Décio Adams