Categoria: Radiciação

Publicado em

01.034 – Matemática, Exercícios resolvidos

Lista de exercícios

Resolvidos e comentados.

Uma pessoa, encontrou meus artigos sobre matemática (quatro operações, propriedades, potenciação e radiciação), que publiquei há um ano passado aproximadamente. Ali encontrou meus contatos e telefonou, para pedir ajuda. Trata-se de uma lista de exercícios sobre o assunto. Tentou me explicar por telefone e eu tentei lhe resolver, pela forma como entendi. Graças a Deus, eu tive a ideia de pedir que ele fizesse uma cópia (scanner) e me mandasse por e-mail, pois eu havia entendido erradamente e a resposta estaria errada. São ao todo 13 exercícios, alguns bastante simples de solucionar, outros exigem mais raciocínio, com aplicação de recursos aritméticos e algébricos.

Continue lendo “01.034 – Matemática, Exercícios resolvidos”

Publicado em

01.033 – Matemática – Aritimética, razão, proporção. Regra de três simples

Aplicação das proporções – Regra de três simples.

  • Uma das principais aplicações das proporções é a conhecida Regra de Três. Cabe talvez a pergunta, por que o nome Regra de Três? 

Na verdade, o nome se deve ao fato de serem fornecidos três valores e existir um quarto valor desconhecido. São valores de duas grandezas que se correspondem. A existência de proporção entre esses valores, permite que seja determinado o quarto valor, através do conhecimento dos outros três.

Vamos ver um exemplo.

Continue lendo “01.033 – Matemática – Aritimética, razão, proporção. Regra de três simples”

Publicado em

01.032 – Matemática, Aritimética. Fração, razão, proporção e suas propridades II

Proporções e suas propriedades.

  • No post anterior sobre o assunto, chegamos a ver três propriedades das proporções. Vamos lembrar:
  •  O produto dos extremos é igual ao produto dos meios. 
  • Alternando os extremos entre si, a proporção continua existindo.
  •  Alternando os meios entre si, a proporção continua existindo. 

OBS.: Se aplicarmos as propriedades dois e três ao mesmo tempo, equivale a aplicar uma quarta propriedade.

  •  Invertendo as posições dos antecedentes com seus consequentes, continuamos a ter uma proporção.
  • Vejamos o exemplo.
    • $\mathbf{\color{Navy}{{2\over 3} = {6\over 9}}}$
  • Se invertermos teremos.
    • $\mathbf{\color{Navy}{{3\over 2} = {9\over 6}}}$

Tanto na primeira como na segunda proporção teremos:

  • $\mathbf{\color{Navy}{{2\cdot 9} = {3\cdot 6}}}$
  • $\mathbf{\color{Navy}{{3\cdot 6}={9\cdot 2}}}$
  • Ambas as  multiplicações resultam em igualdades e dão o mesmo valor.

Continue lendo “01.032 – Matemática, Aritimética. Fração, razão, proporção e suas propridades II”

Publicado em

01.031 – Matemática – Aritmética, fração, razão, proporção

Razão. 

  • Normalmente essa palavra se refere a habilidade humana de raciocinar, pensar, elaborar teorias e conceitos. Aqui, na matemática, ela tem um significado ligeiramente diferente. Denominamos razão à divisão indicada entre dois números. Facilmente ela é confundida com uma fração, o que aliás não chega a ser nada muito grave, contanto que saibamos algumas regras aplicáveis às razões. Vamos começar com um exemplo. O fato de poder ser representada da mesma forma como as frações, não atrapalha o desenvolvimento do assunto.
  • $$\bbox[4px, border:2px solid Olive]{\mathbf{\color{Sepia} {5\div 8}}}$$
  • $$\bbox[4px, border:2px solid Olive]{\mathbf{\color{Sepia} {5\over 8}}}$$
  • $$\bbox[4px, border:2px solid Olive]{\mathbf{\color{Sepia} {5/8}}}$$

Continue lendo “01.031 – Matemática – Aritmética, fração, razão, proporção”

Publicado em

01.030 – Matemática – Aritmética, fração, razão, proporção, números decimais, dízimas periódicas (conversão)

Transformar dízimas periódicas em frações.

  • O que estou propondo é encontrar a fração que recebe o nome de geratriz da dízima periódica. Vamos começar com as dízimas denominadas simples, isto é, sem algarismos não repetidos. A parte periódica começa logo depois da vírgula. Vamos começar com um exemplo bem simples.
    • $\color{Brown}{0,33…= ?}$
    • $\mathbf{\color{Navy}{0,33 = {3\over 9}}}$
  • Temos uma fração cujos termos numerador e denominador tem divisor comum $\color{Navy}{3}$. Pode portanto ser simplificada para a forma irredutível, dividindo ambos os termos por$3$. Assim:
    • $\mathbf{\color{Navy}{{3\over 9 }  = {{3 \div 3}\over {9\div 3}} = {1\over 3}}}$
  • A geratriz é uma fração que tem como numerador o período (algarismos repetidos) e como denominador tantos algarismos 9, quantos forem os algarismos do período. No exemplo acima, havia apenas um algarismo no período, portanto, também usamos apenas um algarismo 9 no denominador. Se quiser tirar a prova basta dividir o numerador (1) pelo denominador (3) e encontrará a dízima periódica
  • Vejamos mais exemplos.
    • $\mathbf{\color{Navy}{0,5757…=?}}$ $\rightarrow$ $\mathbf{\color{Navy}{0,57 = {{57}\over {99}}}}$
  • A fração geratriz novamente apresenta os termos com o divisor comum $\color{Navy}{3}$ e podemos determinar a sua forma irredutível.
    • $\mathbf{\color{Navy}{{{57}\over {99}} = {{57 \div 3}\over {99 \div3}} = {{19}\over{33}}}}$
  • $\mathbf{\color{Navy}{0,437… = ?}}$
    • $\mathbf{\color{Navy}{0,437… = {{437}\over {999}}}}$
  • Não há como simplificar, pois não existe divisor comum entre os termos da fração geratriz além da unidade. Por isso ela permanece assim. Já está na forma irredutível.

Continue lendo “01.030 – Matemática – Aritmética, fração, razão, proporção, números decimais, dízimas periódicas (conversão)”

Publicado em

01.029 – Matemática – Aritimética, Fração, Razão, Proporção, Números (frações) decimais.

Frações decimais.

  • Pode parecer no primeiro momento que todas as frações são decimais ou números decimais, pois o resultado da divisão do numerador pelo denominador, via de regra, resulta em uma parte inteira, seguida da vírgula e uma ou mais casas decimais. Para não deixar dúvidas, vejamos os exemplos.
  • $\color{Navy}{{3 \div 5}  = 0,6}$
  • $\color{Navy}{{4 \div 7 }  = 0,571428571428…}$
  • $\color{Navy}{{10 \div 8} = 1,25 }$
  • $\color{Navy}{{10 \div 7} = 1,428571428571…}$
  • Podemos notar que existem frações onde a divisão termina exata, isto é, o resto é zero. Há outras em que o resto nunca dá zero e os algarismos decimais se repetem em uma mesma sequência. É o caso dos exemplos 2 e 4. Aquelas frações em que a divisão dá exata, isto é resulta um número decimal exato, sem sobrar resto, são as frações decimais ou números decimais exatos.
  • As frações que resultam em divisão não exata com repetição de algarismos, sobrando sempre um resto diferente de zero, são frações e o resultado da divisão recebe o nome de dízima periódica.  Esse nome vem do fato da repetição periódica dos algarismos resultantes no quociente. Teremos nesse caso sempre que optar por um valor arredondado, ou seja, aproximado, pois o número exato só é representado pela fração.

Continue lendo “01.029 – Matemática – Aritimética, Fração, Razão, Proporção, Números (frações) decimais.”

Publicado em

01.028 – Matemática – Aritimética. Frações, razão, proporção, operações com frações -Divisão.

Vamos dividir frações?

  • Ao estudar as quatro operações da aritmética, vimos que a divisão é a operação inversa da multiplicação. De onde poderíamos deduzir que, para dividir duas frações, basta dividir os numeradores entre si e os denominadores entre si. De fato, isso funciona, porém apresenta alguns problemas na hora de resolver. Mas existe uma maneira alternativa que é fácil de resolver e não apresenta dificuldades. Vamos ver um exemplo.
  • \[\bbox[4px,border:2px solid Olive]{\mathbf{\color{Navy}{{\frac{6}{10}}\div{\frac{2}{5}}}}}\]
  • Fica assim:
  • \[\mathbf{\color{Navy}{\frac{(6 / 2)}{(10 / 5)}  = \frac{3}{2}}}\]

Escolhi essas frações por que nelas não aparece nenhum problema para fazer a divisão entre numeradores e denominadores. Assim, fica mais fácil explicar o modo alternativo que iremos utilizar na continuação. O segredo é transformar a divisão em uma multiplicação e, para isso, basta inverter os termos da fração divisor. Assim:

  • \[\mathbf{\color{Navy}{\frac{\frac{6}{10}}{\frac{2}{5}} = \frac{6}{10}\times\frac{5}{2}}}\]

Cancelando os fatores comuns entre numeradores e denominadores temos:

  • \[\mathbf{\color{Navy}{\frac{2\times 3}{2\times 5}\times{\frac{5}{2}}= \frac{3}{2}}}\]
  • Vemos que o resultado é o mesmo e podemos portanto converter toda divisão de frações em multiplicação. Basta inverter a posição do numerador e denominador da fração divisor.

Vejamos outro exemplo:

  • \[\mathbf{\color{Navy}{{\frac{3}{5}}\div{\frac{4}{7}} = \frac{3\cdot 7}{5\times 4}  = \frac{21}{20}}}\]
  • Não há fatores comuns, mas a fração resultante é imprópria, podendo ser transformada em número misto.
  • \[\mathbf{\color{Navy}{\frac{21}{20} = 1\frac{1}{20}}}\]

Continue lendo “01.028 – Matemática – Aritimética. Frações, razão, proporção, operações com frações -Divisão.”

Publicado em

01.027 – Matemática – Aritmética. Frações, razão, proporção, operações com frações.

Subtração de frações.

  • Na subtração de frações, procedemos da mesma maneira que na adição. Se os denominadores são iguais, basta fazermos a subtração entre os numeradores.
  • $\bbox[4px,border:2px solid Olive]{\mathbf{\color{Navy}{\frac{5}{7} – \frac{3}{7}}}}$
  • Ambas as frações tem denominador 7, portanto fazemos:
  • $\mathbf{\color{Navy}{\frac{5}{7} – \frac{3}{7} = \frac{5 – 3}{7}= \frac{2}{7}}}$

Continue lendo “01.027 – Matemática – Aritmética. Frações, razão, proporção, operações com frações.”

Publicado em

01.025 – Matemática – Aritmética, fração, razão, proporção.

Fração

  • Se você procurar no dicionário o significado da palavra fração, deverá encontrar entre diferentes respostas uma que é relativa ao que pretendo apresentar nesse artigo. Denominamos fração a um número representado pela divisão indicada de dois números quaisquer. Ao primeiro chamamos numerador e  é escrito acima de um traço horizontal ou inclinado para direita. Ao segundo chamamos denominador e é escrito abaixo do mesmo traço. Vejamos os exemplos:
  • \[\bbox[4px,border:2px solid Olive]{\mathbf{\color{Brown}{\frac{3}{4}}}}\]
  • \[\bbox[4px,border:2px solid Olive]{\mathbf{\color{Brown}{\frac{5}{7}}}}\]
  • \[\bbox[4px,border:2px solid Olive]{\mathbf{\color{Brown}{\frac {12}{9}}}}\]

No primeiro exemplo temos como numerador $\color{navy}{3}$ e denominador $\color{navy}{4}$. O numerador indica quantas partes do inteiro foram tomadas e o denominador, indica em quantas partes o inteiro foi dividido. Podemos representar isso graficamente assim:

Treinamento de força em casa – 5 programas, 9 exercícios vardenafil 20mg rack de musculação de tração de agachamento domyos decathlon.
Fração 3-4 de um círculo
Fração três quartos de um inteiro.

Note que o circulo foi dividido em quatro partes iguais. Destas foi removida uma parte, restando três. Essa figura representa a fração

  • $\mathbf{\color{Navy}{3/4}}$ ou $\mathbf{\color{Navy}{\frac {3}{4}}}$

A parte que foi removida corresponde ao que falta para o inteiro e é representada pela fração

  • $\mathbf{\color{Navy}{1\over 4}}$

Obs.: Repare no detalhe do numerador, partes tomadas e do denominador, partes em que foi dividido o inteiro.

Continue lendo “01.025 – Matemática – Aritmética, fração, razão, proporção.”
Publicado em

01.015 – Matemática, aritmética, operações com naturais, radiciação – Propriedades

Potenciação de radicais.

  • Radicais com radicandos de mesma base.

Exemplo: $\bbox[4px,border:2px solid Olive]{\color{Blue}{\sqrt[3]{({3^2})^2} = {(\sqrt[3]{3^2}})^2} = {\sqrt[3]{3^2}}^2}$

Vamos transformar em multiplicação de radicais:

  • $\color{Blue}{\sqrt[3]{3^2}\times\sqrt[3]{3^2} = \sqrt[3]{3^{2+2}} = \sqrt[3]{3^{2\times 2}} = \sqrt[3]{3^4}}$

Note que o radicando agora tem como expoente o número 4, produto dos expoentes interno e externo. Como o expoente é maior que o índice, podemos decompor o radicando em uma multiplicação de potências de modo que uma tenha expoente múltiplo do índice. Assim:

  • $\color{Blue}{\sqrt[3]{3^4} = \sqrt[3]{3^{3 + 1}} = \sqrt[3]{3^3}\times\sqrt[3]{3^1} = 3\times \sqrt [3]{3}}$
  • Temos ao final uma forma simplificada da expressão inicial. O valor permanece exatamente o mesmo do inicial.

Vejamos outro exemplo: $\color{Blue}{\sqrt[4]{({5^3})^4} = {(\sqrt[4]{5^3})^4} = {\sqrt[4]{5^3}}^4}$

Na forma de multiplicação:

  • $\color{Blue}{\sqrt[4]{5^3}\times\sqrt[4]{5^3}\times\sqrt[4]{5^3}\times\sqrt[4]{5^3} = \sqrt[4]{5^{(3 + 3 + 3 + 3)}} = \sqrt[4]{5^{(4\times 3)}} = \sqrt[4]{5^{12}}}$

O expoente do radicando é múltiplo do índice. Portanto podemos simplificar, ou dividir o expoente pelo índice.

  • $\color{Brown}{\sqrt[4]{5^{12}} = 5^ \frac {12}{4} = 5^3}$
  • Portanto podemos fazer sempre a multiplicação entre os expoentes interno e externo. 
  • Façamos alguns exercícios aplicando o que foi visto acima. Simplifique os radicais.
  • $\color{Brown}{(\root 2\of {3^3})^4 = ?}$
  • $\color{Brown}{(\root 5\of {7^4})^3 = ?}$
  • $\color{Brown}{(\root 6\of {4^3})^4 = ?}$
  • $\color{Brown}{(\root 3\of {5^4})^3 = ?}$
  • $\color{Brown}{(\root 9\of {7^3})^5 = ?}$
    • O mesmo raciocínio se aplica a um produto de radicais, elevado a uma potência. Bastará multiplicar cada um dos expoentes internos pelo externo, como no exemplo abaixo.
    • $\color{Blue}{\left(\sqrt[3]{2^2}\times\sqrt[3]{3^3}\times\sqrt[3]{2^3}\times\sqrt[3]{2}\times\sqrt[3]{3^2}\right)^2 =\\ {\sqrt [3]{2^2}}^2\times{\sqrt[3]{3^3}}^2\times{\sqrt [3]{2^3}}^2\times{\sqrt[3]{2}}^2\times{\sqrt [3]{3^2}}^2 }$
    • $\color{Blue}{\sqrt[3]{2^4}\times\sqrt[3]{3^6}\times\sqrt[3]{2^6}\times\sqrt[3]{2^2}\times\sqrt[3]{3^4}}$
  • Agrupando os radicais com potências de mesma base, teremos:
  • $\color{Blue}{\sqrt[3]{2^4}\cdot\sqrt[3]{2^6}\cdot\sqrt[3]{2^2}\cdot\sqrt[3]{3^6}\cdot\sqrt[3]{3^4}\\ =\sqrt [3]{{2^4}\cdot{2^6}\cdot{2^2}}\cdot\sqrt[3]{{3^6}\cdot{3^4}}}$
  •  $\color{Blue}{\sqrt[3]{2^{(4 + 6 + 2)}}\times\sqrt[3]{3^{(6 + 4)}}}$
  • $\color{Blue}{\sqrt[3]{2^{12}}\times\sqrt[3]{3^{10}}=2^{\frac {12}{3}}\times 3^{\frac {10}{3}} = 2^4\times 3^{\frac{9}{3}}\times 3^{\frac {1}{3}}}$ $\color{Blue}{16\times{3^3}\times\sqrt[3]{3} = 16\cdot 27\cdot\sqrt[3]{3}}$
  • $\color{Blue}{432\cdot\sqrt[3]{3} =({\root5\of {3^2}}\times{\root5\of {5^3}}\times{\root5\of {3^4}})^3}$
  •  $\color{Blue}{\root5\of {3^2}^{3}\times\root5\of{5^3}^{3}\times\root5\of{3^4}^{3}=\root 5\of {3}^{6}\times\root5\of {5}^{9}\times\root5\of 3^{12}}$
  • $\color{Blue}{\root5\of 3^{9 + 12}\times\root5\of 5^{5 + 4}}$
  • $\color{Blue}{\root5\of 3^{20}\times\root5\of {3}\times\root 5\of 5^5\cdot \root5\of {5^4} = 3^{4}\times 5\cdot \root 5\of {3\times {5^{4}}}}$
  • $\color{Blue}{405\times \root 5\of {3\times {5^4}} = 405\times\root 5\of {1875}}$
  • Exercitando um pouco.
    • Simplifique as expressões.
      • $\color{Brown}{(\root 3\of {4^2}\times\root 3\of {2^3}\times\root 3\of {5^4})^3 = ?} $
      • $\color{Brown}{(\root 4\of {3^5}\times\root 4\of {6^3}\times\root 4\of {2^4})^5 = ?}$
      • $\color{Brown}{(\root 5\of {7^3}\times\root 5\of {5^4}\times\root 5\of {3^4}\times\root 5\of {15^5})^4 = ?}$
      • $\color{Brown}{(\root 2\of {3^5}\times\root 2\of {9^2}\times\root 2\of {6^3}\times\root 2\of {4^3}\times\root 2\of {6^3})^3 =?}$

Trabalhar com os radicais, usando as propriedades adequadas, permite quase sempre chegar a expressões bem mais simplificadas do que se apresentam inicialmente.

Obs.: Em caso de dúvidas sobre o conteúdo ou exercícios, faça contato por meio de um dos canais abaixo. Estou aberto a quaisquer perguntas sobre o assunto. Disponha. 

Curitiba, 04 de março de 2015 (Reformulado e melhorado em 16 de julho de 2016). Revisto e republicado em 03/11/2017.

Décio Adams

[email protected]

[email protected]

www.facebook.com/livros.decioadams

www.facebook.com/decio.adams

www.facebook.com/decioadams.matfisonline

@AdamsDcio

Telefone: (41) 3019-4760

Celular e WhatsApp: (41) 9805-0732