Para dizer que um determinado elemento faz parte ou não de um conjunto, usamos as palavras pertence e não pertence. Simbolicamente, usamos $\in$ e $\notin$.
Assim, dado o conjunto das vogais:
$V = {a, e, i, o, u}$ podemos dizer que:
$a\in V$$\Rightarrow$ “a pertence ao conjunto V”;
$i\in V$$\Rightarrow$ “ i pertence ao conjunto V“;
$u\in V$$\Rightarrow$”u pertence ao conjunto V”;
$m\notin V$$\Rightarrow$ “m não pertence ao conjunto V”;
$r\notin V$$\Rightarrow$ “r não pertence ao conjunto V”;
e assim sucessivamente.
Subconjunto
Tomemos por exemplo o conjunto das vogais.
$\bbox[4px,border:2px solid Olive]{\color{Navy}{ A = \{a, e, i, o, u\}}} $
Denominamos sub-conjunto de um conjunto dado, a todo conjunto cujos elementos pertençam a este conjunto. No exemplo acima, conjunto das vogais, temos 5 (cinco) elementos. Vimos que existe o conjunto vazio, que não tem nenhum elemento; conjunto unitário com um elemento apenas e assim por diante. Iremos formar um conjunto de subconjuntos do conjunto $\color{Navy}{A}$, também denominado conjunto das partes. Vejamos detalhadamente.
Creio que não haverá dificuldades em entender o que é um conjunto. Na sua casa, deve haver vários conjuntos. Por exemplo: um conjunto de pratos, um conjunto de copos, um conjunto de xícaras, um conjunto de cadeiras, um conjunto de móveis, um ou vários conjuntos de brinquedos, seus e seus irmãos ou irmãs. Poderíamos citar mais uma porção de outros.
O que fica claro é que são coisas ou objetos que fazem parte de um grupo. Podemos estender esse conceito um pouco mais e teremos o que em matemática se chama conjunto. Podemos ter um conjunto de símbolos, letras, estrela, círculos, números e assim por diante. Da mesma forma como nossos pais quando nascemos, nos batizaram e fizeram nosso registro de nascimento identificando-nos por um nome, os nossos conjuntos em matemática, receberão um nome. Melhor dizendo, serão identificados por uma letra maiúscula: A, B, C, D, etc. Sempre que nos referirmos a um conjunto usaremos uma letra para identificar esse conjunto.
Note que o radicando agora tem como expoente o número 4, produto dos expoentes interno e externo. Como o expoente é maior que o índice, podemos decompor o radicando em uma multiplicação de potências de modo que uma tenha expoente múltiplo do índice. Assim:
Portanto podemos fazer sempre a multiplicação entre os expoentes interno e externo.
Façamos alguns exercícios aplicando o que foi visto acima. Simplifique os radicais.
$\color{Brown}{(\root 2\of {3^3})^4 = ?}$
$\color{Brown}{(\root 5\of {7^4})^3 = ?}$
$\color{Brown}{(\root 6\of {4^3})^4 = ?}$
$\color{Brown}{(\root 3\of {5^4})^3 = ?}$
$\color{Brown}{(\root 9\of {7^3})^5 = ?}$
O mesmo raciocínio se aplica a um produto de radicais, elevado a uma potência. Bastará multiplicar cada um dos expoentes internos pelo externo, como no exemplo abaixo.
Trabalhar com os radicais, usando as propriedades adequadas, permite quase sempre chegar a expressões bem mais simplificadas do que se apresentam inicialmente.
Obs.:Em caso de dúvidas sobre o conteúdo ou exercícios, faça contato por meio de um dos canais abaixo. Estou aberto a quaisquer perguntas sobre o assunto. Disponha.
Curitiba, 04 de março de 2015 (Reformulado e melhorado em 16 de julho de 2016). Revisto e republicado em 03/11/2017.
Podemos notar que é possível resolver uma porção de operações com potências e raízes sem recorrer a nenhum cálculo pesado. Basta aplicar as propriedades que permitem fazer uma variedade de transformações. Dos exemplos deduzimos:
Uma multiplicação de radicais de mesmo índice é igual a um único radical, com o mesmo índice, cujo radicando é o produto dos radicandos fatores.
Assim como em outras situações, estamos vendo que, a cada nova operação matemática que aprendemos, logo depois aparece outra, que faz o caminho contrário. E não seria diferente com a potenciação.
Vamos pegar um número, potência de 3. Esse número vai ser 243. Vamos decompor em seus fatores, para sabermos qual é o expoente ao qual foi elevada a base 3, para encontrar 243.
Fizemos cinco divisões sucessivas por $3$, até resultar quociente $1$. Dessa forma temos que $\color{Blue}{3^5 = 243}$
Pesquisando na internet, descobri que nos últimos dias a procura pelo assunto potenciação, por parte dos internautas, aumentou quase 100%. Isso significa que estou atacando um dos assuntos procurados. Vamos seguir mais um pouco. Apresentar mais alguns detalhes sobre o assunto.
Vamos ver como se faz uma multiplicação de potências iguais.
Se observarmos bem, os expoentes na expressão $\color{Blue}{{[(3)^2]}^4}$, vemos que, se multiplicarmos os expoentes $\color{Blue}{2\times 4= 8}$ ou seja a soma dos expoentes das potências iguais.
Dessa forma pode-se afirmar que:
“Para elevar uma potência a outra potência, basta conservar a base e multiplicar os expoentes”.
Fica muito simples perceber que a operação potenciação apresenta bem mais possibilidades de aplicações úteis, do que meramente substituir uma multiplicação por uma expressão mais simples, mais curta. Começam a pintar várias novidades. O que vimos até aqui é apenas um pequeno vislumbre do que é possível. Mas vamos devagar. Um degrau de cada vez.
Vamos recordar o que já vimos até aqui?
Transformar potências em multiplicações de fatores iguais.
Trata-se agora de um expoente exponencial. Antes de elevarmos a base ao expoente, precisamos efetuar a potência desse expoente. Ou seja, precisamos efetuar o$\color{Brown}{3^2= 9}$ e depois elevar o 5 à nona potência. Teremos então: $\color{Brown}{5^9}$
Note que se multiplicássemos os expoentes ($\color{Brown}{3\times 2 =6}$, teríamos $\color{maroon}{5^{3\times 2} = 5^6}$, que é totalmente diferente. Notamos que a coisa fica um pouco mais complexa. Portanto cuidado. Potência de potência não é o mesmo que potência com expoente exponencial. Felizmente o uso dessa forma é menos comum, do que a primeira. Um pouco de exercício faz bem, né!
Efetue as potências indicadas.
$\color{Blue}{7^{5^2} = ?}$
$\color{Blue}{5^{3^1} = ?}$
$\color{Blue}{6^{4^3} = ?}$
$\color{Blue}{8^{3^4} = ?}$
$\color{Blue}{9^{2^3} = ?}$
Adendo: leitor me enviou a seguinte pergunta, ou melhor questão: Realizar a divisão que ele encontrou num livro ou apostila e não entendeu como resolver.
Exercício de divisão
A divisão apresentada é a divisão de duas potências. Seria assim:
Vemos uma sucessão de potências em número de 6 (seis). À primeira vista parece algo difícil de resolver. Se fôssemos desenvolver tudo, iriamos fazer uma montanha de cálculos desnecessários. Não podemos esquecer que a matemática tem alguns atalhos que nos levam à resposta num piscar de olhos. Aquele problema gigante, se resolve num clic.
Acompanhem o raciocínio. Na potência dividendo, temos no quarto expoente de cima para baixo o número 1(um). Isto significa que iremos elevar 1(um) ao expoente que existir acima dele e o resultado só pode ser 1(um). Continuando vamos ter:
$\color{Blue}{2^1 = 2}$
Para terminar temos $\color{Blue}{3^2 = 9}$
Reduzimos o dividendo à potência $\color{Blue}{2^9}$
No divisor vamos encontrar na terceira posição, do último expoente para baixo. Sabemos que qualquer expoente para 0(zero), resulta igual a 0(zero).
O próximo expoente é 8, e vamos ter $\color{Blue}{8^0 = 1}$
Na sequência temos o expoente 2 e fica $\color{Blue}{2^1 = 2}$
Terminamos com $\color{Blue}{2^2 = 4}$
Passamos a ter $\color{Blue}{4^4} = {(2^2)}^4 = {2^{2×4}} =2^8 $
Efetuando a divisão $\color{Blue}{{2^9}\div{2^8} = 2^{9-8} = 2^1 = 2}$.
Este resultado comprova que a resposta indicada na figura é a correta.
Andamos mais um passo. Se você for um dos que procuraram pelo assunto potenciação na internet e tiver interesse em aprofundar o assunto, entre em contato comigo nos endereços que constam abaixo do artigo. Estou a disposição para orientar e tirar suas dúvidas. Legal?
Curitiba, 31 de janeiro de 2015. (Republicação em 02/11/2017).
Muito simples. Basta irmos multiplicando o três tantas vezes quantas estiver indicado. Mas será que não tem outro jeito? Há muito tempo, pesquisei e não encontrei quando isso aconteceu, alguém olhou para essas expressões e pensou em uma maneira de encurtar a “tripa”. Como?
Foi criada a Potenciação, também conhecida como Exponenciação ou forma exponencial. Basta escrever o número de fatores iguais, um pouco acima, do lado direito daquele número que é repetido. Então como fica a expressão aí de cima?
Muito simples. Basta irmos multiplicando o três tantas vezes quantas estiver indicado. Mas será que não tem outro jeito? Há muito tempo, pesquisei e não encontrei quando isso aconteceu, alguém olhou para essas expressões e pensou em uma maneira de encurtar a “tripa”. Como?
Foi criada a Potenciação, também conhecida como Exponenciação ou forma exponencial. Basta escrever o número de fatores iguais, um pouco acima, do lado direito daquele número que é repetido. Então como fica a expressão aí de cima?
Se para a adição existem propriedades, vamos ver a multiplicação. Afinal, em outro momento vimos que a multiplicação nada mais é do que uma adição de parcelas iguais.
Será que a propriedade comutativa é aplicável à multiplicação? (Lembremos que ela consiste em mudar a ordem das parcelas. Aqui vamos então trocar a ordem dos fatores).
O termo propriedade aqui não é usado no sentido de posse, como quando adquirimos um bem. Ele passa a ser nossa propriedade. Tem aqui o significado de alguma coisa que lhe é característica, própria. Lembro de ouvir muitas vezes os alunos perguntarem:
Para que serve isso, professor?
Nem sempre é fácil explicar, assim na hora, como se diz, “na lata”, para que serve determinado conteúdo. Mas, com certeza, ele será útil em um momento futuro e, quando for hora de usar, pode faltar tempo para voltar atrás e aprender. Por isso, esse assunto, aparentemente um pouco sem “razão de ser”, ou seja, inútil, é muito importante no desenvolvimento de conteúdos posteriores. Apenas para adiantar, é fundamental no aprendizado da álgebra. No momento oportuno vou mostrar como.
Essa palavra designa a parte da Matemática que nos apresenta ao mundo dos números. Começamos por aprender a contar, associar um símbolo aos números que correspondem às quantidades de objetos que contamos. Esses símbolos denominamos algarismos, e os mais usados no mundo hoje em dia são os hinduarábicos. Essa denominação é devida ao fato de sua origem ter ocorrido na India e depois foram aperfeiçoados na Arábia. Depois de dominarmos a escrita e leitura dos números, fazendo o uso adequado da posição dos algarismos, começamos a aprender as quatro operações:
Adição
Consiste na reunião dos elementos de dois ou mais conjuntos. A quantidade de elementos resultante é denominada soma. A soma será o número de elementos do novo conjunto formado pela reunião dos primeiros. Por exemplo. Seja o conjunto $\color{Navy}{A =\varnothing}$ e $\color{Navy}{B = \{ O\}}$. O primeiro conjunto é vazio, isto é não tem nenhum elemento. Então o número de elementos é $\color{Navy}{n(A) = 0}$. O segundo conjunto tem apenas uma letra “O“. Portanto $\color{Navy}{n(B) = 1}$. Vamos representar isso num desenho.
Vamos reunir os elementos dos dois conjuntos em um único conjunto e contar a quantidade de elementos resultante.
Notamos que da reunião dos dois conjuntos resultou um novo conjunto com um único elemento. Isto nos permite afirmar que a adição dos números 0 (zero) com o número 1(um), resulta na soma 1 (um). Ou seja adicionar 0 (zero) com qualquer número não altera o resultado.
$\color{Navy}{0 + 1 = 1}$
Vejamos agora dois conjuntos, tendo o primeiro 1(um) elemento e o outro 2(dois) elementos. Façamos a reunião dos mesmos e vejamos quantos elementos resultam.
Notamos que o conjunto que reúne os dois conjuntos é um conjunto com um total de 3(três) elementos. Portanto:
$\color{Navy}{ 1 + 2 = 3 }$
Este procedimento de juntar os elementos de dois ou mais conjuntos você pode fazer usando os dedos de suas mãos. Vejamos mais um exemplo. Um conjunto M com três elementos e um conjunto N com quatro elementos.
Vemos na figura dois conjuntos com o mesmo tipo de elementos. O conjunto M formado por três elipses e o conjunto N por 4 elipses. Podemos reunir todos em um único conjunto e ver quantos serão os elementos do do novo conjunto formado pela reunião dos dois.
Se contarmos o número de elementos existentes no novo conjunto encontraremos como resultado o número 7. Isto nos permite afirmar que a adição dos números que representam a quantidade de elementos dos dois conjuntos que foram reunidos, tem como resultado 7 (sete). Simbolicamente fica:
$\color{Navy}{ 3 + 4 = 7} $
Se você quiser fazer a adição de 5 ovos com 7 ovos, usando os dedos das mãos, como irá proceder?
Em condições normais, você terá em sua mão esquerda 5 dedos, que podem representar os 5 ovos. Na outra mão terá também 5 dedos, que poderão representar outros 5 ovos. Se você continuar contando, depois do cinco vem o seis e logo o sete. Portanto faltarão dois dedos. Conte os dedos da mão esquerda, os da mão direita, chegando a 10, e volte a contar mais dois da mão esquerda. Deverá obter o número 12. Ou seja:
$\color{Navy}{ 5 + 7 = 5 + 5 + 2 = 12 }$
6 uvas + 3 maçãs = 9 frutas, mas não serão 9 uvas, nem 9 maçãs. Em geral não adicionamos coisas diferentes.
Os números que somamos são chamados parcelas. O número de parcelas de uma adição, não tem limites e nem importa a ordem em que as adicionamos, contanto que façamos o processo de maneira correta.
Tabela de dupla entrada. Os números na primeira linha e coluna, tem suas somas no cruzamento das respectivas linhas e colunas.
A tabela apresentada acima, pode ser útil para obter a soma da adição de números entre 0(zero) e 9 (nove). Pode substituir os dedos ou outros objetos no momento de realizar a adição de números.
Adição de números maiores.
Sejam, por exemplo as parcelas $\color{Navy}{ 149 + 214 = ?}$
Eles serão escritos um sobre o outro, formando a coluna das unidades, a coluna das dezenas, centenas, milhares e assim até o final. Começamos a efetuar pelas unidades e assim sucessivamente, até completar a adição. O número formado será a soma das parcelas.
Adição de números com vários algarismos em colunas 1
Na figura ao lado, vemos efetuada a adição dos dois números dados. Observe que adicionamos a partir das unidades. No caso $\color{Navy}{ 9 + 7 = 16}$. Escrevemos as unidades 6 (seis) abaixo da linha horizontal e a dezena, colocamos acima do 4 (quatro), na coluna das dezenas. Repetimos o processo e obtemos $\color{Navy}{1 + 4 + 1=6}$ (seis) dezenas. Não temos nenhuma centena. Adicionamos a coluna das centenas e resulta a soma $\color{Navy}{366}$.
Ao lado temos a adição $\color{Navy}{164 + 98 = ?}$. Na formação das colunas, a casa das centenas ficou vaga para o segundo número, uma vez que temos um número sem nenhuma centena. $\color{Navy}{4 + 8 = 12}$, nos dá duas unidades e uma dezena. Escrevemos as duas unidades abaixo da linha horizontal e a dezena colocamos acima dos algarismos das dezenas. Somamos $\color{Navy}{ 1 + 6 + 9 = 16}$ que nos dá seis dezenas de unidades e uma centena. O seis vai ao lado do dois, na casa das dezenas e a centena, acima dos algarismos das centenas. Somamos $\color{Navy}{1 + 1 = 2}$, resultam duas centenas e a soma dos números é igual a $\color{Navy}{262}$.
Tomemos mais dois exemplos.
$\color{Navy}{1537 + 7259 = ? }$
$\color{Navy}{2836 + 475 =?}$
Adição de números com vários algarismos 2
Note que devemos colocar os algarismos na posição correta e sempre efetuar a adição da direita (unidades) para esquerda, seguindo a ordem das dezenas, centenas e demais classes. A adição de $\color{Navy}{7 + 9 = 16}$. Seis unidades e uma dezena que irá ser adicionada na segunda coluna. Assim $\color{Navy}{1 + 3 + 5 = 9}$. Escrevemos as nove dezenas na segunda coluna, ao lado esquerdo das seis unidades da primeira coluna. Adicionamos $\color{Navy}{5 + 2 = 7}$ e depois $\color{Navy}{1 + 7 = 8}$. O resultado (soma) será o número ${8796}$. Procedemos da mesma maneira com os outros dois números.
Vamos exercitar.
Efetue as adições dos números, utilizando os dedos, outros objetos e mesmo a tabela apresentada acima.
$\color{Blue}{9 + 12 = ?}$
$\color{Blue}{15 + 8 = ?}$
$\color{Blue}{16 + 9 = ?}$
$\color{Blue}{21 + 5 = ?}$
$\color{Blue}{33 + 4 = ?}$
$\color{Blue}{27 + 3 = ?}$
$\color{Blue}{35 + 8 = ?}$
Efetue as adições dos números, escrevendo em colunas, como mostrado acima e efetue da direita para esquerda.
$\color{Brown}{78 + 63 = ?}$
$\color{Brown}{93 + 142 = ?}$
$\color{Brown}{87 + 231 + 158 = ?}$
$\color{Brown}{527 + 1872 = ?}$
$\color{Brown}{2056 + 1932 = ?}$
$\color{Brown}{5743 + 3278 + 7094 = ?}$
Curitiba, 10 de julho de 2017 (Post refeito e ampliado nesta data).
