Tag: #matemática

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7 de janeiro de 20181 de julho de 2020

01.061 – Matemática, Álgebra. Inequação do primeiro grau.

Inequação! Que é isso?

Lembremos que uma equação é uma igualdade, entre duas quantidades, representadas por números, letras e expressões de letras com números. O prefixo in é uma negação. Assim a palavra inequação, poderíamos dizer, que é a negação de uma equação. Em outras palavras é uma desigualdade. Existem alguns símbolos que usamos para indicar essas desigualdades como:

“Menor do que” $\Rightarrow\color{maroon}{ \mathbf{\lt}} $
“maior do que” $\Rightarrow \color{maroon}{\mathbf{\gt}} $
“menor ou igual a” $\Rightarrow \color{maroon}{\mathbf{\le}} $
“maior ou igual a” $\Rightarrow\color{maroon}{\mathbf{ \ge}} $
“Diferente” $\Rightarrow\color{maroon}{\mathbf{\neq}} $
“Não menor do que” $\Rightarrow\color{maroon}{\mathbf{\not\lt}} $
“Não maior do que” $\Rightarrow\color{maroon}{\mathbf{\not\gt}} $
“Não menor ou igual a” $\Rightarrow\color{maroon}{\mathbf{\not\le}}$
“Não maior ou igual a” $\Rightarrow\color{maroon}{ \mathbf{\not\ge}}$

Em determinados momentos, todos esses símbolos podem aparecer em uma expressão matemática. No caso presente, estudo das inequações, iremos usar principalmente os quatro primeiros. Vejamos alguns exemplos:

$\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{2x -3 \lt 0}} $
$\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{ x + 7 \gt 2}} $
$\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{ 8 -x \ge 5}}$
$\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{ 4 + x \le 2x}} $
A determinação do conjunto verdade de uma inequação, é feita de modo semelhante ao procedimento adotado nas equações, com algumas peculiaridades próprias.

Vamos pegar como exemplo a primeira das quatro citadas acima:
$\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{2x – 3\lt 0}}$.
O objetivo é obter uma desigualdade que indique onde estão localizados os valores que servem para substituir x nessa inequação. Temos então que deixar o x isolado no primeiro membro.
\[ 2x – 3 + 3 \lt 0 + 3 \] \[2x \lt 3 \] \[ {{2x}\over 2} \lt {3\over 2} \] \[ x \lt {3\over 2} \]
Isso nos mostra que todos os números reais, menores do que o número 3/2 servem para x, isto é, transformam a expressão em uma sentença verdadeira. Logo: \[\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{ V =\left\{ x\in R | {x\lt {3\over 2}}\right\}}} \]
Representando o conjunto dos números reais na Reta Real, o conjunto verdade dessa inequação será formado por todos os números associados aos pontos dessa reta, à esquerda do ponto que corresponde ao número 3/2.

Rendered by QuickLaTeX.com

A vez da terceira:
$\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{ 8 -x \ge 5}} $
Aplicando o mesmo procedimento, ficamos com:
\[ 8 – 8 – x \ge 5 – 8 \] \[ -x \ge -3 \]
Observe que o os dois membros da inequação são precedidos do sinal $-$, o que nos indica que para melhor interpretação, devemos multiplicar a expressão toda $-1$. Lembrando da reta numérica, vamos observar que a posição dos números negativos, fica invertida em relação ao zero$(0)$, isto é, quanto maior for o módulo, mais à esquerda ele se situa. A consequência disso é que, a multiplicação de uma inequação por $-1$, inverte o sentido da desigualdade, ou seja se era $\le$, passa para $\ge$ e vice-versa. Vamos ver como fica nosso exemplo.
\[ {(-x \ge – 3)}\cdot{(-1)} \] \[ x\le 3 \]
O conjunto verdade dessa inequação será pois:
\[\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{ V = \{x\in R|{x\le 3}\}}} \]
Neste caso o número $3$, faz parte do conjunto verdade. Ficam excluídos apenas os números à direita do $3$. Na Reta Real fica:

Rendered by QuickLaTeX.com

O último exemplo:
$\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{ 4 + x \le 2x}} $
Aplicando o raciocínio par isolar a variável, temos:
\[ 4 – 4 + x \le 2x – 4 \] \[ x – 2x \le 2x – 2x – 4 \] \[ -x \le -4 \]
Novamente é preciso multiplicar por $-1$, e inverter o sinal da desigualdade.
\[{(-x \le -4)}\cdot{(-1)} \] \[ x \ge 4 \]
O conjunto verdade será composto por todos os números reais, desde o $4$ inclusive, até infinito$\infty$.
\[\bbox[5px,border:2px solid brown]{\color{navy}{V = \{x\in R|{x\ge 4}\}}} \]
Na Reta Real, teremos:

Rendered by QuickLaTeX.com

O final da resolução de qualquer inequação de primeiro grau será sempre a variável, seguida de um sinal de desigualdade e depois um número. Se a variável tiver sinal negativo, devemos multiplicar por $\color{Brown}{-1}$ e inverter o sinal da desigualdade. Isso não pode ser esquecido.

Vamos “malhar”?

Determine o conjunto verdade das inequações a seguir.

$\color{navy}{ 4x – 7 \lt 2x + 1}$
$\color{navy}{ 11 + 3x \gt – 8} $
$\color{navy}{ – 6 + 2x \ge 3x + 1}$
$\color{navy}{ 6 \le 5 – 3x} $
$\color{navy}{ 3y + 4 \le 7 – y} $
$\color{navy}{15 – 4x \lt 11 +x}$
$\color{navy}{ 6x + 5\gt 4x – 7}$
$\color{navy}{ 2 + 7x \ge 6x + 4} $

Curitiba, 21 de maio de 2016.

Curitiba, 07 de janeiro de 2018 (Revisto e republicado)

Décio Adams

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31 de dezembro de 20171 de julho de 2020

01.060 – Matemática, Álgebra. Sistemas de equações com duas incógnitas. Exercícios.

Resolvendo os exercícios.

Determine o conjunto verdade dos sistemas de equações a seguir.

a) $$ 3x – 2y = 10 $$ $$ x + y = 13 $$ O caminho mais fácil é exprimir o valor de uma das incógnitas em função da outra, partindo da segunda equação. $$ x + y = 13$$ $$ x – x + y = 13 – x $$ $$ y = 13 – x $$ Substituindo da outra equação, teremos: $$ 3x – 2\cdot{(13 – x)} = 10 $$ $$ 3x -26 + 2x = 10 $$ $$ (3x + 2x) – 26 + 26 = 10 + 26 $$ $$ 5x = 36 $$ $$ {{5x}\over 5} = {{36}\over 5} $$ $$ x = 7,2$$ Substituindo na outra expressão: $$ y = 13 – 7,2 $$ $$ x = 5,8 $$ $$ V = \{(5,8; 7,2)\} $$

Continue lendo “01.060 – Matemática, Álgebra. Sistemas de equações com duas incógnitas. Exercícios.”

30 de dezembro de 20174 de julho de 2020

01.059 – Matemática, Álgebra. Sistemas de equações com duas incógnitas.

Sistemas com duas incógnitas

Até o último post falando de equações, vimos somente situações em que aparece apenas uma incógnita. E se nos depararmos com um problema em que haja duas incógnitas, como iremos proceder?

Com as ferramentas, ou seja, métodos de resolução vistos até agora, fica complicado. No entanto existem modos de chegarmos a uma resposta satisfatória. Depende das informações que tivermos a respeito dessas incógnitas. Geralmente é necessário saber de duas relações entre essas elas. Isso nos permitirá escrever duas equações envolvendo essas incógnitas e assim formaremos um sistema de duas equações. De posse dessas duas equações, aplicando o raciocínio adequado, poderemos determinar o valor das incógnitas. Nesse raciocínio iremos utilizar as propriedades que estudamos anteriormente para as operações, as expressões algébricas, enfim tudo que vimos até o momento.

Continue lendo “01.059 – Matemática, Álgebra. Sistemas de equações com duas incógnitas.”

27 de dezembro de 20171 de julho de 2020

01.058 – Matemática – Álgebra, Equação bi-quadrada.

Equação bi-quadrada?

Achou engraçado o nome?! Pois é, apesar do nome é um tipo de equação do 4º Grau, porém incompleta. Vejamos. Uma equação do 4º Grau, completa fica assim em sua forma geral.

$\bbox[silver,5px,border:2px solid aqua]{ ax^4 + bx^3 + cx^2 +dx + e = 0}$

Grande, não é?! Essas equações são resolvidas por um método diferente e apenas para adiantar, elas podem ter até quatro raízes reais. Mas ainda não é o momento de estudarmos coisas desse nível.

Então o que é essa tal de equação bi-quadrada? Eu disse no começo que ela é uma equação incompleta do 4º Grau. Sua forma geral pode ser apresentada assim:

$\bbox[silver,5px,border:2px solid aqua]{ax^4 + bx^2 + c = 0} $

Ela não tem os termos onde a variável x aparece com expoente ímpar

$\bbox[silver,5px,border:2px solid aqua]{(x^3 ; x)}$

Continue lendo “01.058 – Matemática – Álgebra, Equação bi-quadrada.”

27 de dezembro de 20171 de julho de 2020

01.057 – Matemática, Álgebra. Equações incompletas do 2ºGrau, exercícios resolvidos.

Resolvendo exercícios

Determine o conjunto verdade das equações incompletas do segundo grau que seguem.

a) $ 6x² = 0 $

Um produto é nulo se um dos fatores é nulo. No caso, temos dois fatores onde um é igual a seis (6) e o outro $ x^2$. O único fator que pode ser nulo é o segundo e portanto:

$ x^2 = 0 $

$ x = 0 $

$ V = \{0\} $

b) $ x² – 16 = 0 $

Podemos aplicar o método abreviado ou reduzido na resolução dessa equação. Assim:

$ x^2 – 16 = 0 $

${x^2 – 16 +16 = 0 + 16}$

$ x^2 = 16 $

$\sqrt[2]{x^2} = \sqrt[2]{16} $

$ x = \pm {4 } $

$ V = \{ – 4, + 4\} $

c) $ 5x² – 125 = 0 $

O mesmo caso do exercício anterior.

$ 5x^2 – 125 = 0 $

$ 5x^2 – 125 + 125 = 0 + 125 $

$ 5x^2 = 125 $

$ {{5x^2}\over 5} = {125\over {5}} $

$ x^2 = 25 $

$\sqrt[2]{x^2} = \sqrt[2]{25} $

$x = \pm 5 $

$ V = \{ -5, + 5\} $

d) $ 2x² + 10x = 0$

Esta é uma equação incompleta do tipo em que o termo independente c é nulo. O procedimento agora é diferente, como vimos na parte explicativa.

$ 2x^2 + 10x = 0 $

Entre os dois termos da equação existe um fator comum

$ 2x $

Vamos colocar em evidência esse fator comum, dividindo os dois membros por esse mesmo fator.

$ {2x} [{{2x^2 + 10x)}\over 2x}] = 0 $

$ 2x{(x + 5)} = 0 $

Para concluir, vamos igualar os dois fatores a zero e obter as duas raízes correspondentes.

$ 2x = 0 $

${2x\over 2} = {0\over 2}$

$ x = 0$

$ x + 5 = 0 $

$ x + 5 – 5 = 0 – 5 $

$ x = -5 $

$ V = \{-5, 0\} $

e) $ 7x² – 49x = 0$

O mesmo caso anterior. O fator comum entre os dois termos da equação é

$ 7x $

Colocando em evidência:

${7x}\cdot[{{7x^2 – 49x}\over 7x}] = 0 $

$ 7x[ x – 7] = 0 $

Igualando os dois fatores a zero temos:

$ 7x = 0 $

${7x\over 7} = {0\over 7}$

$ x = 0$

$ x – 7 = 0 $

$ x – 7 + 7 = 0 + 7 $

$ x = 7 $

$ V = \{0, 7\} $

f) $ x² + 4x = 0 $

Fator comum entre os dois termos $ x $. Colocando em evidência:

$ x\cdot[{{x^2 + 4x}\over x}] = 0 $

$ x\cdot [x + 4] = 0 $

Igualando os fatores à zero, teremos:

$ x = 0$

$ x + 4 = 0 $

$ x + 4 – 4 = 0 – 4$

$ x = -4$

$ V = \{-4, 0\} $

g) $ 3x² + 18x = 0$

Mais um do mesmo tipo. Fator comum é $ 3x $ Colocamos em evidência:

${3x}\cdot({{3x^2 + 18x}\over {3x}}) = 0 $

$ 3x\cdot({x + 6}) = 0 $

$ 3x = 0 $

$ x = 0 $

$ x + 6 = 0 $

$ x + 6 – 6 = 0 – 6$

$ x = -6 $

$V = \{-6, 0\} $

h) $ 2x² + 12 = 0$

Voltamos ao exemplo visto primeiro. Vamos resolver.

$2x^2 + 12 – 12 = 0 -12 $

$2x^2 = -12 $

${{2x^2}\over 2} = {-12\over 2} $

$ x^2 = -6 $

${ \sqrt[2]{x^2}} = {\sqrt[2]{-6}} $

$ {V = \emptyset} $

i) $ 10 x² – 90 = 0 $

Vamos resolver.

${ 10 x^2 – 90 + 90 = 0 + 90 }$

$ {10x^2 = 90 }$

$ {{10x^2}\over 10} = {{90}\over 10} $

${ x^2 = 9 }$

${\sqrt[2]{x^2} = \sqrt[2]{9} }$

$ x = \pm 3 $

$ V = \{-3, +3\} $

j) $ {3x^2 = 0 }$

Outro exemplo da equação que só tem o termo em $x^2$. Um produto só pode ser nulo se um dos fatores for nulo. Nesse caso, o fator que pode ser nulo é $x^2$. Portanto:

$ x^2 = 0 $

$\sqrt[2]{x^2} = \sqrt[2]{0}$

$ x = 0 $

$V = \{0\}$

l) ${10x^2 – 15x = 0}$

Estamos novamente com uma equação incompleta, onde falta o termo independente da variável, isto é, onde $x^0$. Temos um fator comum entre os dois termos restantes que é $5x$. Colocamos em evidência o fator comum, ficando:

${5x}\cdot[{{10x^2 – 15x}\over{5x}}] = 0 $

${5x[2x – 3] = 0} $

Igualando os dois fatores a zero, temos:

${5x = 0}$

$ x = 0$

${2x – 3 = 0}$

${2x = 3}$

${{2x}\over{2}} = {{3}\over {2}}$

${ x = 3/2 }$

$ V = \{0, 3/2\}$

m) ${7x^2 – 28 = 0}$

Nesta equação o termo inexistente é o que contem a variável $x^1$. Vamos pelo método abreviado:

${7x^2 – 28 = 0}$

$ {{7x^2 – 28}\over 7} = 0$

$ x^2 – 4 = 0$

${ x^2 = 4}$

${\sqrt[2]{x^2} = \sqrt[2]{4}}$

${ x = \pm{2}}$

$ { V = \{- 2, +2\}}$

n) ${3x^2 – 27 = 0 }$

O mesmo caso do anterior.

${3x^2 – 27} = 0$

${{3x^2 – 27}\over 3} = 0$

${x^2 – 9 = 0}$

${x^2 = 9}$

${\sqrt[2]{x^2} = \sqrt[2]{9}}$

${ x = \pm 3}$

$ V = \{-3, +3\} $

o) $ {5x^2 + 25 = 0}$

Vamos ver como fica esse.

${5x^2 + 25 = 0}$

${{5x^2 + 25}\over 5} = 0$

$ {x^2 + 5 = 0} $

$ x^5 = -5 $

$ \sqrt[2]{x^2} = \sqrt[2]{-5} $

$ \sqrt[2]{-5} ∉ R $

Por isso

${V = \emptyset }$

Curitiba, 13 de maio de 2016.

Republicado em 27 de dezembro de 2017.

Décio Adams

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26 de dezembro de 20171 de julho de 2020

01.056 – Matemática, Álgebra, Equações 2º Grau, usando discriminante.

Exercitando do discriminante.

Determine o conjunto verdade das equações do segundo grau, determinando primeiramente o discriminante para verificar o tipo de raízes, para depois obter seus valores.

01).$\color{Indigo}{ x² – 5x + 6 = 0} $

Para começar, iremos identificar os coeficientes da equação.

$ {a = 1} $

${ b = -5 }$

$ {c= 6}$

Calculando o discriminante:

$ \Delta = {b² – 4ac} $

$ \Delta = {(-5)² – 4\cdot 1\cdot 6} $

$ \Delta = 25 – 24 $

$ \Delta = 1$

$ \Delta \gt 0 $

Isto significa que a equação tem duas raízes reais e diferentes entre si. Podemos agora substituir na fórmula e calcular o restante.

$ x= {{-(-5)\pm\sqrt{\Delta}}\over 2\cdot 1} $

$ ={{5 \pm\sqrt{1}}\over 2} $

$ x= {{5 \pm 1}\over 2} $

As raízes serão:

$ x’= {{5 + 1}\over 2} = {{6}\over 2} =3 $

$ x”= {{ 5 – 1 }\over 2} = {{4}\over 2} = 2 $

O conjunto verdade é:

$$\color{Purple}{V = {\{2, 3\}}}$$

02). $\color{Indigo} {x² +3x -28 = 0} $

Os coeficientes da equação:

$ {a = 1}$

$ {b=3 }$

${ c = -28}$

Vamos calcular o discriminante:

$\Delta = b² – 4ac $

$\Delta = {3² – 4\cdot 1\cdot{(-28)}} $

$\Delta = {9 + 112} = 121$

$\Delta\gt 0 $

Também esta equação tem duas raízes reais e diferentes, pois o discriminante tem valor positivo.

Vamos aplicar a fórmula:

$ x = {{-b\pm\sqrt{\Delta}}\over 2}$

$ x= {{- 3\pm\sqrt{121}}\over 2\cdot 1} $

$ x = {{-3 \pm 11}\over 2} $

As raízes da equação serão respectivamente:

$x’ = {{-3 + 11}\over 2} = {{8}\over 2} = 4 $

$ x” = {{-3 – 11}\over 2} = {{-14}\over 2} = -7 $

$$\color{Purple}{V= {\{-7, 4\}}}$$

03). $\color{Indigo}{ x² -6x + 9 = 0 }$$

Os coeficientes da equação são:

${a = 1} $ ${ b = -6}$ ${c = 9}$

Hora do discriminante:

$\Delta = b² – 4ac $

$\Delta= {(-6)² – 4\cdot 1\cdot 9} = {36 – 36} = 0$

$\Delta = 0$

Temos diante de nós uma equação do segundo grau com duas raízes reais e iguais.

Aplicando a fórmula:

$ x = {{- b \pm\sqrt{\Delta}}\over 2a} $

$ x = {{-(-6)\pm\sqrt{0}}\over 2\cdot 1}$

As raízes serão:

$ x’ = x” = {{6}\over 2} = 3 $

$$\color{Purple}{V = {\{3\}}}$$

04). $\color{Indigo}{x² – 5x + 7 = 0}$

Coeficientes:

${a=1}$ ${b= -5}$

${c=7}$

Calculando o discriminante:

$\Delta = {b² – 4ac} $

$ \Delta = {(-5)² – 4\cdot 1\cdot 7} = 25 – 28 = -3$

$\Delta \lt 0$

Equação sem solução no conjunto dos números reais, pois o discriminante é negativo.

$$\color{Purple}{V= {\emptyset}}$$

05). $\color{Indigo}{ x² + 7x + 15 = 0 }$

Coeficientes ${a = 1}$

${b = 7}$

${ c=15 }$

O discriminante fica:

$\Delta = {b² – 4ac} $

$\Delta = {7² – 4\cdot 1\cdot 15 } = {49 – 60} = -11$

$\Delta\lt 0$

Mais uma equação sem solução no conjunto dos números reais. O discriminante é negativo.

$$\color{Purple}{V = {\emptyset}}$$

6. $\color{Indigo}{ x² + 8x + 16 = 0 }$

Os coeficientes são:

${ a= 1 }$ ${b=8}$ ${c = 16}$

Vamos ao discriminante:

$\Delta = {b² – 4ac} $

$\Delta = {8² – 4\cdot 1\cdot 16} = {64-64} = 0 $

$ \Delta = 0 $

Com o discriminante igual a zero, mais uma vez temos duas raizes reais e iguais.

$x= {{-b\pm\sqrt{\Delta}}\over 2a} $

$ x= {{-8\pm\sqrt{0}}\over 2\cdot 1} $

$ x= {{-8}\over 2} = -4 $

$ x’ = x” = -4 $

$$\color{Purple}{V = {\{ -4\}}}$$

7. $\color{Indigo}{ x² -4x – 77 = 0 }$

Coeficientes:

${a=1 }$

${b=-4}$

${c=-77}$

Calculando o discriminante:

$\Delta = {b² – 4ac} $

$\Delta ={(-4)² – 4\cdot 1\cdot (-77)} = 16 +308 = 324 $ $\Delta \gt 0$

Com o discriminante positivo, temos duas raízes reais e diferentes.

$ x = {{-b\pm\sqrt{\Delta}}\over 2a} $

$ x={{-(-4)\pm\sqrt{324}}\over 2\cdot 1} $

$x= {{ 4 \pm 18}\over 2} $

As raízes são:

$x’ = {{4 + 18}\over 2} = {{22}\over 2} = 11$

$ x” = {{4 – 18}\over 2 } = {{-14}\over 2} = -7 $

$$\color{Purple}{V = {\{-7, 11\}}}$$

Havendo dúvidas, consulte para esclarecimentos por um dos canais abaixo.

Curitiba, 11 de maio de 2016

Décio Adams

25 de dezembro de 20171 de julho de 2020

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01.054 – Matemática, Álgebra, Equações incompletas do 2º Grau.

Incompletas?

Isso mesmo. Até o presente momento, vimos só as equações do segundo grau, ditas completas, isto é, contendo coeficientes numéricos diferentes de zero em todos os termos, na forma geral.

$$\color{NavyBlue}{ ax² + bx + c = 0 }$$

Mas há as equações do segundo grau que têm um dos coeficientes igual a zero (0), com exceção do a, pois nesse caso deixaria de ser do segundo grau, passando a ser uma equação do primeiro grau. Temos, pois, a possibilidade de uma equação com os coeficientes b ou c iguais a zero (0). Elas ficam com a forma:

$$\color{Orchid} {ax² + c = 0}$$

$$\color{Orchid} {ax² + bx = 0} $$

$$\color{Orchid} {ax² = 0} $$

Continue lendo “01.054 – Matemática, Álgebra, Equações incompletas do 2º Grau.”

22 de dezembro de 20171 de julho de 2020

01.052 – Matemática, Álgebra, Equação do segundo grau: Discriminante.

Equação do segundo grau com e sem solução

Vamos lembrar da Fórmula de Bhaskara e analisar com atenção uma parte dela. Vamos deter nossos olhos na parte que está sob o sinal de raiz quadrada, precedido dos sinais $\pm$.

$$\color{Indigo}{ x = {{-b \pm\sqrt{b^2 – 4ac}}\over 2a}}$$

Nossa atenção deve ser especial sobre essa parte da fórmula, pois sabemos do estudo das raízes de números relativos que, as raízes de índice par só existem para os números positivos e que isso se deve ao fato de só existirem números reais positivos, resultantes de qualquer outro número real elevado a um expoente par.

Como consequência, se a expressão existente sob o radical tiver um valor negativo, não vai haver solução da equação no conjunto dos números reais. Essa expressão é denominada discriminante e costuma ser representada pela letra grega Δ. Assim, teremos:

$$\color{Orchid}{ \Delta = b^2 – 4ac}$$

Continue lendo “01.052 – Matemática, Álgebra, Equação do segundo grau: Discriminante.”

22 de dezembro de 201730 de junho de 2020

01.050 – Matemática, álgebra. Equações do primeiro grau, exercícios resolvidos e para resolver.

Exercícios de equações do primeiro grau

Vamos determinar o conjunto verdade das equações do primeiro grau a seguir.

a)\[\color{Sepia}{7 y – 2 = 26}\] \[{7 y – 2 + 2} = {26 + 2}\] \[{7y} = {28}\] \[{(7y)\over{7}} = {(28\over 7}\] \[y = 7 \]

\[\color{Orchid}{V =\{7\}}\]

b) \[\color{Sepia}{ 25 – 3x = 17 – 7}\] \[25 – 3x -25 = 10 – 25\] \[ -3x = -15\]\[{-3x\over-3}= {-15\over -3}\] \[x = 5\]

\[\color{Orchid}{ x =\{5\}}\]

c)$$\color{Sepia}{ 4x + 12 – x = 25 – 7 }$$

$ 4x – x + 12 – 12 = 18 – 12 $

$3x = 6 $

$ {3x\over 3} = {6\over 3}$

$ x = 2$

\[\color{Orchid}{V=\{2\}}\]

d)$$\color{Sepia}{ 6x – 9 = x + 26}$$

$ 6x – 9 + 9 -x = x – x + 26 + 9 $

$5x = 35 $

${5x\over 5} = {35\over 5} $

$ x = 7 $

\[\color{Orchid}{V =\{7\}}\]

e)$$\color{sepia}{{2\over 3}{x} +{ 5} = {44\over{ 4}}}$$

${2\over3}{x}+ (+ 5 – 5) = 11 – 5 $

${2\over 3}{x}\cdot 3 = 6\cdot 3 $

$ 2x = 18 $

${2x\over 2} = {18\over 2} $

$ x = 9 $

\[\color{Orchid}{V=\{ 9\}}\]

Resolvendo alguns problemas.

José vendeu em sua loja, no decorrer de um dia de semana, várias quantidades de uma mesma mercadoria. Dependendo das quantidades e disposição dos clientes, ele concedeu alguns descontos. Vendeu 3 unidades a um cliente, pelo valor de $R\$ 140,00$. Outro pagou por duas unidades $R\$ 100,00$ e um terceiro pagou por uma unidade $R\$ 60,00$. Qual foi o valor médio de venda de cada unidade?

Vamos representar por$ x $ o valor médio de venda de cada unidade. Podemos assim escrever uma pequena equação.

$\begin{align}{3x + 2x + x} = {140,00 + 100,00 + 60,00}\end{align} $

$\begin{align}{6x} = 300,00\end{align} $

$\begin{align}{6x\over 6} = {300,00\over 6}\end{align}$

$\begin{align} {x} = {50,00}\end{align}$

$$\color{Orchid}{V = R\$ 50,00}$$.

As seis unidades foram vendidas pelo preço médio de $\color{Indigo}{R\$ 50,00}$

2. Uma peça de tecido tem, ao todo, $40\,m$ de comprimento. Uma confecção usa esse tecido para fabricar conjuntos de moleton. Cada conjunto consome 2,5 m de tecido. Quantos conjuntos podem ser fabricados com 5 peças de tecido?

A nossa incógnita nesse problema é a quantidade de conjuntos e vamos representa-la pela letra $y$. O total de tecido obtemos multiplicando o comprimento de cada peça por $5$. Esse total é igual ao número de conjuntos pelo comprimento do tecido gasto na confecção de cada um. Assim:

$\begin{align}{2,5y} = 5\cdot 40\end{align}$

$\begin{align}{2,5y\over 2,5} = {200\over 2,5}\end{align} $

$\begin{align}{y} = {80}\end{align}$

\[\color{Orchid}{V = 80}\].

Podem ser fabricados 80 conjuntos com as 5 peças de tecido.

Alguns exercícios para treinar em seu caderno ou bloco de anotações.

a) Determine o conjunto verdade (solução) das equações do primeiro grau listadas a seguir.

I) $\color{Brown}{24 – 3x = x – 16}$

II)$\color{Brown}{{5\over3}x +{ 8\over6} = {12\over4}}$

III)$\color{Brown}{2x + 7 = 5x + 22}$

IV)$\color{Brown}{{4/3}x – 5/2 = 3x – 42}$

V)$\color{Brown}{81 – 5y = – 3y + 11}$

VI)$\color{Brown}{ – 64 + 2x – 7/2 = 9}$

VII)$\color{Brown}{ 18 + 5y – 9/5 = y -4}$

VIII)$\color{Brown}{ 3x + 25 = – x + 5}$

IX) $\color{Brown}{7x – 26 = 2x + 14}$

X) $\color{Brown}{ 243 – 9x = 27 – 3x}$

b)Resolva, usando equações do primeiro grau, os pequenos problemas propostos a seguir.

I) Dona Elisa resolveu dar uma volta no Shopping Center que havia nas redondezas. Enquanto ia vendo as vitrines, viu um par de sapatos que lhe agradou. Comprou um que lhe servia e na cor preferida por ${ R\$ 145,00}$. Na continuação do seu passeio encontrou também um cinto de que estava necessitada. O preço era de promoção e ela decidiu adquirir o cinto, que custou ${R\$ 45,00}$. Também comprou uma blusa para combinar com uma saia que ganhara de presente do amigo secreto por ocasião do Natal. O preço foi de ${R\$ 55,00}$. A fome bateu e foi até a praça de alimentação, onde comeu uma salada de frutas, junto com um copo de água de coco. Havia verificado que seu limite no cartão de crédito, ao sair de casa, era de ${R\$ 300,00}$. Depois de pagar as compras e o lanche, verificou que ainda lhe restavam ${R\$ 37,00}$ do limite. Qual foi o preço que pagou pela salada de frutas com o copo de água de côco?

II) Pedro foi ao centro da cidade a procura de brinquedos para comprar de presente de Natal para a família. Levava suas contas a sério e não poderia gastar mais do que ${R\$ 500,00}$ nas compras que iria fazer. A vida andava difícil. Começou comprando um par de sandálias para a esposa por ${R\$ 115,00}$, também um tênis para a filha por ${R\$ 83,00}$. Foi até a loja de brinquedos onde adquiriu um boneco dos power rangers para o filho caçula por ${R\$ 145,00}$. Faltava o presente para o filho mais velho, que queria um par de tênis de marca. vamos ajudar Pedro a saber de quanto pode dispor na compra do tênis para o filho, sem ultrapassar o valor inicialmente estabelecido como limite?

III)Joãozinho recebeu de sua mãe uma nota de ${R\$ 50,00}$, junto com um bilhete onde estavam anotadas as compras que deveria trazer da mercearia de seu José, onde fazia o abastecimento da família das pequenas compras do dia-a-dia. Ao chegar no estabelecimento, Joãozinho viu um doce de que gostava muito. Ficou pensando se daria uma sobrinha para comprar um daqueles doces que tanto gostava. No bilhete constavam: 1,0 kg de carne moída de primeira, 1,0 kg de tomate bem maduro, 0,5 kg de cebola, um pacote de 500 g de espaguetti para fazer uma macarronada, dois pés de alface, uma dúzia de ovos, dois litros de leite UHT integral. O menino foi juntando suas compras num pequeno carrinho. O açougueiro colocou um punhado de carne moída e pôs na balança. Na etiqueta do preço constava ${R\$ 22,50}$. Na balança das verduras alguns tomates totalizaram ${R\$ 5,80}$, as cebolas custaram ${R\$ 3,75}$; o pacote de espaguetti saiu por ${R\$ 4,25}$ e os dois litros de custaram ${R\$ 3,20}$ cada um. Os ovos ficaram por ${R\$3,85}$ e cada pé de alface não ficou por menos de ${R\$ 1,35}$. Ajude o Joãozinho a verificar se dá para comprar um daqueles doces, que custam ${R\$ 2,50}$ cada um? Será que vai dar?

Curitiba, 06 de maio de 2016. Melhorado e republicado em 22 de dezembro de 2017.

Décio Adams