Exercitando do discriminante.
Determine o conjunto verdade das equações do segundo grau, determinando primeiramente o discriminante para verificar o tipo de raízes, para depois obter seus valores.
01).$\color{Indigo}{ x² – 5x + 6 = 0} $
Para começar, iremos identificar os coeficientes da equação.
$ {a = 1} $
${ b = -5 }$
$ {c= 6}$
Calculando o discriminante:
$ \Delta = {b² – 4ac} $
$ \Delta = {(-5)² – 4\cdot 1\cdot 6} $
$ \Delta = 25 – 24 $
$ \Delta = 1$
$ \Delta \gt 0 $
Isto significa que a equação tem duas raízes reais e diferentes entre si. Podemos agora substituir na fórmula e calcular o restante.
$ x= {{-(-5)\pm\sqrt{\Delta}}\over 2\cdot 1} $
$ ={{5 \pm\sqrt{1}}\over 2} $
$ x= {{5 \pm 1}\over 2} $
As raízes serão:
$ x’= {{5 + 1}\over 2} = {{6}\over 2} =3 $
$ x”= {{ 5 – 1 }\over 2} = {{4}\over 2} = 2 $
O conjunto verdade é:
$$\color{Purple}{V = {\{2, 3\}}}$$
02). $\color{Indigo} {x² +3x -28 = 0} $
Os coeficientes da equação:
$ {a = 1}$
$ {b=3 }$
${ c = -28}$
Vamos calcular o discriminante:
$\Delta = b² – 4ac $
$\Delta = {3² – 4\cdot 1\cdot{(-28)}} $
$\Delta = {9 + 112} = 121$
$\Delta\gt 0 $
Também esta equação tem duas raízes reais e diferentes, pois o discriminante tem valor positivo.
Vamos aplicar a fórmula:
$ x = {{-b\pm\sqrt{\Delta}}\over 2}$
$ x= {{- 3\pm\sqrt{121}}\over 2\cdot 1} $
$ x = {{-3 \pm 11}\over 2} $
As raízes da equação serão respectivamente:
$x’ = {{-3 + 11}\over 2} = {{8}\over 2} = 4 $
$ x” = {{-3 – 11}\over 2} = {{-14}\over 2} = -7 $
$$\color{Purple}{V= {\{-7, 4\}}}$$
03). $\color{Indigo}{ x² -6x + 9 = 0 }$$
Os coeficientes da equação são:
${a = 1} $ ${ b = -6}$ ${c = 9}$
Hora do discriminante:
$\Delta = b² – 4ac $
$\Delta= {(-6)² – 4\cdot 1\cdot 9} = {36 – 36} = 0$
$\Delta = 0$
Temos diante de nós uma equação do segundo grau com duas raízes reais e iguais.
Aplicando a fórmula:
$ x = {{- b \pm\sqrt{\Delta}}\over 2a} $
$ x = {{-(-6)\pm\sqrt{0}}\over 2\cdot 1}$
As raízes serão:
$ x’ = x” = {{6}\over 2} = 3 $
$$\color{Purple}{V = {\{3\}}}$$
04). $\color{Indigo}{x² – 5x + 7 = 0}$
Coeficientes:
${a=1}$ ${b= -5}$
${c=7}$
Calculando o discriminante:
$\Delta = {b² – 4ac} $
$ \Delta = {(-5)² – 4\cdot 1\cdot 7} = 25 – 28 = -3$
$\Delta \lt 0$
Equação sem solução no conjunto dos números reais, pois o discriminante é negativo.
$$\color{Purple}{V= {\emptyset}}$$
05). $\color{Indigo}{ x² + 7x + 15 = 0 }$
Coeficientes ${a = 1}$
${b = 7}$
${ c=15 }$
O discriminante fica:
$\Delta = {b² – 4ac} $
$\Delta = {7² – 4\cdot 1\cdot 15 } = {49 – 60} = -11$
$\Delta\lt 0$
Mais uma equação sem solução no conjunto dos números reais. O discriminante é negativo.
$$\color{Purple}{V = {\emptyset}}$$
6. $\color{Indigo}{ x² + 8x + 16 = 0 }$
Os coeficientes são:
${ a= 1 }$ ${b=8}$ ${c = 16}$
Vamos ao discriminante:
$\Delta = {b² – 4ac} $
$\Delta = {8² – 4\cdot 1\cdot 16} = {64-64} = 0 $
$ \Delta = 0 $
Com o discriminante igual a zero, mais uma vez temos duas raizes reais e iguais.
$x= {{-b\pm\sqrt{\Delta}}\over 2a} $
$ x= {{-8\pm\sqrt{0}}\over 2\cdot 1} $
$ x= {{-8}\over 2} = -4 $
$ x’ = x” = -4 $
$$\color{Purple}{V = {\{ -4\}}}$$
7. $\color{Indigo}{ x² -4x – 77 = 0 }$
Coeficientes:
${a=1 }$
${b=-4}$
${c=-77}$
Calculando o discriminante:
$\Delta = {b² – 4ac} $
$\Delta ={(-4)² – 4\cdot 1\cdot (-77)} = 16 +308 = 324 $ $\Delta \gt 0$
Com o discriminante positivo, temos duas raízes reais e diferentes.
$ x = {{-b\pm\sqrt{\Delta}}\over 2a} $
$ x={{-(-4)\pm\sqrt{324}}\over 2\cdot 1} $
$x= {{ 4 \pm 18}\over 2} $
As raízes são:
$x’ = {{4 + 18}\over 2} = {{22}\over 2} = 11$
$ x” = {{4 – 18}\over 2 } = {{-14}\over 2} = -7 $
$$\color{Purple}{V = {\{-7, 11\}}}$$
Havendo dúvidas, consulte para esclarecimentos por um dos canais abaixo.
Curitiba, 11 de maio de 2016
Décio Adams
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