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Continue lendo “01.046 – Matemática – Álgebra, Produtos notáveis. Exercícios resolvidos.”
Adicionar e depois subtrair as expressões polinomiais, ordenando os resultados em ordem crescente dos expoentes da variável comum a todos os termos.
a) $$\color{Sepia}{5ay – 3 by^5 – 2 y^2 + a y^3} $$ $$\color{Sepia}{2ay^3 + 3by^5 – 2ay}$$
Adição: $$\color{Red}{({5ay – 2ay}) + ({-3by^5 + 3by^5}) – 2y^2 +({ay^3 + 2ay^3})}$$
$$\color{Red}{3ay – 2y^2 +3ay^3}$$
Já está em ordem crescente dos expoentes de y.
Subtração: $$\color{Sepia}{({5ay – 3by^5 – 2y^2 + ay^3}) – ({2ay^3 + 3by^5 – 2ay})}$$
Eliminando os parênteses, ficamos com:
$$\color{Red}{5ay – 3by^5 – 2y^2 + ay^3 – 2ay^3 – 3by^5 + 2ay}$$
Agrupando os termos semelhantes:
$$\color{Red}{({5ay + 2ay}) +({-3by^5 – 3by^5}) – 2y^2 +({ay^3 – 2ay^3})}$$
$$\color{Red}{7ay – 6by^5 -2by^2 – ay^3}$$
Ordenando os expoentes de y em ordem crescente.
$$\color{NavyBlue}{7ay -2by^2 -ay^3 -6by^5}$$
b) $$\color{Sepia}{7bx^2 – 3cx + 4 ax^4}$$
$$\color{Sepia}{3cx +4ax^4 – 2dx^3}$$
Adição: $$\color{Red}{({7bx^2 – 3cx + 4ax^4}) + ({+ 3cx + 4ax^4 – 2dx^3})} $$
$$\color{Red}{7bx^2 + {(- 3cx + 3cx )} + {(4ax^4 + 4ax^4}) – 2dx^3}$$
$$\color{Indigo}{7bx^2 + 8ax^4 – 2dx^3}$$
Em ordem crescente: $$\color{NavyBlue}{7bx^2 – 2dx^3 + 8ax^4}$$
Subtração: $$\color{Red}{({+ 7bx^2 – 3cx + 4ax^4}) – ({+ 3cx + 4ax^4 – 2dx^3})}$$
$$\color{Red}{+ 7bx^2 – 3cx + 4ax^4 – 3cx – 4ax^4 + 2dx^3}$$
$$\color{Red}{7bx^2 + ({ – 3cx – 3cx}) + ({4ax^4 – 4ax^4}) + 2dx^3}$$
$$\color{Indigo}{7bx^2 -6cx + 2dx^3}$$
Em ordem crescente: $$\color{NavyBlue}{-6cx + 7bx^2 + 2dx^3}$$
c) $$\color{Sepia}{mz^3 + 3nz – 5 z^2 }$$ $$\color{Sepia}{4mz^3 – 5z^2 + 4 nz}$$
Adição: $$\color{Red}{({mz^3 + 3nz – 5z^2}) + ({+4mz^3 – 5z^2 + 4nz})} $$
$$\color{Red}{({+ mz^3 + 4mz^3}) +({3nz + 4nz}) + ({- 5z^2 – 5z^2}) }$$
$$\color{NavyBlue}{5mz^3 + 7nz – 10z^2}$$ $$\color{NavyBlue}{7nz – 10z^2 + 5mz^3}$$
Subtração: $$\color{Red}{({mz^3 + 3nz – 5z^2}) – ({+ 4mz^3 – 5z^2 + 4nz})}$$
$$\color{Red}{mz^3 + 3nz – 5z^2 – 4mz^3 + 5z^2 – 4nz}$$
$$ \color{Indigo}{({mz^3 – 4 mz^3}) + ({ +3nz – 4nz}) + {( -5z^2 + 5z^2})}$$
$$\color{NavyBlue}{ – 3mz^3 – nz }$$ $$\color{NavyBlue}{ – nz – 3mz^3}$$
d)$$\color{Sepia}{13 x^4 + 9 x – 6x^3}$$
$$\color{Sepia}{8x + 3x^3 – 5x^4}$$
Adição: $$\color{Red}{({ +13x^4 + 9x – 6x^3}) +({+8x + 3x^3 – 5x^4})}$$
$$\color{Red}{ +13x^4 + 9x – 6x^3 + 8x + 3x^3 – 5x^4}$$
$$\color{Red}{({+ 13 x^4 – 5x^4}) + ({+9x + 8x}) + ({-6x^3 + 3x^3})}$$
$$\color{Indigo}{8 x^4+ 17x – 3x^3}$$
$$\color{NavyBlue}{ 17 x – 3x^3 + 8x^4 }$$
Subtração: $$\color{Red}{({13x^4 + 9x – 6x^3}) – ({+8x + 3x^3 – 5x^4})}$$
$$\color{Red}{13x^4 + 9x -6x^3 – 8x – 3x^3 + 5x^4}$$
$$\color{Red}{({13x^4 + 5x^4}) + ({+9x – 8x }) + ({-6x^3 – 3x^3})} $$
$$\color{Indigo}{18x^4 + x – 9x^3} $$
$$\color{NavyBlue}{ x – 9x^3 + 18x^4}$$
e)$$\color{Sepia}{x^2 y^3 + 2xy^2 – xy}$$
$$\color{Sepia}{4xy – 5x^2y^3 + xy^2 -4}$$
Adição: $$\color{Red}{x^2y^3 + 2xy^2 – xy} + {4xy – 5x^2y^3 +xy^2 – 4}$$
$$\color{Red}{x^2y^3 + 2xy^2 – xy + 4xy – 5x^2y^3 + xy^2 – 4} $$
$$\color{Indigo}{x^2y^3 – 5x^2y^3 + 2xy^2 + xy^2 – xy + 4xy -4}$$
$$\color{NavyBlue}{-4x^2y^3 + 3xy^2 + 3xy – 4}$$
Subtração: $$\color{Red}{x^2y^3 + 2xy^2 – xy} – {4xy – 5x^2y^3 +xy^2 – 4}$$
$$\color{Red}{x^2y^3 + 2xy^2 – xy – 4xy + 5x^2y^3 – xy^2 + 4}$$
$$\color{Indigo}{x^2y^3 + 5x^2y^3 + 2xy^2 -xy^2 -xy – 4xy + 4}$$
$$\color{NavyBlue}{6x^2y^3 + xy^2 – 5xy + 4}$$
f)$$\color{Sepia}{-mn^5 + 2m^3n – 6mn}$$ $$\color{Sepia}{5mn – mn^5 – 6m^3n}$$
Adição:
$$\color{Red}{-mn^5 + 2m^3n – 6mn} + {5mn – mn^5 – 6m^3n}$$
$$\color{Red}{-mn^5 + 2m^3n – 6mn + 5mn – mn^5 – 6m^3n}$$
$$\color{Indigo}{-mn^5 – mn^5 + 2m^3n – 6m^3n – 6 mn + 5mn}$$
$$\color{NavyBlue}{-2mn^5 – 4m^3n – mn}$$
Subtração:
$$\color{Red}{-mn^5 + 2m^3n – 6mn} – {5mn – mn^5 – 6m^3n}$$
$$\color{Red}{-mn^5 + 2m^3n – 6mn -5mn + mn^5 + 6m^3n}$$
$$\color{Indigo}{-mn^5 + mn^5 + 2m^3n – 6m^3n – 6mn – 5mn}$$
$$\color{NavyBlue}{ – 4m^3n – 11mn}$$
Agora vamos ver como se faz para multiplicar. Começamos com a multiplicação de termos algébricos por números e por outros termos.
Exemplo. $$\color{Sepia} {5\cdot {2ax^2}}$$
Basta multiplicar o coeficiente pelo fator 5 e teremos: $${10ax^2}$$
Outro exemplo: $$\color{Sepia}{2x\cdot 3y}$$ Resulta: $$\color{Red}{2\cdot 3}\cdot{x\cdot y}$$ $$\color{NavyBlue}{6xy}$$
Se houver fatores literais de mesma espécie nos termos multiplicados, vamos aplicar a propriedade comutativa da multiplicação (lembrar das propriedades das quatro operações básicas).
$$\color{Sepia}{({5ax^3})\cdot({4ax})}$$
Colocamos os fatores da mesma espécie juntos.
$$\color{Red}{{5\cdot 4}\cdot {a\cdot a} \cdot {x^3\cdot x}}$$ $$\color{Red}{20\cdot{a^{(1+1)}}\cdot{x^{(3 + 1)}}}$$ $$\color{NavyBlue}{20{a^2}{x^4}}$$
Multiplicamos os coeficientes numéricos e as letras tem seus expoentes somados, para resultar o termo final.
E se a multiplicação for de um termo por um polinômio?
Neste caso aplicamos a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição e subtração. Isto quer dizer que multiplicamos cada termo do polinômio pelo termo que está multiplicando. Para terminar, aplicamos os procedimentos vistos para os termos algébricos.
$$\color{Sepia}{2xy}\cdot {( 3x + 4y)}$$
$$\color{Sepia}{{2xy}\cdot{3x} + {2xy}\cdot {4y}}$$
Efetuando as operações teremos: $$\color{NavyBlue}{6{x^2}y + 8x{y^2}}$$
Outro exemplo.
$$\color{Sepia}{ax^3}\cdot{(2a + 3bx – 5x)}$$
$$\color{Sepia}{{ax^3}\cdot{2a} +{ax^3}\cdot{3bx} + {ax^3}\cdot{(-5x)}}$$
$$\color{Sepia}{2{a^2}{x^3} + 3ab{x^4} -{ 5a}{x^4}} $$
Efetue as multiplicações de termos e expressões algébricas listadas abaixo.
a) $\color{Indigo}{4a^3} \cdot{2ab^3}$
b) $\color{Indigo}{5x^3y}\cdot{2xy^4}$
c) $\color{Indigo}{3mn^2}\cdot{(2m^2 – 5m^3n^2 + m^3n^2)}$
d) $\color{Indigo}{2x^2z^3}\cdot{(xz^4 + x^3y^2 – 3x^2z^2)}$
e) $\color{Indigo}{abx^3}\cdot{(a^2bx^2 – 3a^3bx + ax^3)}$
Curitiba, 30 de março de 2016. Republicado em 13 de dezembro de 2017.
Décio Adams
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Já vimos que a radiciação é a operação inversa da potênciação. Lembrando:
Como vimos acima, podemos substituir o número 1, por uma potência de qualquer base e expoente igual a 0(zero). Assim nossa expressão acima, irá ficar:
\[\bbox[4px,border:2px solid Olive]{\color{Navy}{\frac {3^0}{3^5} = 3^{(0 – 5)}}}\]
Não resta dúvida de que a expressão \[\bbox[4px,border:2px solid Olive]{\color{Navy}{\frac{1}{3^5} = 3^{-5}}}\]
Não fica difícil entender que, o denominador com expoente negativo, passa para o numerador com o mesmo expoente, porém positivo. Vejam como:
Do mesmo modo, podemos transformar uma potência com expoente negativo, em fração cujo numerador é a unidade e o denominador a mesma potência com expoente positivo. Assim:
Continue lendo “01.024 – Matemática – Aritmética. Potências com expoente negativo.”
Para começar o assunto, vamos lembrar que potenciação é uma multiplicação de fatores iguais. Portanto iremos fazer uso do assunto visto no post anterior sobre a multiplicação. Vamos aos exemplos.
$$\begin{align}{(+ 3)^3}& = {(+3)\times (+3)\times (+3)}& ={+ 27}\end{align}$$
$$\begin{align}{(+ 2)^2} &= {(+2)\times(+2)}& = {+ 4}\end{align}$$
$$\begin{align}{(- 5)^2}&={(- 5)\cdot(- 5)}& = { + 25}\end{align}$$
$$\begin{align}{(-4)^3}&= {(- 4)\times(- 4)\times(- 4)}&= {- 64}\end{align}$$
$$\begin{align}{(- 2)^4}& ={(-2)\times(-2)\times(-2)\times(-2)}&= {+16}\end{align}$$
$$\begin{align}{(-3)^5}&={(-3)\times(-3)\times(-3)\times(-3)\times(-3)}&= {-243}\end{align}$$
Continue lendo “01.023 – Matemática – Aritmética. Potenciação de números relativos”
Vamos multiplicar os números:
Obs.: Temos que lembrar de uma coisa. A multiplicação é uma soma de parcelas iguais. Temos o multiplicando e o multiplicador, isto é, o número que está sendo multiplicado e o que está multiplicando. Nada impede a inversão dessas posições, de acordo com a propriedade comutativa. Isso transforma a multiplicação em uma soma de tantas parcelas (multiplicando), iguais a quantidade expressa pelo multiplicador.
Sejam os números:
$\bbox[4px,border:2px solid Olive]{\color{Brown}{(- 4)\times (- 5)}}$
$\bbox[4px,border:2px solid Olive]{\color{Brown}{(- 7)\times (- 4)}}$
Sejam os números:
Resumindo
Continue lendo “01.022 – Matemática – Aritmética. Multiplicação e divisão de números relativos”
Começamos da direita para esquerda, multiplicando ${4\times 8 = 32}$. O produto resultou em mais de uma dezena. Colocamos o algarismo das unidades (2), na direita, abaixo do quatro e reservamos as (3) dezenas para serem adicionadas ao resultado da multiplicação de ${4\times 1 = 4}$; adicionamos as dezenas reservadas ${4 + 3 = 7}$. Colocando o $7$ à esquerda do dois, teremos o resultado da multiplicação.
$$\color{Red}{4\times 18 = 72}$$
Um outro exemplo: $\color{Brown}{6\times 35 = ?}$
Começando novamente da direita: ${6\times 5 = 30}$. O algarismo das unidades é (0) e reservamos três dezenas para o próximo passo. Fazendo ${6\times 3 = 18}$. Adicionamos as três dezenas e temos ${18 + 3 = 21}$, que será escrito à esquerda do (0) das unidades. Teremos:
$$\color{NavyBlue}{6\times 35 = 210}$$
Continue lendo “01.007 – Matemática, aritmética – Multiplicação II”