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Matemática – Aritmética. Divisão exata e aproximada de números.

Divisão decimal aproximada.

Quando estudamos a divisão, vimos que grande parte das vezes essa operação não é exata, sobrando ao final do processo, um resto menor que o divisor. Naquele momento deixamos de efetuar esse complemento da operação. Ficamos com o resultado:

  • $\color{navy}{quociente\cdot divisor + resto = dividendo}$

Agora, vamos determinar o resultado da operação, com uma aproximação na forma de número decimal. Para isso recorremos à colocação de uma vírgula após o último algarismo inteiro obtido no quociente e acrescentamos um zero no resto. A partir daí tentamos continuar a divisão. Se ainda não for possível, acrescentamos um zero ao quociente e mais outro no resto. Podemos continuar assim indefinidamente. Talvez em algum momento ocorra uma divisão exata, ou então teremos uma dízima periódica, quando um ou mais algarismos começam a se repetir no quociente. O melhor de tudo é fazer isso na prática. 

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01.024 – Matemática – Aritmética. Potências com expoente negativo.

Radiciação, Potênciação, expoente negativo.

Já vimos que a radiciação é a operação inversa da potênciação. Lembrando:

  • Expoente igual a zero : potência de expoente zero, tem valor igual a 1.
  •  divisão de potências de mesma base: conserva a base e subtrai os expoentes. 
  • Então vejamos o seguinte:   \[\bbox[4px,border:2px solid Olive]{\color{Navy}{\frac {1}{3^5}}}\]

Como vimos acima, podemos substituir o número 1, por uma potência de qualquer base e expoente igual a 0(zero). Assim nossa expressão acima, irá ficar:

\[\bbox[4px,border:2px solid Olive]{\color{Navy}{\frac {3^0}{3^5}  = 3^{(0 – 5)}}}\]

Não resta dúvida de que a expressão \[\bbox[4px,border:2px solid Olive]{\color{Navy}{\frac{1}{3^5} = 3^{-5}}}\]

  • Podemos converter denominador com determinado expoente,em um fator acima do traço de fração, ou seja parte do numerador, trocando sinal do expoente. Mais exemplos:
  • $\color{Brown}{\frac {1}{5^3} = 5^{-3}}$
  • $\color{Brown}{\frac{1}{2^4} = 2^{-4}}$
  • $\color{Brown}{\frac{2}{3^{-2}} = 2\times {3^2}}$
  • $\color{Brown}{\frac{3^5}{5^{-4}} = {3^5}\times{5^4}}$

Não fica difícil entender que, o denominador com expoente negativo, passa para o numerador com o mesmo expoente, porém positivo. Vejam como:

  • $\color{Maroon}{\frac {1}{7^{-5}}  = 7^5 }$
  • $\color{Maroon}{\frac{1}{{11}^{-4}} = {11}^4}$

Do mesmo modo, podemos transformar uma potência com expoente negativo, em fração cujo numerador é a unidade e o denominador a mesma potência com expoente positivo. Assim:

  • $\color{Maroon}{7^{-3} = \frac{1}{7^3}}$
  • $\color{Maroon}{5^{-7} = \frac{1}{5^7}}$

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01.023 – Matemática – Aritmética. Potenciação de números relativos

Potências de números relativos.

Para começar o assunto, vamos lembrar que potenciação é uma multiplicação de fatores iguais. Portanto iremos fazer uso do assunto visto no post anterior sobre a multiplicação. Vamos aos exemplos.

$$\begin{align}{(+ 3)^3}& = {(+3)\times (+3)\times (+3)}& ={+ 27}\end{align}$$

$$\begin{align}{(+ 2)^2} &= {(+2)\times(+2)}& = {+ 4}\end{align}$$

$$\begin{align}{(- 5)^2}&={(- 5)\cdot(- 5)}& = { + 25}\end{align}$$

$$\begin{align}{(-4)^3}&= {(- 4)\times(- 4)\times(- 4)}&= {- 64}\end{align}$$

$$\begin{align}{(- 2)^4}& ={(-2)\times(-2)\times(-2)\times(-2)}&= {+16}\end{align}$$

$$\begin{align}{(-3)^5}&={(-3)\times(-3)\times(-3)\times(-3)\times(-3)}&= {-243}\end{align}$$

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01.022 – Matemática – Aritmética. Multiplicação e divisão de números relativos

Multiplicação de relativos.

  • Números positivos.

    Vamos multiplicar os números:

  • $\bbox[4px,border:2px solid Olive]{\color{Brown}{(+5)\times (+3)}}$
    • $\color{Navy}{(+5)\times (+3) = (+5) + (+5) + (+ 5) = 15}$
  • $\bbox[4px,border:2px solid Olive]{\color{Brown}{(+4)\times(+2)}}$
    • $\color{Navy}{(+4 )\times (+2)= (+4) + (+4)= 8}$
  • Para multiplicar números positivos multiplicamos os módulos e ao resultado damos o sinal (+). 

Obs.: Temos que lembrar de uma coisa. A multiplicação é uma soma de parcelas iguais. Temos o multiplicando e o multiplicador, isto é, o número que está sendo multiplicado e o que está multiplicando. Nada impede a inversão dessas posições, de acordo com a propriedade comutativa. Isso transforma a multiplicação em uma soma de tantas parcelas (multiplicando), iguais a quantidade expressa pelo multiplicador.

  • Números negativos.

  • Sejam os números:

    $\bbox[4px,border:2px solid Olive]{\color{Brown}{(- 4)\times (- 5)}}$

    $\bbox[4px,border:2px solid Olive]{\color{Brown}{(- 7)\times (- 4)}}$

    • $\color{Navy}{(-4)\times (-5) = {- (-4) – (-4) – (-4) – (-4) – (-4) = 4 + 4 + 4 + 4 + 4}= 20}$
    • $\color{Navy}{(- 7)\times (-4) = – (-7) – (-7) – (-7) – (-7) =  7 + 7 + 7 + 7 = 28}$
  • Ao multiplicar dois números negativos, multiplicamos os módulos e atribuímos o sinal (+).
  •  Resumindo podemos dizer que na multiplicação de números de sinais iguais, o resultado é positivo. 

  • Números de sinais contrários.

Sejam os números:

  • $\bbox[4px,border:2px solid Olive]{\color{Brown}{(- 6)\times (+ 3)}}$
  • $\bbox[4px,border:2px solid Olive]{\color{Brown}{(+ 7)\times (-4)}}$
  • $\color{Navy}{(- 6)\times (+3) = +(-6) + (-6) + (-6) = -6 -6 -6 = -18}$
  • $\color{Navy}{(+ 7)\times (-4) = -( +7) – (+7) – (+ 7) – (+7) = – 7 – 7 – 7 – 7 = – 28}$
  • A multiplicação de números de sinais contrários é igual ao produto dos módulos, com o sinal (-), sem importar a ordem dos fatores. 

Resumindo

  • $\bbox[4px,border:2px solid Olive]{\color{Brown}{(+)\times (+) = \{+\}}}$
  • $\bbox[4px,border:2px solid Olive]{\color{Brown}{(-)\times (-) = \{+\}}}$
  • $\bbox[4px,border:2px solid Olive]{\color{Brown}{(+)\times (-) = \{-\}}}$
  • $\bbox[4px,border:2px solid Olive]{\color{Brown}{(-)\times (+) = \{-\}}}$

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01.021 – Matemática, aritimética. Adição e subtração de números relativos.

Operações com números relativos – adição.

  • Números com o mesmo sinal e sinais opostos.

Vamos usar exemplos práticos. Você e seu irmão trabalham, recebendo por dia de serviço. Se seu trabalho rende $\color{Navy}{R\$ 100,00}$ por dia e o de seu irmão $\color{Navy}{R\$ 110,00}$ por dia. Quanto terão a receber ao final de um dia de serviço?

É fácil dizer que a soma será de $\color{Brown}{100,00 + 110,00 = 210,00}$. Representando os valores ganhos como números positivos, podemos escrever:

$$\color{Maroon}{(+100) + (+110,00)= + 210,00}$$

Vamos supor que vocês compraram uma muda de roupas para cada um, gastando $\color{Navy}{R\$ 90,00}$ na sua roupa e $\color{Navy}{R\$ 85,00}$ na roupa do seu irmão. O dinheiro gasto, podemos representar por valores negativos, pois irão diminuir o saldo disponível.

  • $$\color{Navy}{(- 90,00) + (- 85,00) = -175,00}$$

Vamos determinar o saldo que sobra no seu bolso e no de seu irmão.

  • $$\color{Navy}{(+100,00) + (- 90,00)= +10,00}$$

No seu bolso haverá o saldo de $\color{Brown}{R$ 10,00}$.

  • $$\color{Navy}{(+ 110,00) +(- 85,00)= +25,00}$$

No bolso de seu irmão, haverá um saldo de $\color{Brown}{R$ 25,00}$.

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01.020 – Matemática, aritmética. Números inteiros relativos.

Números relativos.

Nos primórdios da matemática, surgiram primeiramente os números, hoje denominados Números Naturais, associados a quantidades de objetos. A necessidade de exprimir quantidades que não representam um número inteiro de objetos, fez surgir as divisões decimais. Os algarismos após a vírgula, mas exatos, ou as dízimas periódicas. Isso ampliou grandemente as opções de resolução de problemas. Persistia no entanto um problema. A subtração só era possível se o minuendo tivesse valor maior que o subtraendo. Isso deixava a operação de subtração impossível em muitas situações. Como a necessidade costuma resultar no surgimento de inovações, foi também aqui que surgiu o que hoje conhecemos como Conjunto de Números Inteiros Relativos e posteriormente, os Racionais Relativos. 

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