Buscas na internet.

Pesquisando na internet, descobri que nos últimos dias a procura pelo assunto potenciação, por parte dos internautas, aumentou quase 100%. Isso significa que estou atacando um dos assuntos mais procurados. Vamos seguir mais um pouco. Apresentar mais uns detalhes sobre o assunto.

• Vamos ver como se faz uma multiplicação de potências iguais.
• Assim: $\color{Blue}{3^2\times 3^2\times 3^2\times 3^2 = (3^2)^4}$
• Temos agora uma potência de potência, isto é, três elevado ao quadrado, elevado a quarta potência.
• Vamos aplicar no começo, a regrinha da multiplicação de potências de mesma base.
• Teremos:$\bbox[4px,border:2px solid olive]{\color{Blue}{3^{(2+2+2+2)} = 3^8}}$

Se observarmos bem, os expoentes na expressão $\color{Blue}{{[(3)^2]}^4}$, vemos que, se multiplicarmos os expoentes $\color{Blue}{2\times 4= 8}$ ou seja a soma dos expoentes das potências iguais.

Dessa forma pode-se afirmar que:

• “Para elevar uma potência a outra potência, basta conservar a base e multiplicar os expoentes”.
• Vamos exercitar um pouco?
  • $\color{Blue}{[(4)^2]^3 = 4^{(2\times 3)} = 4^6}$
  • $\color{Blue}{[(7)^3]^3 = 7^{(3\times 3)} = 7^9}$
  • $\color{Blue}{[(11)^4]^2 = (11)^(4\times 2) = (11)^8}$
  • $\color{Blue}{{[(5)^4]^5} = 5^{(4\times 5)} = 5^{20}}$

Fica muito simples perceber que a operação potenciação apresenta bem mais possibilidades de aplicações úteis, do que meramente substituir uma multiplicação por uma expressão mais simples, mais curta. Começam a pintar várias novidades. O que vimos até aqui é apenas um pequeno vislumbre do que é possível. Mas vamos devagar. Um degrau de cada vez.

Vamos recordar o que já vimos até aqui?

• Transformar potências em multiplicações de fatores iguais.
  • $\color{Blue}{7^3 = ?}$
  • $\color{blue}{5^2 = ?}$
  • $\color{Blue}{8^6 = ?}$
  • $\color{Blue}{3^4 = ?}$
  • $\color{Blue}{2^5 = ?}$

• Escrever na forma de potências as multiplicações.
  • $\color{Blue}{3\times3\times3\times3\times5\times5\times5 = ?}$
  • $\color{Blue}{5\times5\times5\times5\times5\times5 = ?}$
  • $\color{Blue}{4\times4\times4\times4\times4\times4\times4\times4 = ?}$
  • $\color{Blue}{{11}\times{11}\times{11}\times{11}\times{11} = ?}$
  • $\color{Blue}{7\times7\times7\times7 = ?}$

• Escrever o resultado das potências.
  • $\color{Blue}{3^3 = ?}$
  • $\color{Blue}{5^3 = ?}$
  • $\color{Blue}{2^5 = ?}$
  • $\color{Blue}{7^1 = ?}$
  • $\color{navy}{6^0 = ?}$
  • $\color{navy}{(500)^0 = ?}$
  • $\color{navy}{(50)^1 = ?}$

• Efetuar as multiplicações de potências de mesma base.
  • $\color{Blue}{{3^2}\times{3^4}\times{3^2}\times{3^3}\times{3^5} = ?}$
  • $\color{Blue}{{5^4}\times{5^3} = ?}$
  • $\color{Blue}{{4^0}\times{4^3}\times{4^5} = ?}$
  • $\color{Blue}{{6^2}\times{6^3}\times{6^3}\times{6^2} = ?}$
  • $\color{Blue}{{7^5}\times{7^1}\times{7^2} =?}$

• Efetuar as divisões das potências de mesma base.
  • $\color{Blue}{{(5^8)}\div {(5^3)} = ?}$
  • $\color{Blue}{{(13)^5}\div{(13)^2} = ?}$
  • $\color{Blue}{{(4^7)}\div{(4^7)} = ?}$
  • $\color{Blue}{{(6^3)}\div{(6^1)} = ?}$
  • $\color{Blue}{{(8^6)}\div{(8^5)} = ?}$

• Vamos dar mais um passinho?
  • E se o expoente for uma potência?
  • $\color{Blue}{{{5^3}^2} = 5^9}$
• Trata-se agora de um expoente exponencial. Antes de elevarmos a base ao expoente, precisamos efetuar a potência desse expoente. Ou seja, precisamos efetuar o $\color{Brown}{3^2= 9}$ e depois elevar o 5 à nona potência. Teremos então: $\color{Brown}{5^{9}}$

Note que se multiplicássemos os expoentes ($\color{Brown}{3\times 2 =6}$, teríamos $\color{Brown}{5^{3\times 2} = 5^6}$, que é totalmente diferente. Notamos que a coisa fica um pouco mais complexa. Portanto cuidado. Potência de potência não é o mesmo que potência com expoente exponencial. Felizmente o uso dessa forma é menos comum, do que a primeira. Um pouco de exercício faz bem, né!

• Efetue as potências indicadas.
  • $\color{Blue}{{{7^5}^2} = ?}$
  • $\color{Blue}{{{5^3}^1} = ?}$
  • $\color{Blue}{{{6^4}^3} = ?}$
  • $\color{Blue}{{{8^3}^4} = ?}$
  • $\color{Blue}{{{9^2}^3} = ?}$
• Transforme os expoentes das potências em exponenciais.
  • $\color{Blue}{3^{32} = ?}$
  • $\color{Blue}{7^{243} = ?}$
  • $\color{Blue}{(13)^{27} = ?}$
  • $\color{Blue}{5^{625} = ?}$
  • $\color{Blue}{9^{256} = ?}$
• Adendo: Um leitor me enviou a seguinte pergunta, ou melhor questão: Realizar a divisão que ele encontrou num livro ou apostila e não entendeu como resolver.

• 

• A divisão apresentada é a divisão de duas potências. Seria assim:
• $\color{navy}{{{{{{2^3}^2}^1}^8}^7}^6}\div {{{{{{4^2}^2}^8}^0}^9}^6}$
• Vemos uma sucessão de potências em número de 6 (seis). À primeira vista parece algo difícil de resolver. Se fôssemos desenvolver tudo, iriamos fazer uma montanha de cálculos desnecessários. Não podemos esquecer que a matemática tem alguns atalhos que nos levam à resposta num piscar de olhos. Aquele problema gigante, se resolve num clic.
• Acompanhem o raciocínio. Na potência dividendo, temos no quarto expoente de cima para baixo o número 1(um). Isto significa que iremos elevar 1(um) ao expoente que existir acima dele e o resultado só pode ser 1(um). Continuando vamos ter:
• $\color{Blue}{2^1 = 2}$
• Para terminar temos $\color{Blue}{3^2 = 9}$
• Reduzimos o dividendo à potência $\color{Blue}{2^9}$
• No divisor vamos encontrar na terceira posição, do último expoente para baixo. Sabemos que qualquer expoente para 0(zero), resulta igual a 0.
• O próximo expoente é 8, e vamos ter $\color{Blue}{8^0 = 1}$
• Na sequência temos o expoente 2 e fica $\color{Blue}{2^1 = 2}$
• Terminamos com $\color{Blue}{2^2 = 4}$
• Passamos a ter $\color{Blue}{4^4} = {(2^2)}^4 = {2^{2×4}} =2^8 $
• Efetuando a divisão $\color{Blue}{{2^9}\div{2^8} = 2^{9-8} = 2^1 = 2}$.
• Este resultado comprova que a resposta indicada na figura é a correta.

• Andamos mais um passo. Se você for um dos que procuraram pelo assunto potenciação na internet e tiver interesse em aprofundar o assunto, entre em contato comigo nos endereços que constam abaixo do artigo. Estou a disposição para orientar e tirar suas dúvidas. Legal?

Curitiba, 05 de novembro de 2018.

Décio Adams

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