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Matemática – Teoria dos conjuntos.

Conjuntos de números.

  • A necessidade de contar ou quantificar as coisas, como número de animais caçados, composição do rebanho com o surgimento da pecuária, volume de cereais e outros produtos colhidos. Até o número de soldados de um exército, levou o homem, há muito tempo, a criar números e símbolos para representá-los. Existiu, ao longo da história, uma imensa variedade de sistemas de numeração. Muitos deles associados a alguma coisa ou até a uma parte do próprio corpo.
  • Assim, os indígenas que habitavam a América, utilizavam um sistema de numeração de base 5(cinco), que é o número de dedos de uma mão. Os povos fenícios da antiguidade, usaram e espalharam por todos os lugares onde comerciavam, seu sistema de numeração  sexagesimal ,  isto é, de base 60. É deles que vem a divisão de uma hora em 60 minutos, e um minuto em 60 segundos. Uma circunferência é dividida em 360º, cada grau dividido em 60′ e cada minuto em 60″.
  • Os sistemas de informática, são baseados na numeração de base 2 (dois) ou numeração binária. Associada, inicialmente à uma lâmpada apagada, representando o número 0(zero) e uma lâmpada acesa representando o número 1(hum)

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Matemática – Aritmética

Multiplicação de números por dez, seus múltiplos e sub-múltiplos

Vamos multiplicar os decimais por 10!

Anteriormente falamos na multiplicação de números inteiros por ${10}$ e seus múltiplos. Agora que já conhecemos os números com aproximação decimal após a vírgula, vamos ver como ficam eles, quando multiplicados por ${10, 100, 1000 ou 0,1; 0,01; 0,001}$ e assim por diante.

Vamos lembrar, onde foi que colocamos a vírgula, quando fizemos as divisões não exatas. Não foi depois dos algarismos ditos inteiros? Pois é isso mesmo. De forma que um número inteiro, tem, depois de seu último algarismo uma vírgula, que fica subentendida, uma vez que não há parte decimal. Vamos ver o que acontece com a vírgula, nessa multiplicação.

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13.4.1 – Matemática – Aritimética operações com radicais.

Vamos trabalhar mais um pouco com radicais?

  1. Efetue as operações indicadas entre radicais.

a) ${\frac{{\sqrt[3]{2401}}\cdot{(2)}\cdot{\sqrt[3]{7}}}{\sqrt{343}}}$

Fatorando os radicandos e exprimindo na forma exponencial

${\frac{{\sqrt[3]{7^{4}}}\cdot{(2)}\cdot{\sqrt[3]{7}}}{\sqrt{7^{3}}}}$

Simplificando os radicais

${\frac{{\sqrt[3]{7^{3}\cdot {7}}}\cdot{(2)}\cdot{\sqrt[3]{7}}}{\sqrt{7^{2}\cdot{7}}}}$

${\frac{{{7}\cdot\sqrt[3]{7}}\cdot{(2)}\cdot{\sqrt[3]{7}}}{{7}\cdot\sqrt{7}}}$

${\frac{{{14}\cdot{\sqrt[3]{7}}}}{{7}\cdot\sqrt{7}}}$

${\frac{{{2}\cdot{\sqrt[3]{7}}}}{\sqrt{7}}}$

Reduzindo ao mesmo índice: m.m.c (2 e 3) = 6

${\frac{{{2}\cdot\sqrt[6]{7^{2}}}}{\sqrt[6]{7^{3}}}}$

${{2}\cdot\sqrt[6]{\frac{7^{2}}{7^{3}}}}$

${{2}\cdot\sqrt[6]{7^{2 – 3}}}$

${{2}\cdot\sqrt[6]{7^{-1}}}$

b) ${\left[\frac{\left({\sqrt[5]{2048}} : {\sqrt[5]{15625}}\right)\cdot{\sqrt[3]{5^{4}}}}{{3}\cdot\sqrt[3]{5^{2}}}\right]}$

Exprimindo os radicandos na forma de potências por fatoração:

${\left[\frac{\left({\sqrt[5]{2^{11}}}\right) : \left({\sqrt[5]{5^{6}}}\right)\cdot{\sqrt[3]{5^{4}}}}{{3}\cdot\sqrt[3]{5^{2}}}\right]}$

${\left[\frac{\left({\sqrt[5]{2^{10}\cdot{2}}}\right) : \left( {\sqrt[5]{5^{5}\cdot{5}}}\right)\cdot{\sqrt[3]{5^{3}\cdot{5}}}}{{3}\cdot\sqrt[3]{5^{2}}}\right]}$

${\left[\frac{\left({{4}\cdot\sqrt[5]{2}}\over{{5}\cdot\sqrt[5]{5}}\right)\cdot{{5}\cdot\sqrt[3]{5}}}{{3}\cdot\sqrt[3]{5^{2}}}\right]}$

Reduzindo os radicais ao mesmo índice: mmc(3; 5) = 15 e simplificando os fatores comuns.

${\left[\frac{\left({{4}\cdot\sqrt[15]{2^{3}}}\over{{5}\cdot\sqrt[15]{5^{3}}}\right)\cdot{{5}\cdot\sqrt[15]{5^{5}}}}{{3}\cdot\sqrt[15]{5^{10}}}\right]}$

${\left[\frac{\left({{4}\cdot\sqrt[15]{2^{3}}}\over{\sqrt[15]{5^{3}}}\right)\cdot{\sqrt[15]{5^{5}}}}{{3}\cdot\sqrt[15]{5^{10}}}\right]}$

${\left({4\sqrt[15]{{2^{3}}{5^{5}}}}\over\sqrt[15]{5^{3}}\right)}\cdot{\left({1}\over{3}\sqrt[15]{5^{10}}\right)}$

${{4\sqrt[15]{{2^{3}}{5^{5}}}}\over{{3}\sqrt[15]{{5^{3}}\cdot{5^{10}}}}}$

${\left({4}\over{3}\right)\cdot\sqrt[15]{{2^{3}}\over{5^{8}}}}$

c) ${\left({{a^2}\sqrt[3]{{b^5}\cdot{c^4}}}\over{{b^3}\sqrt[3]{{a^4}\cdot{c^5}}}\right)}$

Introduzindo os fatores externos nos radicais teremos:

${\left({\sqrt[3]{{a^6}\cdot{b^5}\cdot{c^4}}}\over{\sqrt[3]{{a^4}\cdot{b^6}\cdot{c^5}}}\right)}$

Simplificando os fatores comuns sobra:

${\left({\sqrt[3]{{a^2}\over{b}\cdot{c}}}\right)}$

d) ${\left[{\left({3{x}\sqrt[3]{x^2 + y}}\right)\cdot\left({2{y}\sqrt{x^2 – y}}\right)}\over{{9}\sqrt[3]{x^4 – y^2}}\right]}$

Cancelando os fatores comuns, fica:

${\left[{\left({{x}\sqrt[3]{x^2 + y}}\right)\cdot\left({2{y}\sqrt{x^2 – y}}\right)}\over{{3}\sqrt[3]{x^4 – y^2}}\right]}$

Introduzindo os fatores externos nos radicais:

${\left[{\left({\sqrt[3] {{x^{3}}\cdot{(x^2 + y)}}}\right)\cdot\left(\sqrt[2]{{2^{2}{y^{2}}\cdot {(x^2 – y)}}}\right)}\over{\sqrt[3] {{3^{3}} {(x^4 – y^2)}}}\right]}$

Reduzindo os radicais ao mesmo índice: mmc(2;3) = 6

${\left[{\left({\sqrt[6] {{x^{6}}\cdot{(x^2 + y)^{2}}}}\right)\cdot\left(\sqrt[6]{{2^{6}{y^{6}}\cdot {(x^2 – y)^{3}}}}\right)}\over{\sqrt[3] {{3^{3}} {(x^4 – y^2)}}}\right]}$

${\sqrt[6]{{{2^{6}\cdot{x^{6}}\cdot{y^{6}}\cdot{(x^{2} +y)}^{2}\cdot{(x^{2} – y)}^{3}}}\over{{3^{6}} {(x^4 – y^2)}^{2}}}}$

${{{2xy}\over{3}}\sqrt[6]{{{(x^{2} +y)}^{2}\cdot{(x^{2} – y)}^{3}}\over{{(x^2 + y)^{2}(x^2 -y)^{2}}}}}$

${{{2xy}\over{3}}\sqrt[6]{x^{2} – y}}$

Agora é sua vez

Efetue as operações com os radicais e simplifique o que for possível.

a) ${\sqrt[3]{4096}\cdot\sqrt[5]{(x + y)}^{10}}$

b)${{{2x}\sqrt[2]{(a^{2} + b)^{3}}\cdot\sqrt[3]{(a^{2} + b)^{2}}}\over\sqrt[3]{(a^{4} – b^{2})}}$

c) ${{\sqrt[3]{(4x^{2} – 12x + 9)}\cdot\sqrt[2]{(x^{2} – 1)}}\over\sqrt[2]{(x + 3)\cdot(x + 1)}}$

d)${{{5x^{2}}\sqrt[3]{(x + y^{2})^{6}}}\over{{6y}\sqrt[2]{(x^{2} – y^{4}}}}$

e)${{{(2x – y)}\cdot\sqrt[3]{2x + y}}\over{\sqrt[2]{(4x^{2} – y^{2})}}}$

f) ${{{3a}\sqrt[2]{2a}} + {{5b}\sqrt[6]{8a^3}} – {{2b}\sqrt[4]{4a^2}}}$

g)${\left[{\sqrt[6]{(x^2 – 1)}^2}\cdot{\sqrt[3]{(x^2 + 1)}^2}\right]\cdot{2y}\sqrt[2]{x^2 – 1}}$

h)${\left[{{\sqrt{(2a + b)}^3}\cdot{\sqrt[5]{(2a + b)}^2}}\over{{3ab}\sqrt[5]{(2a – b)\cdot(4a^2 – b^2)}}\right]}$

Se tiver dificuldades na solução dos exercícios propostos, entre em contato por meio de um dos canais abaixo listados e resolveremos as dificuldades.

Curitiba, 27 de setembro de 2019.

Décio Adams

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013.5 Matemática, aritmética. Redução de radicais ao mesmo índice.

Redução ao mesmo índice.

Vimos que é importante dar atenção ao índice dos radicais, especialmente na realização de algumas operações com eles. Então vejamos se é possível fazer algo para que estes índices se tornem iguais em radicais onde eles são diferentes. Vamos ver um exemplo bem simples.

$\sqrt {3} \cdot \root 3\of {5} =?$

No primeiro temos o índice 2 (subentendido) e no segundo o índice é 3. Lembram-se de um assunto visto anteriormente denominado Mínimo múltiplo comum?  ou apenas mmc? Pois é hora de recorrer a essa ferramenta de cálculo.

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013.3 – Matemática, aritmética. Simplificação de radicais

Vamos tornar os radicais mais simples

O que vimos no post anterior, permite fazer algumas transformações que nos ajudam em muitas situações a obter um radical mais simples ou escrito de forma mais conveniente à situação com que nos deparamos.

Tomemos como exemplo o radical.

$\root 6 \of {2000} = ?$

Decompondo o radicando $2000$ em seus fatores primos, teremos:

$\root 6 \of {{2^4}\cdot {5^3}}=?$

Transformando em potências com expoentes fracionários fica:

${2^ \frac{4}{6}}\cdot{5^ \frac{3}{6}} = ?$

Simplificando os expoentes ficamos com:

${2^ \frac{2}{3}}\cdot {5^\frac{1}{2}} =?$

Reescrevendo na forma de radical, fica:

$\root 3\of {2^2}\cdot \sqrt {5} $

Resultou um produto de dois radicais de índices diferentes e expoentes menores.

Vejamos um exemplo diferente:

$\root 3 \of {1728} =?$

Em fatores primos, temos:           

$\root 3 \of{{2^6}\cdot{3^3}} = ?$

Em forma de expoentes fracionários:

${2^\frac{6}{3}}\cdot {3^\frac{3}{3}} =?$

${{2^2}\cdot {3^1} = 4\cdot 3 = 12}$

Neste caso temos um radicando com raiz exata e não há mais necessidade do uso de radical.

Vamos ver outro exemplo:

$\root 5 \of {256} = ?$

Começamos novamente decompondo em fatores primos.

$\root 5 \of {2^6} = \root 5 \of {{2^5}\cdot {2}} $

Obs.: a potência $2^6$ foi desdobrada em multiplicação de potências de mesma base $ {2^5}\cdot {2}$.

${2^\frac{5}{5}}\cdot {2^\frac{1}{5}} = 2\cdot {\root 5 \of2}$

Veja que ficou bem simplificado o radical.

Mais um exemplo:

$\sqrt {216} = ?$

Da decomposição em fatores primos resulta:

$\sqrt {{2^3}\cdot {3^3}}= ?$

Escrevendo as potências como produtos de potências de mesma base, fica:

$\sqrt{{2^2}\cdot{2}\cdot{3^2}\cdot{3}} =?$

${2\cdot 3}\cdot \sqrt{2\cdot3} = 6\cdot\sqrt{6}$

Novo exemplo: $\root 3\of {10125} =?$ 

$\root 3\of {{3^4}\cdot{5^3}} =?$

$\root 3\of {{3^3}\cdot{3}\cdot{5^3}} = ?$

$ 3\cdot \root 3\of {3}\cdot {5} = 15\cdot\root 3\of{3}$

Último exemplo.

$\root 5\of {23328} = ?$

Decompondo em fatores primos.

$\root 5\of {{2^5}\cdot{3^6}} =?$

$\root 5\of{{2^5}\cdot{3^5}\cdot{3}} = 2\cdot {3}\cdot\root 5\of {3} = 6\cdot\root 5\of {3}$

Aproveite para treinar esse assunto. Simplifique os radicais da listagem abaixo.

I) $\root 3\of {243} =?$

II) $\root 5\of {9216} =?$

III)$\sqrt {6912} =?$

IV)$\root 7\of {1024} =?$

V) $\root 4\of {50000} =?$

VI) $\sqrt {24696} =?$

VII)$\sqrt {18000} =?$

VIII)$\root 3\of {10000} =?$

IX) $\root 5\of {18225} =?$

X) $\sqrt {10648} =?$

Havendo dúvidas, entre em contato para esclarecer e resolver suas dificuldades.

Curitiba, 10 de novembro de 2018

Décio Adams

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013.2 – Matemática, aritmética. Radiciação de números naturais II

Aprofundando radiciação

  • Quando fazemos a decomposição do radicando em fatores primos e o exprimimos na forma de uma potência, teremos uma forma equivalente do radical. Por exemplo:
  • $\color{Blue}{\root 3 \of{729} = \root 3 \of {3^6} }$
  • Podemos colocar esse radical na forma de uma potência, onde o expoente é uma fração. O numerador é o expoente do radicando e o denominador é o índice do radical. Teremos então:
  • $\color{Blue}{\root 3 \of {3^6} = 3^{\frac{6}{3}}}$
  • Simplificando a fração, temos: ${3^2 = 9}$
  • A raiz de índice n de um radicando na forma de potência pode ser sempre escrita na forma de uma potência com expoente fracionário e vice-versa. Se temos uma potência de expoente fracionário, podemos escrevê-la na forma de radical, cujo índice é o denominador do expoente e o numerador é o expoente da base.
  • OBS.: quando o índice é 2, dizemos que a raiz é quadrada e quando o índice é 3, a raiz é cúbica. O índice 2 pode ser subentendido, uma vez que não faz sentido falar em raiz de índice 1(hum).
  • Alguns exemplos.
    • $\color{Blue}{\sqrt {7^5} = 7^{\frac{5}{2}}}$
    • $\color{Blue}{\sqrt {256} = \sqrt {2^8} = 2^{\frac{8}{2}} = 2^4 = 16}$
    • $\color{Blue}{\sqrt 5 = 5^{\frac{1}{2}}}$
    • $\color{Blue}{\root 3 \of {2^6} = 2^{\frac{6}{3}} = 2^2 = 4}$
    • $\color{Blue}{\root 4 \of{9^2} = 9^{\frac{2}{4}} = 9^{\frac{1}{2}} = \sqrt {9} = 3} $
    • $\color{Blue}{\root 5 \of {2^{10}} = 2^{\frac{10}{5}} = 2^2 = 4}$

O exemplo 5 mostra que podemos dividir o índice e o expoente pelo mesmo número, de modo que o radical fique simplificado. Assim podemos fazer:

  • $\color{Blue}{\root 6 \of {3^2} = \root 3 \of 3 = 3^{\frac{1}{3}}}$
  • $\color{Blue}{\root 4 \of {5^6} = \sqrt {5^3} = 5^{\frac{3}{2}} = \sqrt{5^2\cdot 5} = 5\cdot\sqrt{5} } $
  • Alguns exemplos para treinar. Vamos a eles.
    • $\color{Brown}{\root 12 \of {64} = ?}$
    • $\color{Brown}{\root 10 \of {25} = ?}$
    • $\color{Brown}{\root 18 \of {256} = ?}$
    • $\color{Brown}{\root 9 \of {125} = ?}$
    • $\color{Brown}{\root 16 \of {128} = ?}$
    • $\color{Brown}{\root 14 \of {144} = ?}$
    • $\color{Brown}{\root 3 \of {512} = ?}$
    • $\color{Brown}{\root 4 \of {49} = ?}$
    • $\color{Brown}{\root 3 \of {32} = ?}$

Experimente criar alguns. Sugiro começar calculando as potências e depois fazer o processo contrário. Não importa que você saiba a resposta antecipadamente. O objetivo é exercitar. Ajuda a gravar os valores das potências mais comuns e suas raízes de diferentes índices. Não é nada desprezível conhecer alguns desses valores de memória. Ajuda muito em alguns momentos decisivos.

Essa memória me salvou uma questão numa prova no tempo de faculdade. Demorei a encontrar o caminho da resolução e quando faltavam apenas alguns segundos para o final do tempo, cheguei a raiz quadrada do número 1296. Para minha sorte, na noite anterior eu havia resolvido e determinado essa raiz com os meus alunos no ginásio, na 5ª série e não precisei calcular. Foi o tempo de escrever a resposta e entregar a prova. Nunca mais esqueci a resposta, que é 36.

Não é proibido decorar alguns, não que deva ser uma preocupação essencial, mas em muitos casos ajuda um bocado.

Até outro momento, com mais algumas coisas sobre o assunto.

Obs.: Em caso de dúvidas, não hesite em pedir ajuda. Para isso são os canais que informo logo abaixo. Também pode perguntar sobre outros assuntos que ainda não constem do blog. Esteja à vontade. 

Curitiba, 09 de novembro de 2018

Décio Adams

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013.1 – Matemática, aritmética. Radiciação de naturais.

O caminho inverso. – Radiciação.

 

Assim como em outras situações, estamos vendo que, a cada nova operação matemática que aprendemos, logo depois aparece outra, que faz o caminho contrário. E não seria diferente com a potenciação.

  • Vamos pegar um número, potência de 3. Esse número vai ser 243. Vamos decompor em seus fatores, para sabermos qual é o expoente ao qual foi elevada a base 3, para encontrar 243.
  • O número é ímpar e por isso não divisível por dois ou seus múltiplos. Para seguir somamos os algarismos que formam o número $2 + 4 + 3 = 9$ que é divisível por $3$

  • Fizemos cinco divisões sucessivas por $3$, até resultar quociente $1$. Dessa forma temos que $\color{Blue}{3^5 = 243}$
  • Então podemos representar:
  • $\color{Blue}{243 = 3^5 = 3\times3\times3\times3\times3} $

A base 3, elevada ao expoente 5 e obtemos a potência 243.

  • Neste caso dizemos que 3 é a raiz quinta de 243.

Essa operação inversa se denomina Radiciação  e se representa na forma de um radical, onde temos:

  • Radicando é número cuja raiz estamos determinando.
  • Índice é o número que indica o expoente ao qual deve ser elevada a raiz para resultar o radicando.
  • Raiz é a base da potenciação que resulta no radicando.

Assim, usando o símbolo:\[\bbox[4px,border:2px solid olive]{\color{Blue}{ \root 5 \of {243} = 3}}\]

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01.034 – Matemática, Exercícios resolvidos

Lista de exercícios

Resolvidos e comentados.

Uma pessoa, encontrou meus artigos sobre matemática (quatro operações, propriedades, potenciação e radiciação), que publiquei há um ano passado aproximadamente. Ali encontrou meus contatos e telefonou, para pedir ajuda. Trata-se de uma lista de exercícios sobre o assunto. Tentou me explicar por telefone e eu tentei lhe resolver, pela forma como entendi. Graças a Deus, eu tive a ideia de pedir que ele fizesse uma cópia (scanner) e me mandasse por e-mail, pois eu havia entendido erradamente e a resposta estaria errada. São ao todo 13 exercícios, alguns bastante simples de solucionar, outros exigem mais raciocínio, com aplicação de recursos aritméticos e algébricos.

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01.014 – Matemática, aritmética, radiciação – propriedades.

Mais umas novidades sobre radiciação.

Multiplicação de radicais de mesmo índice.

  • Vamos ver como isso funciona.
    • $\color{Blue}{\sqrt[3]{ 5}\times\sqrt [3]{7}\times\sqrt [3]{2} =\sqrt[3]{5\times7\times2} = \sqrt[3]{70}}$
    • $\color{Blue}{\sqrt [5]{2^3}\times\sqrt[5]{4^2}\times\sqrt[5]{8} = \sqrt[5]{2^3}\times\sqrt[5]{2^2}^2\times\sqrt[5]{2^3}}$
    • $\color{Blue}{ \sqrt[5]{2^3}\times\sqrt[5]{2^4}\times\sqrt[5]{2^3} = \sqrt[5]{2^{3+4+3}}}$
    • $\color{Blue}{\sqrt[5]{2^{10}} = 2^{\frac{10}{5}} = 2^2}$
    • Podemos notar que é possível resolver uma porção de operações com potências e raízes sem recorrer a nenhum cálculo pesado. Basta aplicar as propriedades que permitem fazer uma variedade de transformações. Dos exemplos deduzimos:
  • Uma multiplicação de radicais de mesmo índice é igual a um único radical, com o mesmo índice, cujo radicando é o produto dos radicandos fatores.

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