067.10 – Matemática, álgebra. Equações logarítmicas

Equações logarítmicas

Há várias formas de equações envolvendo logaritmos. Vamos ver o primeiro deles.

I) Igualdade entre logaritmos de mesma base, como

${log_a{x} = log_a{y}}  ⇔ { x = y}$

Exemplo.

${log_5\underbrace{{(2x + 4)}} =  log_5\underbrace{{(3x + 1)}}}$

${2x + 4 = 3x + 1} ⇔ {2x – 3x = 1 – 4}$

${-x = -3} ⇔ {-x\cdot{(-1)} = -3\cdot{(-1)}}$

${x = 3} ⇔ {S = \{3\}}$

II)Igualdade entre um logaritmo e um número.

${log_a{x} = n} ⇔ {a^n = x}$

Exemplo.

${log_3{(5x + 2)} = 3} ⇔  {5x + 2 = 3^3}$

${5x + 2 = 27} ⇔ {5x + 2 – 2 = 27 – 2}$

${5x = 25} ⇔ {{{5x}\over 5} = {25\over 5}}$

${ x = 5}$

${S = \{5\}}$

III)Equação logarítmica cuja solução depende de mudança de variável.

${(log_4{x})^2 – 3(log_4{x}) = 4}$

Fazendo ${log_4{x} = y}$ e substituindo na equação, fica:

${y^2 -3\cdot y = 4} ⇔ {y^2 – 3y – 4 = 0}$

Temos agora uma equação do segundo grau, cuja solução nos dará as respostas procuradas.

${a = 1; b = -3; c = -4}$

O discriminante será: ${Δ = {b^2 – 4\cdot{a}\cdot {c}}}$

${Δ = {{(-3)}^2 – 4\cdot {1}\cdot{-4}}}$

${Δ = {9 + 16}} ⇔ {Δ = 25}$

Na fórmula de Bhaskara:

${y = {{-{(-3)}\pm\sqrt{(25)}}\over{2\cdot 1}}}$

${y = {{+ 3\pm 5}\over 2}}$

${y’ = {{3 + 5}\over 2}} ⇔ { y’ = {8\over2}} ⇔ {y’ = 4}$

${y” = {{3 – 5}\over 2}} ⇔ {y” = {{- 2}\over 2}} ⇔ {y” = -1}$

Começamos fazendo ${log_4{x} = y}$. Agora podemos determinar ${x}$, substituindo${y}$ pelos valores determinados.

${log_4{x} = 4} ⇔ {x = 4^4} ⇔ {x = 256}$

${log_4{x} = -1} ⇔ { x = 4^{-1}} ⇔ {x = 1/4} $

${S = \{{1/4}; 256\}}$

IV)Usando as propriedades dos logaritmos na solução de equações.

${\underbrace{log(2x + 3)} + \underbrace{log(x + 2)} = \underbrace{2\cdot logx}}$

Vimos que o logaritmo de um produto é igual à soma dos logaritmos na mesma base. Também o logaritmo de uma potência é igual ao produto do expoente pelo logaritmo na mesma base. Logo:

${log\underbrace{{{(2x + 3)}\cdot {(x + 2)}}} = \underbrace{log x^2}}$

${log\underbrace{{(2x^2 + 7x + 6)}} =\underbrace{log x^2}}$

Para igualdade de logaritmos de mesma base, temos que os logaritmandos são iguais. Então:

${2x^2 + 7x +6 = x^2}$

${2x^2 + 7x + 6 – x^2 = 0} ⇔ {x^2 + 7x +6 = 0}$

Equação do segundo grau. Os coeficientes são:

${a = 1}; { b = 7}; {c = 6}$

Discriminante: ${Δ = b^2 – 4\cdot{a}\cdot{c}}$

${Δ = 7^2 – 4\cdot {1}\cdot {6}}$

${Δ = 49 – 24 } ⇔ {Δ = 25}$

Aplicando Bhaskara: ${ x = {{-{+7}\pm\sqrt{25}}\over{2\dot {1}}}}$

${x = {{-7\pm 5}\over 2}}$

${x’ = {{-7+ 5}\over 2}} ⇔ {x = -2/2} ⇔ {x = -1}$

${x” ={{-7 – 5}\over 2}} ⇔ {x = {-12}/2} ⇔ {x = -6}$

Na substituição de x pelos valores encontrados, teremos nos dois casos logaritmandos negativos (b<0) o que torna o logaritmo inexistente. Portanto o conjunto solução será:

${S = \{ \}}$ ou ${S = Ø}$

V)${log_{1/5}{log_{1/2}{x} = -1}}$

${log_{1/2}{x} = {(1/5)}^{-1}}$

${log_{1/2}{x} = 5} ⇔ {x =  {(1/2)}^5} ⇔ { x = {1\over{32}}}$

${S = {1\over{32}}}$

Espero que tenham sido abordados os principais casos de resolução de equações. Abaixo seguem alguns exercícios para seu treino. Se surgirem dúvidas, não hesite. Faça contato e peça ajuda.

Resolver as equações logarítmicas que seguem.

a)${log_7{(3x – 5)} = log_7{(2x + 1)}}$

b)${log_5{{(2x – 1)}\cdot {(x + 5)}} = log_5{{(x – 3)}\cdot{(x + 7)}}} $

c)${log_4{(x – 3)} = log_4{(-x + 7)}}$

d)${log_{(0,2)}{(3x -2)} = -1}$

e)${2^{log_3{log_2{x}}} = {1\over2}}$

f)${M_w = -10,7 + {{2\over 3}\cdot{log_{10}{M_0}}}}$, considere ${M_w = 7,3}$

g)${log_a{(5 – 3x)} = log_a{(4x + 19)}}$

h)${(log_{0,4}{(x)})^2 – 5(log_{0,4}{(x)}) = -6}$

i)${log_{1\over3}{(log_{1\over5}{x})} = – 1}$

j)${log_{0,3}{(log_{0, 2}{y})}  = -2}$

k)${log{(x – 5)} + log{(x – 3)} = 2\cdot{logx}}$

Curitiba, 11 de julho de 2018

Décio Adams

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