067.11 – Matemática, álgebra. Cologaritmo e antilogaritmo.

Logaritmos

Cologaritmo

Vimos que se ${0 < a ≠ 1}$ e ${b > 0}$, denominamos logaritmo de ${b}$ na base ${a}$ ao expoente de ${a}$ que resulta na potência igual a ${b}$.

Já o cologaritmo é o oposto ou simétrico do logaritmo. Assim: ${colog_a{b} = – log_a{b}}$

${colog_a{b} = (-1)\cdot{log_a{b}}} ⇔ {colog_a{b} = log_a{b}^{-1}}$

${colog_a{b} = log_a{1\over b}}$

Fica demonstrado que o cologaritmo de um número em determinada base é igual ao logaritmo de seu inverso na mesma base.

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067.10 – Matemática, álgebra. Equações logarítmicas

Equações logarítmicas

Há várias formas de equações envolvendo logaritmos. Vamos ver o primeiro deles.

I) Igualdade entre logaritmos de mesma base, como

${log_a{x} = log_a{y}}  ⇔ { x = y}$

Exemplo.

${log_5\underbrace{{(2x + 4)}} =  log_5\underbrace{{(3x + 1)}}}$

${2x + 4 = 3x + 1} ⇔ {2x – 3x = 1 – 4}$

${-x = -3} ⇔ {-x\cdot{(-1)} = -3\cdot{(-1)}}$

${x = 3} ⇔ {S = \{3\}}$

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067.9 – Matemática, álgebra. Condições de existência dos logaritmos.

Estudo da existência dos logaritmos.

 

Vimos no início do nosso estudo dos logaritmos que

${log_a{b} = x}$, tem como condição de existência que tenhamos:

${a > 0,  a ≠ 1}$ ⇔ ${0 < a ≠ 1}$

${b > 0}$

Se estas condições não forem satisfeitas o logaritmo não existe. Isso nos leva a um tipo de expressão em que precisamos analisar uma ou mais situações e estabelecer a condição de existência daquele(s) logaritmo(s) especificamente.

Continue lendo “067.9 – Matemática, álgebra. Condições de existência dos logaritmos.”

067.8 – Matemática, álgebra. Expressões logarítmicas.

Expressões logarítmicas.

Vamos exercitar.

 Desenvolver as expressões logarítmicas.

a) ${log_a{({m\cdot n})^v}}$

O expoente do logaritmando, irá multiplicar o logaritmo

${log_a{({m\cdot n})^v}} = {v\cdot{log_a{({m\cdot n})}}}$

Aplicando a propriedade da multiplicação, transformamos o logaritmo da multiplicação e adição dos logarítmos.

${v\cdot({log_a{m} + log_a{n}})} = v\cdot{log_a{m}} + v\cdot {log_a{n}}$

b)${log_x{({{p}\cdot {q}\over {r}})^u}}$

O expoente do logaritmando colocamos novamente multiplicando o logaritmo.

${ u\cdot{log_x{({{p}\cdot{q}\over{r}})}}} = {u\cdot{[log_x{({p}\cdot{q}) – log_x{r}]}}} = {u\cdot{[log_x{p} + log_x{q} – log_x{r}]}}$

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067.7 – Logaritmos naturais ou neperianos; logaritmos decimais

Logaritmos

Logaritmos neperianos. 

São também denominados logaritmos naturais e se originaram dos trabalhos desenvolvidos e publicados por John Neper (Napier). Mais tarde a base desses logaritmos teve seu valor determinado por Euler, sendo usada largamente em diferentes áreas da atividade humana. Essa base é simbolizada pela letra:

${ e ≅ 2,71828183}$

Na prática usamos apenas a parte inteira e as duas primeiras casas decimais.

${ e ≅ 2,71}$

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067.6 – Matemática, álgebra. Logaritmos. Mudança de base um logaritmo.

Logaritmos com mudança de base

 

Ao longo dos estudos empregando logaritmos, nos deparamos com situações em que é necessário mudar a base. Como faremos isso?

Tomemos como exemplo o seguinte:

$ {log_8{1024}} $

Decompondo o logaritmando em fatores primos, encontraremos: $ {1024 = 2^{10}}$

Também sabemos que ${ 2^{3} = 8} $.

Assim podemos escrever: $ {log_8{(8^{3}\cdot 2)}} $

Daí podemos tirar que: ${log_8{8^3} + log_8{2}}$

Continuamos: $ {3\cdot {log_8{8}} + log_8{2}}$

$ {3\cdot {1} } + log_8{2} = 3 + log_8{2}$

Sabemos que: $ {2 = \sqrt[3]{8}}$

Logo: ${ 2 = 8^{{1}\over{3}}} $

Então podemos dizer: $ 3 + log_8{2} = 3 + log_8{8^{{1}\over{3}}} = {3 + {{1\over3}}\cdot {log_8{8}}}$

$ {3 + {{1}\over {3}}\cdot{1}} =  {{{3\cdot 3} + 1}\over{3}}$

$ {{9 + 1} \over{3}} = {{10}\over{3}} $

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067.5 – Matemática, álgebra. Logaritmos. Logaritmo de um radical

Logaritmos

Logaritmo de radical

Vamos recordar de uma transformação possível nos radicais. Vimos lá que:

$\sqrt[a]{b^n} = b^{{n}\over {a}}$

Obs.: Convertemos o radical em uma potência de expoente fracionário. O índice do radical é o denominador do expoente e o expoente do radicando é o numerador.

Isso nos permite aplicar esse recurso na logaritmação de radicais. Não esquecendo que o numerador da fração/expoente é o expoente do radicando e o denominador é o índice do radical. Assim teremos:

a) $ log_x{\sqrt[a]{b^n}} = log_x{b^{{n}\over {a}}} = {{n}\over {a}}\cdot log_x{b} $

b) $ log_x{\sqrt[u]{y}} = log_x{y^{{1}\over{u}}} = {{1}\over{u}}{log_x{y}} $

c) $ log_a{\sqrt[v]{z^u}} = log_a{z^{{v}\over{u}}} = {{v}\over{u}}{log_a{z}}$

d)$ log_3{\sqrt[5]{15^3}} $

$ log_3{15^{{5}\over{3}}} = {{3}\over{15}}{log_3{5}} = {{1}\over{5}}{log_3{5}}$

Chegou sua vez de exercitar, tomando os exemplos como base.

e)$ log_7{\sqrt[5]{7^4}}$

f) $log_{10}{\sqrt[6]{1000}}$

g)$ log_{12}{\sqrt[8]{{13}^6}} $

h) $ log_3{\sqrt[5]{9^2}}$

i) $ log_a{\sqrt[m]{b^n}} $

j) $ log_a{\sqrt[p]{c^{2p}}} $

l) $ log_h{\sqrt[w]{g^v}} $

m) $ log_4{\sqrt[3]{9^5}}$

Enquanto você resolve os exercícios, vou continuar a preparar mais um post, dando outro passo nesse assunto. Se tiver dúvidas, peça esclarecimentos por um dos canais abaixo.

Curitiba, 02 de julho de 2018

Décio Adams

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067.4 – Matemática, logaritmos. Operações com logaritmos. Potenciação

Operações com logaritmos

Logaritmos de potencias

Vejamos como fica essa questão:

${log_3{(5)^2}} = {log_3{(5)} + log_3{(5)}} $

$ 1\cdot{log_3{(5)}} + 1\cdot{log_3{(5)}} = {2\cdot {log_3{5}}}$

Isso nos leva à conclusão de que basta multiplicar o logaritmo pelo expoente do logaritmando. Assim:

${log_a{b^u}} = u\cdot {log_a{b}}$

Vamos exercitar um pouco.

a) ${log_m{({p\over q})^z}}$

${log_m{({p\over q})^z}} = z\cdot{log_m{({p\over q})}}$

$ z\cdot{(log_m{p} – log_m{q})}$

b) ${log_3{9^2}} $

${log_3{(3^2)^2}} = {log_3{3^{({2}\cdot{2})}}} = {log_3{3}^4}$

${log_3{9^2} = 4\cdot{log_3{3}} = 4\cdot 1 = 4}$

c)$ log_u{v^n} $

$ log_u{v^n} = n\cdot{log_u{v}}$

d) $ log_n{u^{3x}} $

$ log_n{u^{3x}} = 3x\cdot{log_n{u}}$

É a sua vez, prezado leitor. Resolva os logaritmos das expressões a seguir.

e) $ log_a{({{f}\over{g}})^v} $

f) $ log_3{({{14}\over {21}})^5}$

g) $ log_5{(25)^3} $

h) $ log_{10}{(100)^3}$

i) $ log_7{(ab)^v} $

j) $ log_2{(u)^7} $

l) $ log_3{({{p}\over{q}})^5} $

m) $ log_a{({c}\over{d})^3} $

n) $ log_y{({m}\over{n})^7} $

Obs.: Em caso de dúvida, peça auxílio por um dos canais abaixo listados.

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067.3 – Matemática, logaritmos, divisão de logaritmos de mesma base.

Operações com logaritmos

Divisão de logaritmos

Logaritmos de mesma base

Desde que estudamos aritmética, vimos que a divisão é a operação inversa da multiplicação. Isso nos permite supor que com os logaritmos acontece a mesma coisa. Vamos confirmar isso.

${log_a{{b}\over{c}} = x} <=> {(a^x)} = {{b}\over {c}} $

Não esquecendo que devemos ter:

${a >0}$, ${a ≠ 1}$, ${b>0}$ e ${c > 0}$

Usando números

${log_3{{243}\over{27}} = log_3{(3^5)\over(3^3)}}$

${log_3{3^{(5 – 3)} = log_3{3^2} = 2}}$

O quociente de dois logaritmos de mesma base, é igual à diferença entre os logaritmos correspondentes.”

Obs.: Nunca se pode esquecer que a matemática é um grande edifício e cada pequena parte, é como se fosse um tijolo. Na multiplicação e divisão de potências de mesma base, valem as mesmas regras. Soma e subtração dos expoentes. Aqui são a soma e diferença dos logaritmos, mas que são os expoentes da base que reproduz o logaritmando.

Vejamos como se aplica isso.

a)${log_2{{64}\over{16}}}$

${log_2{{2^6}\over{2^4}} = {log_2{2^6} – log_2{2^4}}}$

${log_2{{64}\over{16}} = 6 – 4 = 2}$

b)$ {log_m{{a}\over {b}}} = {{log_m{a}} – {log_m{b}}}$

c)${log_5{{3125}\over{125}}} = {log_5{{5^5} – log_5{5^3}}}$

${log_5{{3125}\over{125}} = 5 – 3 = 2}$

Efetue as divisões de logaritmos de mesma base a seguir.

a)${log_7{{343}\over{7}}}$

b)${log_5{{625}\over{15625}}}$

c)${log_2{{512}\over{64}}}$

d)${log_{11}{{161051}\over{121}}}$

e)${log_y{{p}\over{q}}}$

f)${log_h{{f}\over{g}}}$

g)${log_{13}{{371293}\over{2197}}}$

Bons exercícios, vá com calma. Se sentir dificuldades, peça ajuda, que estarei pronto para esclarecer.

Curitiba, 30 de junho de 2018

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