067.6 – Matemática, álgebra. Logaritmos. Mudança de base um logaritmo.

Logaritmos com mudança de base

 

Ao longo dos estudos empregando logaritmos, nos deparamos com situações em que é necessário mudar a base. Como faremos isso?

Tomemos como exemplo o seguinte:

$ {log_8{1024}} $

Decompondo o logaritmando em fatores primos, encontraremos: $ {1024 = 2^{10}}$

Também sabemos que ${ 2^{3} = 8} $.

Assim podemos escrever: $ {log_8{(8^{3}\cdot 2)}} $

Daí podemos tirar que: ${log_8{8^3} + log_8{2}}$

Continuamos: $ {3\cdot {log_8{8}} + log_8{2}}$

$ {3\cdot {1} } + log_8{2} = 3 + log_8{2}$

Sabemos que: $ {2 = \sqrt[3]{8}}$

Logo: ${ 2 = 8^{{1}\over{3}}} $

Então podemos dizer: $ 3 + log_8{2} = 3 + log_8{8^{{1}\over{3}}} = {3 + {{1\over3}}\cdot {log_8{8}}}$

$ {3 + {{1}\over {3}}\cdot{1}} =  {{{3\cdot 3} + 1}\over{3}}$

$ {{9 + 1} \over{3}} = {{10}\over{3}} $

Vemos que fica bastante trabalhoso fazer essas transformações. Vejamos uma outra forma mais simples de fazer e chegar ao mesmo resultado.

${log_8{1024} = ? }$

Tanto o logaritmando como a base são múltiplos de 2 (dois). Se fizermos dessa forma:

${log_8{1024}} = {{log_2{1024}}\over {log_2{8}}} = {{log_2{2^{10}}}\over{log_2{2^3}}}$

$ {log_8{1024}} = {{10\cdot {log_2{2}}}\over {3\cdot {log_2{2}}}} = {{10}\over{3}}$

Vimos que usando a mudança para a mesma base ficou bem mais simples de resolver. Então vamos colocar isso na forma de uma nova regrinha.

${ log_a{b}} = {{log_x{b}}\over{log_x{a}}}$

É condição imprescindível que a ≠ 1 x ≠ 1

Isso nos permite transformar qualquer logaritmo para a base desejada ou conveniente. Basta dividir o logaritmo do logaritmando na nova base, pelo logaritmo da antiga base na nova base. Esse procedimento favorece a resolução de inúmeros casos, pois simplifica os procedimentos.

Ainda podemos ter:

I) Se são números reais positivos ${log_a{b}}$. Para transformar o logaritmo para a base b, ficamos com:

${log_a{b}} = {{log_b{b}}\over{log_b{a}}}$

Não podemos esquecer que a≠ 1 b≠ 1.

II) Se b são números reais positivos e temos:

${log_{a^{β}}{b}}$, podemos transformar assim:

${{log_a{b}}\over{log_a{a^{β}}}} = {{log_a{b}}\over{β\cdot{log_a{a}}}} = {{log_a{b}}\over {{β}\cdot {1}}} = {{1}\over{β}}\cdot {log_a{b}}$

Aqui é imprescindível que a ≠ 1 β ≠ 0.

Vamos exercitar um pouco?

a)${log_m{u}}$  (Transformar para a base y)

${log_m{u}} = {{log_y{u}}\over{log_y{m}}}$

b)${log_9{6561}} $

${log_9{6561}} = {{log_3{6561}}\over{log_3{9}}} ={{log_3{3^{7}}}\over{{log_3{3^2}}}}$

${log_9{6561}} = {{7\cdot {log_3{3}}}\over{2\cdot{log_3{3}}}} = {{7\cdot{1}}\over{2\cdot{1}}} = {7\over 2}$

c)${log_{25}{15625}}$

${log_{25}{15625}} = {{log_5{5^{6}}}\over{{log_5{5^2}}}}$

${log_{25}{15625}} = {{6\cdot{log_5{5}}}\over{2\cdot{log_5{5}}}} = {{6\cdot{1}}\over {2\cdot{1}}}$

${log_{25}{15625}} = {6\over2}  = 3$

d) ${log_n{{x}^m}}$  (Mudar para base v).

${m\cdot{{log_v{x}}\over{log_v{n}}}}$

e)${log_p{r}}$ (Mudar para base r)

f)${log_m{pq}}$ {Mudar para a base y).

g)${log_{16}{2048}}$

h)${log_{36}{15552}}$

i)${log_{49}{4116}}$

j)${log_{9}{18225}}$

k)${log_{m^{n}}{v}}$, sendo m ≠ 1 n ≠0.

l)${log_{3^2}{243}}$

m)${log_{a^{δ}}{b^{α}}}$

Havendo dificuldades na resolução, pergunte por meio de um dos canais abaixo. Estou sempre disposto para auxiliar saneando as dúvidas.

Curitiba, 04 de julho de 2018

Décio Adams

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