067.8 – Matemática, álgebra. Expressões logarítmicas.

Expressões logarítmicas.

Vamos exercitar.

 Desenvolver as expressões logarítmicas.

a) ${log_a{({m\cdot n})^v}}$

O expoente do logaritmando, irá multiplicar o logaritmo

${log_a{({m\cdot n})^v}} = {v\cdot{log_a{({m\cdot n})}}}$

Aplicando a propriedade da multiplicação, transformamos o logaritmo da multiplicação e adição dos logarítmos.

${v\cdot({log_a{m} + log_a{n}})} = v\cdot{log_a{m}} + v\cdot {log_a{n}}$

b)${log_x{({{p}\cdot {q}\over {r}})^u}}$

O expoente do logaritmando colocamos novamente multiplicando o logaritmo.

${ u\cdot{log_x{({{p}\cdot{q}\over{r}})}}} = {u\cdot{[log_x{({p}\cdot{q}) – log_x{r}]}}} = {u\cdot{[log_x{p} + log_x{q} – log_x{r}]}}$

c)${log_{{1}\over{25}}{(5\sqrt5)}}$

Vamos igualar o logaritmo a uma variável, como por exemplo $x$.

${log_{{1}\over{25}}{(5\sqrt 5)} = x }$

Pela definição de logaritmo: ${log_a{b} = x} ⇔ {a^x = b}$, podemos escrever:

${log_{{1}\over{25}}{(5\sqrt 5)} = x}  ⇔ {({{1}\over{25}})^x} = {(5\sqrt 5)} $

Transformando a base em potência ficamos com:
${[{({{1}\cdot {5}})^{-2}}]^x}  = {(5\sqrt 5)} ⇔ {[{1}\cdot{5}]^{-2\cdot {x}}} = {(5\sqrt 5)}$

A raiz quadrada de 5 pode ser representada por:

$\sqrt{5} ={5^{({1\over 2})}}$, e ficamos com

${[{1}\cdot{5}]^{-2\cdot {x}}}= {5\cdot {5^{({1\over 2})}}}$

${[{1}\cdot{5}]^{-2\cdot {x}}} = { 5^{ 1 + {1\over2}}}$

${[{1}\cdot{5}]^{-2\cdot {x}}} = {5^{{2 + 1}\over 2}}$

${[{1}\cdot{5}]^{-2\cdot {x}}} = {5^{3\over2}}$

Temos uma igualdade, onde podemos isolar $x$, uma vez que são potências de mesma base. Basta igualar os expoentes.

${-2\cdot x = {3\over2}} $

Vamos multiplicar os dois membros da igualdade por

${ – {1\over 2}}$

${ -{1\over2}\cdot -2\cdot x }= {{3\over2}\cdot -{1\over2}}$

${ x = – {3\over4}}$

Logo: ${log_{{1}\over{25}}{(5\sqrt5)}} = -{3\over4}$

d)${log_{25}{0,008}}$

Fazemos: ${log_{25}{0,008} = x }$

${{(25)}^x = 0,008}$

Decompondo a base em fatores primos: ${ 25 = 5^2}$

e ${0,008 = {8\over {1000}} = {{2^3}\over {{10}^3}}}$

De onde ficamos com: ${({5^2})^x} = {({2\over{10}})^3} $

Simplificando a fração ${2\over 10}$ por $2$, fica:

${5^{2x}} = ({{2}/{2}\over {10}/{2}})^3 $

${5^{2x}} = ({{1\over 5}})^3 $

${5^{2x}} = {1\cdot 5}^{-3}$

Igualando os expoentes das potências:

${2x = -3} ⇔{{{2x}\over{2}} = {-3\over 2}}$

${ x ={-3\over 2}}$

${log_{25}{0,008} ={-3\over  2}}$

e) ${ A = log 0,0001 + log 1000}$

Vamos por partes: ${ A =  x + y}$

${log 0,0001 = x}$

${log 1000 = y}$

${{(10)}^x = 0,0001}  ⇔ {{(10)}^x = 1/1000}$

${{(10)}^x = 1/{(10)}^4} ⇔ {{(10)}^x = 10^{-4}}$

Igualdade de potências de mesma base ⇔ expoentes iguais:

${ x = -4}$ ⇒ resultado da primeira parte.

${log 1000 = y} ⇔  {{(10)}^y = {(10)}^3}$

Novamente igualdade de logaritmos de mesma base ⇒expoentes iguais.

${ y = 3}$ ⇒ resultado da segunda parte.

Podemos agora determinar o valor de A.

${A = x + y} ⇔ {A = -4 + 3} ⇔ {A = -1}$

f)${A = {log_2(log_3{81})}}$

Vamos fazer: ${log_3{81} = x}$

${3^x = 81} ⇔ {3^x = 3^4} ⇔ {x = 4}$

Substituindo na expressão original:

${ A = log_2{x}} ⇔ {A = log_2{4}}$

${A = log_2{2}^2}$

${ 2^A = 2^2} ⇔ {A = 2} $

g) ${A =\underbrace{ log_2{2\cdot\sqrt{2}}} + \underbrace{ log_{0,01}{10}}}$

${ A = x + y}$

Temos então: ${log_2{2\cdot\sqrt{2}} = x}$

${log_{0,01}{10} = y}$

${2^x = 2\cdot\sqrt{2}} ⇔ {2^x = 2\cdot {2}^{1/2}}$

${2^x = {2^{1 +{1/2}}}} ⇔ {2^x = {2^{{2 + 1}/2}}}$

${2^x = {2^{3/2}}} ⇔ {x = 3/2} $

${log_{0,01}{10} = y}  ⇔ {log_{10^{-2}}{10} = y}$

${(10^{-2})}^y = {(10)^1} ⇔  {(10)}^{-2y} = {10^1} $

${ -2y = 1} ⇔  {{-2y}/{-2} = {1/{-2}}}$

${y = -{1/2}}$

${ A = {{3\over 2} – {1\over 2}}} ⇔ {A = {{3- 1}\over2}}$

${ A = 1}$

Vou deixar alguns exercícios para você treinar. Não esqueça do que aprendeu no estudo da potenciação, pois é tudo baseado praticamente nesses conhecimentos.

h) ${ log_3({81\cdot x})^2}$

i)${log_2({{32\cdot y}\over 8})^3}$

j)${ log_t{{p\cdot\sqrt{q}}\over s}^v}$

k)${log_x{25} = x}$ ⇒determine x.

l) ${log_3{x} = -2}$ ⇒determine x.

m)${log_5{3125} = x}$ ⇒determine x.

n)${log_{\sqrt{3}}{27} = x}$ ⇒determine x.

o)${log_{(1/49)}{7\cdot\sqrt[3]{49}} = x}$⇒determine x.

p)${log_9{0,0081} = x}$ ⇒determine x.

q)Determine o valor de A.

${A = log 0,00001 + log 1000}$

r)Determine o valor de m.

${m = log 0,0002 + log400}$

s)Determine o valor de U

${U = log_3{9\sqrt81} + log_{0,001}{100}}$

Vamos em frente. Se as dúvidas aparecerem, peça ajuda e ela estará a disposição.

Curitiba, 08 de julho de 2018

Décio Adams

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