Expressões logarítmicas.
Vamos exercitar.
Desenvolver as expressões logarítmicas.
a) ${log_a{({m\cdot n})^v}}$
O expoente do logaritmando, irá multiplicar o logaritmo
${log_a{({m\cdot n})^v}} = {v\cdot{log_a{({m\cdot n})}}}$
Aplicando a propriedade da multiplicação, transformamos o logaritmo da multiplicação e adição dos logarítmos.
${v\cdot({log_a{m} + log_a{n}})} = v\cdot{log_a{m}} + v\cdot {log_a{n}}$
b)${log_x{({{p}\cdot {q}\over {r}})^u}}$
O expoente do logaritmando colocamos novamente multiplicando o logaritmo.
${ u\cdot{log_x{({{p}\cdot{q}\over{r}})}}} = {u\cdot{[log_x{({p}\cdot{q}) – log_x{r}]}}} = {u\cdot{[log_x{p} + log_x{q} – log_x{r}]}}$
c)${log_{{1}\over{25}}{(5\sqrt5)}}$
Vamos igualar o logaritmo a uma variável, como por exemplo $x$.
${log_{{1}\over{25}}{(5\sqrt 5)} = x }$
Pela definição de logaritmo: ${log_a{b} = x} ⇔ {a^x = b}$, podemos escrever:
${log_{{1}\over{25}}{(5\sqrt 5)} = x} ⇔ {({{1}\over{25}})^x} = {(5\sqrt 5)} $
Transformando a base em potência ficamos com:
${[{({{1}\cdot {5}})^{-2}}]^x} = {(5\sqrt 5)} ⇔ {[{1}\cdot{5}]^{-2\cdot {x}}} = {(5\sqrt 5)}$
A raiz quadrada de 5 pode ser representada por:
$\sqrt{5} ={5^{({1\over 2})}}$, e ficamos com
${[{1}\cdot{5}]^{-2\cdot {x}}}= {5\cdot {5^{({1\over 2})}}}$
${[{1}\cdot{5}]^{-2\cdot {x}}} = { 5^{ 1 + {1\over2}}}$
${[{1}\cdot{5}]^{-2\cdot {x}}} = {5^{{2 + 1}\over 2}}$
${[{1}\cdot{5}]^{-2\cdot {x}}} = {5^{3\over2}}$
Temos uma igualdade, onde podemos isolar $x$, uma vez que são potências de mesma base. Basta igualar os expoentes.
${-2\cdot x = {3\over2}} $
Vamos multiplicar os dois membros da igualdade por
${ – {1\over 2}}$
${ -{1\over2}\cdot -2\cdot x }= {{3\over2}\cdot -{1\over2}}$
${ x = – {3\over4}}$
Logo: ${log_{{1}\over{25}}{(5\sqrt5)}} = -{3\over4}$
d)${log_{25}{0,008}}$
Fazemos: ${log_{25}{0,008} = x }$
${{(25)}^x = 0,008}$
Decompondo a base em fatores primos: ${ 25 = 5^2}$
e ${0,008 = {8\over {1000}} = {{2^3}\over {{10}^3}}}$
De onde ficamos com: ${({5^2})^x} = {({2\over{10}})^3} $
Simplificando a fração ${2\over 10}$ por $2$, fica:
${5^{2x}} = ({{2}/{2}\over {10}/{2}})^3 $
${5^{2x}} = ({{1\over 5}})^3 $
${5^{2x}} = {1\cdot 5}^{-3}$
Igualando os expoentes das potências:
${2x = -3} ⇔{{{2x}\over{2}} = {-3\over 2}}$
${ x ={-3\over 2}}$
${log_{25}{0,008} ={-3\over 2}}$
e) ${ A = log 0,0001 + log 1000}$
Vamos por partes: ${ A = x + y}$
${log 0,0001 = x}$
${log 1000 = y}$
${{(10)}^x = 0,0001} ⇔ {{(10)}^x = 1/1000}$
${{(10)}^x = 1/{(10)}^4} ⇔ {{(10)}^x = 10^{-4}}$
Igualdade de potências de mesma base ⇔ expoentes iguais:
${ x = -4}$ ⇒ resultado da primeira parte.
${log 1000 = y} ⇔ {{(10)}^y = {(10)}^3}$
Novamente igualdade de logaritmos de mesma base ⇒expoentes iguais.
${ y = 3}$ ⇒ resultado da segunda parte.
Podemos agora determinar o valor de A.
${A = x + y} ⇔ {A = -4 + 3} ⇔ {A = -1}$
f)${A = {log_2(log_3{81})}}$
Vamos fazer: ${log_3{81} = x}$
${3^x = 81} ⇔ {3^x = 3^4} ⇔ {x = 4}$
Substituindo na expressão original:
${ A = log_2{x}} ⇔ {A = log_2{4}}$
${A = log_2{2}^2}$
${ 2^A = 2^2} ⇔ {A = 2} $
g) ${A =\underbrace{ log_2{2\cdot\sqrt{2}}} + \underbrace{ log_{0,01}{10}}}$
${ A = x + y}$
Temos então: ${log_2{2\cdot\sqrt{2}} = x}$
${log_{0,01}{10} = y}$
${2^x = 2\cdot\sqrt{2}} ⇔ {2^x = 2\cdot {2}^{1/2}}$
${2^x = {2^{1 +{1/2}}}} ⇔ {2^x = {2^{{2 + 1}/2}}}$
${2^x = {2^{3/2}}} ⇔ {x = 3/2} $
${log_{0,01}{10} = y} ⇔ {log_{10^{-2}}{10} = y}$
${(10^{-2})}^y = {(10)^1} ⇔ {(10)}^{-2y} = {10^1} $
${ -2y = 1} ⇔ {{-2y}/{-2} = {1/{-2}}}$
${y = -{1/2}}$
${ A = {{3\over 2} – {1\over 2}}} ⇔ {A = {{3- 1}\over2}}$
${ A = 1}$
Vou deixar alguns exercícios para você treinar. Não esqueça do que aprendeu no estudo da potenciação, pois é tudo baseado praticamente nesses conhecimentos.
h) ${ log_3({81\cdot x})^2}$
i)${log_2({{32\cdot y}\over 8})^3}$
j)${ log_t{{p\cdot\sqrt{q}}\over s}^v}$
k)${log_x{25} = x}$ ⇒determine x.
l) ${log_3{x} = -2}$ ⇒determine x.
m)${log_5{3125} = x}$ ⇒determine x.
n)${log_{\sqrt{3}}{27} = x}$ ⇒determine x.
o)${log_{(1/49)}{7\cdot\sqrt[3]{49}} = x}$⇒determine x.
p)${log_9{0,0081} = x}$ ⇒determine x.
q)Determine o valor de A.
${A = log 0,00001 + log 1000}$
r)Determine o valor de m.
${m = log 0,0002 + log400}$
s)Determine o valor de U
${U = log_3{9\sqrt81} + log_{0,001}{100}}$
Vamos em frente. Se as dúvidas aparecerem, peça ajuda e ela estará a disposição.
Curitiba, 08 de julho de 2018
Décio Adams
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