067.9 – Matemática, álgebra. Condições de existência dos logaritmos.

Estudo da existência dos logaritmos.

 

Vimos no início do nosso estudo dos logaritmos que

${log_a{b} = x}$, tem como condição de existência que tenhamos:

${a > 0,  a ≠ 1}$ ⇔ ${0 < a ≠ 1}$

${b > 0}$

Se estas condições não forem satisfeitas o logaritmo não existe. Isso nos leva a um tipo de expressão em que precisamos analisar uma ou mais situações e estabelecer a condição de existência daquele(s) logaritmo(s) especificamente.

1)Determine a condição de existência do logaritmo da expressão: ${log (x + 2) = 2}$

Observando a expressão temos que:

${ a = 10}$ ⇒ O que satisfaz a primeira condição: ${0<a≠1}$

${b = x + 2}$ ⇒ Como vimos que ${b > 0}$, fica:

${(x + 2) > 0} $ ⇒ Uma inequação do primeiro grau. Vamos resolve-la.

${(x + 2) -2 > 0 -2} ⇔ {(x + 2 – 2) > -2} ⇔ {x > -2}$

${ S = \{x ∈ ℜ| x > -2\}}$

A expressão tem solução, isto é o logaritmo existe, sempre que o valor de $x$ for maior do que ${-2}$.

Podemos determinar o valor de $x$

${log(x + 2) = 2} $

${{10}^2 = x + 2 } ⇔ {100 – 2 = x + 2 – 2} ⇔ {x = 98}$Analise

2)Determine a condição de existência desta expressão.

${log_2{\sqrt{(x-2)}}}$

${ a = 2}$ ⇒A base satisfaz a condição de existência do logaritmo(0< 2 ≠ 1).

${ b = \sqrt{(x-2)}} ⇔ {x – 2 > 0}  ⇔ {x – 2 + 2 > 0 + 2} ⇔ {x >2}$

O logaritmo dessa expressão existe para todos os valores de $ {x > 2 }$

${S = \{ x∈ ℜ| x > 2\}}$

3)Analise a existência da expressão logarítmica a seguir.

${log_{1/3}{(-x^2 + 5x – 4)}}$

A base é ${a = 1/3}$ o que a torna diferente de 1 e maior que 0(zero).

O logaritmando é um trinômio quadrado.

${(-x^2 + 5x -4) > 0}$

fazendo: $ {f(x) = – x^2 + 5x -4}$, podemos estudar os sinais da função ${f(x)}$. Para isso vamos igualar o trinômio a 0 (zero) e transformá-lo numa equação do segundo grau.

${ – x^2 + 5x – 4 = 0} ⇔ { a = -1; b = 5; c = -4}$

Vamos calcular o discriminante dessa equação.

${Δ = b^2 – 4\cdot {a}\cdot {c}} ⇔ {Δ =5^2 – 4\cdot{(-1)}\cdot {(-4}}$

${Δ = 25 – 16} ⇔ {Δ = 9}$ ⇒ Discriminante $({Δ > 0})$, significa que a equação possui duas raízes, reais e diferentes.

Determinando as raízes:

${ x = {{-b \pm \sqrt{Δ}}\over {2\cdot {a}}}}$

${x = {{-5\pm\sqrt{9}}\over{2\cdot{-1}}}}$

${x = {{-5 \pm 3}\over{-2}}}$

${x’ = {{-5 + 3}\over{-2}}} ⇔ {x’ = {{-2}\over{-2}}} ⇔ {x’ = 1}$

${x” = {{-5 – 3}\over{-2}}} ⇔ {x” = {{-8}\over {-2}}} ⇔ {x” = 4}$

Para os valores das raízes a função se iguala a 0 (zero), de modo que estes ficam excluídos.

O primeiro termo da função é ${a = -1} ⇔ {a < 0}$. Desse modo o gráfico da função é uma parábola de concavidade voltada para baixo.

parabola_convexa
Parábola convexa. Valores positivos da função correspondem ao intervalo entre as raízes.

 

Os valores positivos da função estão localizados acima do eixo das abcissas (x) e portanto a solução para a questão é:

${ S = \{x ∈ ℜ| 1 < x < 4\}}$

 

4) Estabeleça a condição de existência da expressão logarítmica que segue.

${log_{x -3}{(x + 5)}}$

A base do logaritmo: ${ a = x – 3}$

Vimos que a base deve ser: ${ 0< a ≠ 1}$

Logo: ${x – 3 > 0}  ⇔ {x > 3}$

${x – 3 ≠ 1} ⇔ {x ≠ 1 + 3} ⇔ {x ≠ 4} $

O logaritmando deve ser ${ b > 0} ⇔ {x + 5 > 0} ⇔ {x > -5}$

Vamos representar os valores de ${x}$ em duas retas numéricas reais.

retas_numericas_reais
Retas numéricas reais. Solução para os valores de x na base e no logaritmando.

Na primeira temos os valores de x que satisfazem a condição necessária para que a base do logaritmo seja possível. Na segunda, os valores maiores que ${-5}$, satisfazem às condições do logaritmando. Fazendo a interseção dos dois conjuntos, temos que:

${S = \{x∈ℜ| 3< x ≠ 4\}}$

5)Faça a análise das condições de existência do logaritmo na expressão a seguir.

${log_{x – 2}{(x^2 – 4x – 5)}}$

Temos que: ${x – 2 > 0} ⇔ {x > 2}$

Também:      ${x – 2 ≠ 1} ⇔ {x ≠ 1 + 2} ⇔ {x ≠ 3} $

O logaritmando é também um trinômio quadrado. Vamos transforma-lo em uma função ${f(x)}$.

${f(x) = {(x^2 – 4x – 5) > 0}}$

Determinando as raízes.

${ a = 1, b = -4, c = -5}$

Discriminante: ${ Δ = {b^2 – 4\cdot{a}\cdot{c}}}$

${Δ = {(-4)^2 – 4\cdot{1}\cdot{-5}}} ⇔ {Δ = 16 + 20} $

${Δ = 36}$

Com o discriminante positivo, temos novamente duas raízes reais e diferentes.

${ x = {{-b \pm\sqrt{Δ}}\over{2\cdot{1}}}}$

${ x = {-{(-4)}\pm\sqrt{36}\over{2}}}$

${x = {{4\pm6}\over2}}$

${x’ = {{4 + 6}\over2}} ⇔ { x’ = 10/2} ⇔ {x’ = 5}$

${x” = {{4 – 6}\over 2}} ⇔ {x” = -2/2} ⇔ {x” = – 1}$

O primeiro termo da função é positivo, portanto a parábola terá concavidade para cima. Os valores da função são positivos para valores externos ao intervalo das raízes. Mas para os valores de x menores que -1, a base do logaritmo não existe e portanto ficamos somente com os maiores que 5.  Veja no gráfico.

parabola-concava
Parábola côncava. Valores positivos da função correspondem às abcissas externas ao intervalo das raízes.

Isso nos permite dizer que:

${S=\{x∈ℜ|x > 5\}}$

 

 

Exercícios para treinar.  Baseado nos exemplos anteriores, faça a análise das condições de existência dos logaritmos.

a) ${log{(x^2 – 7x + 12)}}$

b) ${log(3x – 6)}$

c) ${log_{(5)^{-1}}{\sqrt{x – 25}}}$

d)${log_{x – 2}{(-x^2 + 7x – 10)}}$

e)${log_{x + 5}{x – 7}}$

f)${log_{1/3}{(x^2  – 3x – 10)}}$

g)${log_{5-x}{(x^2 – 6x + 8)}}$

h)${log_{\sqrt{x + 3}}{\sqrt[3]{(x + 5)^2}}}$

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Curitiba, 09 de julho de 2018

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