Categoria: Multiplicação

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013.1 – Matemática, aritmética. Radiciação de naturais.

O caminho inverso. – Radiciação.

Assim como em outras situações, estamos vendo que, a cada nova operação matemática que aprendemos, logo depois aparece outra, que faz o caminho contrário. E não seria diferente com a potenciação.

Vamos pegar um número, potência de 3. Esse número vai ser 243. Vamos decompor em seus fatores, para sabermos qual é o expoente ao qual foi elevada a base 3, para encontrar 243.
O número é ímpar e por isso não divisível por dois ou seus múltiplos. Para seguir somamos os algarismos que formam o número $2 + 4 + 3 = 9$ que é divisível por $3$

Fizemos cinco divisões sucessivas por $3$, até resultar quociente $1$. Dessa forma temos que $\color{Blue}{3^5 = 243}$
Então podemos representar:
$\color{Blue}{243 = 3^5 = 3\times3\times3\times3\times3} $

A base 3, elevada ao expoente 5 e obtemos a potência 243.

Neste caso dizemos que 3 é a raiz quinta de 243.

Essa operação inversa se denomina Radiciação e se representa na forma de um radical, onde temos:

Radicando é número cuja raiz estamos determinando.
Índice é o número que indica o expoente ao qual deve ser elevada a raiz para resultar o radicando.
Raiz é a base da potenciação que resulta no radicando.

Assim, usando o símbolo:\[\bbox[4px,border:2px solid olive]{\color{Blue}{ \root 5 \of {243} = 3}}\]

011.3 – Matemática, aritmética. Potenciação de potências e expoente exponencial

Buscas na internet.

Pesquisando na internet, descobri que nos últimos dias a procura pelo assunto potenciação, por parte dos internautas, aumentou quase 100%. Isso significa que estou atacando um dos assuntos mais procurados. Vamos seguir mais um pouco. Apresentar mais uns detalhes sobre o assunto.

Vamos ver como se faz uma multiplicação de potências iguais.
Assim: $\color{Blue}{3^2\times 3^2\times 3^2\times 3^2 = (3^2)^4}$
Temos agora uma potência de potência, isto é, três elevado ao quadrado, elevado a quarta potência.
Vamos aplicar no começo, a regrinha da multiplicação de potências de mesma base.
Teremos:$\bbox[4px,border:2px solid olive]{\color{Blue}{3^{(2+2+2+2)} = 3^8}}$

Se observarmos bem, os expoentes na expressão $\color{Blue}{{[(3)^2]}^4}$, vemos que, se multiplicarmos os expoentes $\color{Blue}{2\times 4= 8}$ ou seja a soma dos expoentes das potências iguais.

Dessa forma pode-se afirmar que:

“Para elevar uma potência a outra potência, basta conservar a base e multiplicar os expoentes”.
Vamos exercitar um pouco?
- $\color{Blue}{[(4)^2]^3 = 4^{(2\times 3)} = 4^6}$
- $\color{Blue}{[(7)^3]^3 = 7^{(3\times 3)} = 7^9}$
- $\color{Blue}{[(11)^4]^2 = (11)^(4\times 2) = (11)^8}$
- $\color{Blue}{{[(5)^4]^5} = 5^{(4\times 5)} = 5^{20}}$

Fica muito simples perceber que a operação potenciação apresenta bem mais possibilidades de aplicações úteis, do que meramente substituir uma multiplicação por uma expressão mais simples, mais curta. Começam a pintar várias novidades. O que vimos até aqui é apenas um pequeno vislumbre do que é possível. Mas vamos devagar. Um degrau de cada vez.

Vamos recordar o que já vimos até aqui?

Transformar potências em multiplicações de fatores iguais.
- $\color{Blue}{7^3 = ?}$
- $\color{blue}{5^2 = ?}$
- $\color{Blue}{8^6 = ?}$
- $\color{Blue}{3^4 = ?}$
- $\color{Blue}{2^5 = ?}$

Escrever na forma de potências as multiplicações.
- $\color{Blue}{3\times3\times3\times3\times5\times5\times5 = ?}$
- $\color{Blue}{5\times5\times5\times5\times5\times5 = ?}$
- $\color{Blue}{4\times4\times4\times4\times4\times4\times4\times4 = ?}$
- $\color{Blue}{{11}\times{11}\times{11}\times{11}\times{11} = ?}$
- $\color{Blue}{7\times7\times7\times7 = ?}$

Escrever o resultado das potências.
- $\color{Blue}{3^3 = ?}$
- $\color{Blue}{5^3 = ?}$
- $\color{Blue}{2^5 = ?}$
- $\color{Blue}{7^1 = ?}$
- $\color{navy}{6^0 = ?}$
- $\color{navy}{(500)^0 = ?}$
- $\color{navy}{(50)^1 = ?}$

Efetuar as multiplicações de potências de mesma base.
- $\color{Blue}{{3^2}\times{3^4}\times{3^2}\times{3^3}\times{3^5} = ?}$
- $\color{Blue}{{5^4}\times{5^3} = ?}$
- $\color{Blue}{{4^0}\times{4^3}\times{4^5} = ?}$
- $\color{Blue}{{6^2}\times{6^3}\times{6^3}\times{6^2} = ?}$
- $\color{Blue}{{7^5}\times{7^1}\times{7^2} =?}$

Efetuar as divisões das potências de mesma base.
- $\color{Blue}{{(5^8)}\div {(5^3)} = ?}$
- $\color{Blue}{{(13)^5}\div{(13)^2} = ?}$
- $\color{Blue}{{(4^7)}\div{(4^7)} = ?}$
- $\color{Blue}{{(6^3)}\div{(6^1)} = ?}$
- $\color{Blue}{{(8^6)}\div{(8^5)} = ?}$

Vamos dar mais um passinho?
- E se o expoente for uma potência?
- $\color{Blue}{{{5^3}^2} = 5^9}$
Trata-se agora de um expoente exponencial. Antes de elevarmos a base ao expoente, precisamos efetuar a potência desse expoente. Ou seja, precisamos efetuar o $\color{Brown}{3^2= 9}$ e depois elevar o 5 à nona potência. Teremos então: $\color{Brown}{5^{9}}$

Note que se multiplicássemos os expoentes ($\color{Brown}{3\times 2 =6}$, teríamos $\color{Brown}{5^{3\times 2} = 5^6}$, que é totalmente diferente. Notamos que a coisa fica um pouco mais complexa. Portanto cuidado. Potência de potência não é o mesmo que potência com expoente exponencial. Felizmente o uso dessa forma é menos comum, do que a primeira. Um pouco de exercício faz bem, né!

Efetue as potências indicadas.
- $\color{Blue}{{{7^5}^2} = ?}$
- $\color{Blue}{{{5^3}^1} = ?}$
- $\color{Blue}{{{6^4}^3} = ?}$
- $\color{Blue}{{{8^3}^4} = ?}$
- $\color{Blue}{{{9^2}^3} = ?}$
Transforme os expoentes das potências em exponenciais.
- $\color{Blue}{3^{32} = ?}$
- $\color{Blue}{7^{243} = ?}$
- $\color{Blue}{(13)^{27} = ?}$
- $\color{Blue}{5^{625} = ?}$
- $\color{Blue}{9^{256} = ?}$
Adendo: Um leitor me enviou a seguinte pergunta, ou melhor questão: Realizar a divisão que ele encontrou num livro ou apostila e não entendeu como resolver.
Exercício de divisão
A divisão apresentada é a divisão de duas potências. Seria assim:
$\color{navy}{{{{{{2^3}^2}^1}^8}^7}^6}\div {{{{{{4^2}^2}^8}^0}^9}^6}$
Vemos uma sucessão de potências em número de 6 (seis). À primeira vista parece algo difícil de resolver. Se fôssemos desenvolver tudo, iriamos fazer uma montanha de cálculos desnecessários. Não podemos esquecer que a matemática tem alguns atalhos que nos levam à resposta num piscar de olhos. Aquele problema gigante, se resolve num clic.
Acompanhem o raciocínio. Na potência dividendo, temos no quarto expoente de cima para baixo o número 1(um). Isto significa que iremos elevar 1(um) ao expoente que existir acima dele e o resultado só pode ser 1(um). Continuando vamos ter:
$\color{Blue}{2^1 = 2}$
Para terminar temos $\color{Blue}{3^2 = 9}$
Reduzimos o dividendo à potência $\color{Blue}{2^9}$
No divisor vamos encontrar na terceira posição, do último expoente para baixo. Sabemos que qualquer expoente para 0(zero), resulta igual a 0.
O próximo expoente é 8, e vamos ter $\color{Blue}{8^0 = 1}$
Na sequência temos o expoente 2 e fica $\color{Blue}{2^1 = 2}$
Terminamos com $\color{Blue}{2^2 = 4}$
Passamos a ter $\color{Blue}{4^4} = {(2^2)}^4 = {2^{2×4}} =2^8 $
Efetuando a divisão $\color{Blue}{{2^9}\div{2^8} = 2^{9-8} = 2^1 = 2}$.
Este resultado comprova que a resposta indicada na figura é a correta.

Andamos mais um passo. Se você for um dos que procuraram pelo assunto potenciação na internet e tiver interesse em aprofundar o assunto, entre em contato comigo nos endereços que constam abaixo do artigo. Estou a disposição para orientar e tirar suas dúvidas. Legal?

Curitiba, 05 de novembro de 2018.

Décio Adams

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011.2 – Matemática, aritmética. Operações com naturais – Potenciação. Operações com potencias.

Operações com potências

Vamos começar por um ponto bem simples.

Seja: $\color{Brown}{3^5 \times 3^2 = 243 \times 9 = 2187}$
Mas podemos fazer: $\color{Brown}{(3\times 3\times 3\times 3\times 3)\times (3\times 3) = ?}$

Note que agora temos uma multiplicação de $\color{Brown}{7}$(sete) fatores iguais e podemos escrever então:

\[\bbox[4px,border:2px solid olive]{\color{Brown}{3^5 \times 3^2 = 3^{(5+2)} = 3^7}}\]

Isso nos mostra que, quando multiplicamos potências de mesma base, podemos somar os expoentes e deixar o resultado na forma exponencial.

“Para resolver um produto de potências de mesma base, somamos os expoentes e conservamos a base”.

Não vou usar aqui letras para substituir os números, pois ainda não falei de álgebra. Estou tratando apenas de aritmética, onde não entram símbolos alfabéticos.

Vamos exercitar?
$\color{Brown}{6^2\times6^4 =?}$
$\color{Brown}{4^3\times4^2\times4^5=?}$
$\color{Brown}{2^1\times2^2\times2^2\times2^3=?}$
$\color{Brown}{5^3\times5^4\times5^2=?}$

Obs.: eu coloquei de propósito no terceiro exercício uma potência de expoente $\color{Blue}{1}$. Por que isso? Existe uma demonstração para provar isso, mas trataremos disso daqui a pouco. Mas se o expoente é $\color{Blue}{1}$, significa que teríamos uma multiplicação de $\color{Blue}{1}$(um) fator igual a $\color{Brown}{2}$. Então o seu resultado só poderia ser dois. Por extensão, todos os números escritos sem expoente, tem automaticamente como expoente o número $\color{Brown}{1}$, subentendido. De maneira que não é preciso escreve-lo, pois sabemos que ele existe. Em outro momento vamos demonstrar quanto vale uma potência de expoente $\color{Brown}{0}$ (zero).

E se em em vez de multiplicar potências de mesma base, estivermos dividindo essas potências?
Assim: $\color{Brown}{2^7 : 2^5 = 128 : 32 = 4}$

Podemos notar que $\color{Brown}{4 = 2^2}$.

Olhando bem para o resultado, vemos que esse último expoente é igual a $\color{Brown}{(7 – 5)}$, ou seja a diferença entre os expoentes do dividendo e do divisor. Então podemos resolver a divisão de potências de mesma base, fazendo a subtração dos expoentes (dividendo – divisor) e conservar a base. Vamos ver outros exemplos.
$\color{Brown}{6^5 : 6^3 = 6^{(5-3)} = 6^2}$
$\color{Brown}{7^8 : 7^5 = 7^{(8-5)}=7^3}$
$\color{Brown}{3^{12} : 3^7 = 3^{(12 – 7)} = 3^5}$

É possível perceber que a divisão dessa forma fica facilitada. Em lugar de multiplicarmos os números, encontrar o resultado das potências e depois dividir, para transformar novamente em potência, fazemos apenas uma subtração e o resultado aparece de forma simples.

“Para dividir potências de mesma base, conservamos a base e efetuamos a subtração do expoente do dividendo menos o do divisor”.

Assim fica fácil. São os primeiros degraus, antes dos outros que vem a seguir.

Falei antes que iria demonstrar por que os números com expoente $\color{brown}{1}$, são iguais à base. É bem fácil.

$\bbox[4px,border:2px solid olive]{\color{Brown}{3^5 : 3^4 = 3^{(5-4)} = 3^1}}$

Vamos desenvolver as potências:
- $\color{Brown}{(3\times 3\times 3\times 3\times 3) : (3\times 3\times 3\times 3) = 243 : 81 = 3}$
A divisão feita na forma de potências resultou $\color{Brown}{3^1}$ e com os números representados pelas potências o resultado foi $\color{Brown}{3}$. Será que pode mudar o valor do resultado, pelo simples fato de representar os números de forma diferente?

É claro que não. Isso invalidaria uma das fórmulas de cálculo. E então podemos dizer que $\color{Brown}{3^1 = 3}$. Isso se aplica a todos os números. O número escrito sem expoente, sempre se subentende que ele têm por natureza o expoente $\color{Brown}{1}$. Certo?

“Potências de expoente igual a unidade, tem valor igual à base”.

Agora vamos ver outro caso
- $\color{Brown}{6^2 : 6^2 = 6^{(2 -2 )} = 6^0}$
Desenvolvendo as potências:
- $\color{Brown}{(6\times 6) : (6\times 6) = 36 : 36 = 1}$
O resultado das duas formas de fazer a divisão deu diferente. Já vimos que isso não pode acontecer. Qual é a conclusão?
- $\bbox[4px,border:2px solid olive]{\color{Brown}{6^0=1}}$
Novamente isso se aplica a qualquer número. Se o seu expoente for igual a $\color{Brown}{0}$ (zero), o valor do número é $\color{Brown}{1}$.
- “Qualquer potência de expoente $0$(zero) tem valor igual a unidade”.
- Uns exercícios para treinar.
  - Efetue as multiplicações de potências de mesma base.
    - $\color{Blue}{7^3\times7^2\times7=?}$
    - $\color{Blue}{5^2\times5^4\times5^3 =?}$
    - $\color{Blue}{8^7\times8^3=?}$
    - $\color{Blue}{3^4\times3^2=?}$
  - Efetue as divisões de potências de mesma base.
    - $\color{Blue}{(12)^5 : (12)^2 =?} $
    - $\color{Blue}{(15)^6:(15)^2=?}$
    - $\color{Blue}{9^4:9^1=?}$
    - $\color{Blue}{8^5:8^5=?}$
    - $\color{Blue}{7^4:7^3=?}$
    - $\color{Blue}{3^5 : 3^4 =?}$
    - $\color{Blue}{(11)^3 : (11)^3 = ?}$
    - $\color{Blue}{(45)^7 : (45)^7 = ?}$
    - $\color{Blue}{5^7 : 5^6 = ?}$
Se for de seu desejo, é fácil criar novos exercícios semelhantes. Os números estão à sua disposição. Eles não reclamam, não cobram nada mais do que atenção e raciocínio.

Obs.:Em caso de dúvida, faça contato para esclarecer e sanar sua dificuldade, usando um dos meios fornecidos logo abaixo. Mesmo que a dificuldade seja de outra ordem, dentro de matemática, talvez eu possa ajudá-lo. Não espere a dúvida ficar velha, de cabelos brancos e criar problemas.

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011.1 – Matemática, aritmética. Potenciação.

Não é que eu estava esquecendo!

Estão lembrados que a multiplicação é uma soma de parcelas iguais?

E se tivermos uma multiplicação de fatores iguais? Será que podemos pensar em uma forma de escrever isso de maneira mais resumida?

Por exemplo: $\bbox[4px,border:2px solid olive]{\color{navy}{3\times 3\times 3\times 3\times 3\times 3 = ?}}$
Muito simples. Basta irmos multiplicando o três tantas vezes quantas estiver indicado. Mas será que não tem outro jeito?
Há muito tempo ( pesquisei e não encontrei quando isso aconteceu) alguém olhou para essas expressões e pensou em uma maneira de encurtar a “tripa”. Como?

Foi criada a Potenciação, também conhecida como Exponenciação ou forma exponencial. Basta escrever o número de fatores iguais, um pouco acima, do lado direito daquele número que é repetido. Então como fica a expressão aí de cima?

\[\bbox[4px,border:2px solid olive]{\color{brown}{3^6}}\]

Nessa forma de escrever, temos um número na forma exponencial. Lemos: três elevado a sexta potência, ou três elevado a seis.

19 de outubro de 201819 de outubro de 2018

010.4 – Matemática, aritmética. Divisão e suas propriedades. Resumo das propriedades das operações.

Divisão – Propriedades

A divisão, de modo semelhante à multiplicação, da qual é a operação inversa, poderia ser representada como uma subtração sucessiva de termos. Por exemplo:

$\color{navy}{30 : 6 = 5}$
$\color{navy}{30 – 6 – 6 – 6 – 6 – 6 = 0}$

Subtraímos do dividendo $\color{navy}{30}$(trinta) cinco vezes o divisor $\color{navy}{6}$ e sobrou $0$(zero). Isso por ser uma divisão exata. O número de subtrações sucessivas é igual ao quociente. Se a divisão não for exata, iremos ter no final um resto menor que o divisor. Vejamos.

$\color{navy}{47 : 7 = 6}$, sobrando resto $\color{navy}{5}$.
$\color{navy}{47 – 7 – 7 – 7 – 7 – 7 – 7 = 5}$ $\Leftrightarrow$ $\color{navy}{(7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 5 = 47})$

Subtraímos seis vezes o divisor $\color{navy}{7}$ do dividendo $\color{navy}{47}$ e na última subtração, ficou sobrando o resto $\color{navy}{5}$. Para obter novamente o dividendo, somamos seis parcelas iguais a $\color{navy}{7}$ e no final também o resto $\color{navy}{5}$.

Podemos facilmente deduzir que a divisão não goza de todas as propriedades da multiplicação, assim como a subtração não goza das propriedades da adição. O que foi dito acima, vale para as divisões exatas, como vimos. Se sobrar resto, não obtemos um resultado inteiro. Esse assunto será estudado ao abordar o conjunto dos números racionais (fracionários).

Propriedade distributiva: Vejamos a seguinte situação.
$\color{navy}{(15 + 18)\div 3 = 33\div 3 = 11}$
$\color{navy}{(15\div 3) + (18\div 3) = 5 + 6 = 11}$
Neste caso, fizemos uma distribuição do divisor pelos termos da adição que forma o dividendo.
$\color{navy}{ (55 – 33)\div 11 = 22\div 11 = 2}$
$\color{navy}{(55\div 11) – (33\div 11) = 5 – 3 = 2}$
Fizemos o mesmo com a subtração e podemos dizer que o divisor é distributivo em relação aos termos da soma ou subtração.
Se colocarmos na ordem inversa, como por exemplo $\color{navy}{64\div (12 + 4) = 64\div 16 = 4}$. Não podemos fazer a distribuição do dividendo pelos dois termos do divisor. $\color{navy}{(64\div 12) + (64\div 4) = \frac{64}{12} + 16 \not= 4}$.
Isso nos mostra que a propriedade distributiva na divisão, se aplica ao divisor que pode dividir os termos da adição ou subtração, sem alterar o resultado. Já com o dividendo não acontece o mesmo. Por isso não posso afirmar que a divisão goza da propriedade distributiva em relação à adição e subtração, como acontece na multiplicação.
Elemento neutro – outro dia uma leitora dessa matéria me perguntou por que eu considerei que a divisão não goza do elemento neutro e afirmou que ela o considerava como sendo o número $1$. Analisei e foi preciso dar razão a ela, mas fazendo a ressalva, como aliás já fiz também para a multiplicação, de que isso só vale com o número natural $1$, quando ele é o divisor. O que só vem confirmar a afirmação de que esta propriedade não se aplica na divisão.

Resumo das propriedades:

Adição:

Comutativa – a ordem das parcelas não altera a soma.
Associativa – podemos substituir duas ou mais parcelas pela sua soma (associação), sem alterar a soma final.
Elemento Neutro – adicionar uma parcela igual a zero a uma soma, não altera o resultado. Zero é o Elemento neutro da adição.
Propriedade do fechamento – a adição sempre é possível no conjunto dos números naturais. A soma de dois números naturais, é igual a outro número natural.

Multiplicação:

Comutativa – a ordem dos fatores não altera o produto.
Associativa – podemos substituir dois ou mais fatores pelo seu produto (associação), sem alterar o produto final.
Elemento Neutro – multiplicar por 1(hum) não altera o produto. O número 1(hum) é o elemento neutro da multiplicação.
Distributiva em relação a adição e subtração – a multiplicação de um fator por uma soma ou subtração, pode ser feita distribuindo o fator por cada um dos termos e depois realizar a adição ou subtração entre os resultados. O produto final será o mesmo.
Fechamento: Vimos que a multiplicação de dois números naturais é sempre possível, ou seja, um número natural multiplicado por outro, resulta num produto que é um número natural.

Subtração: Não goza das propriedades comutativa, associativa,elemento neutro e fechamento no conjunto dos números naturais.

Divisão: Não goza das propriedades comutativa, associativa. O elemento neutro é o número natural $1$ quando colocado como divisor, jamais como dividendo. Isso equivale a dizer que a propriedade não se aplica. A propriedade distributiva em relação a adição e subtração, funciona apenas com o divisor. Com o dividendo não funciona. Na prática não devemos usar essa propriedade para a divisão.

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19 de outubro de 201819 de outubro de 2018

010.3 – Matemática, aritmética. Multiplicação. Propriedade do elemento neutro.

Elemento neutro da multiplicação.

Se não me engano, vimos mais uma propriedade na adição. E seu nome era Elemento neutro. Podemos adicionar o número “zero” e a soma não se altera.

Será que se multiplicarmos uma série de fatores por “zero”, o resultado não se altera?

Vejamos:

$\color{navy}{7\times 4\times 0 = 28\times 0 = 0}$ (soma de “zero” parcelas iguais a $\color{navy}{28}$). O resultado é zero.
Fica fácil perceber que “zero” não é elemento neutro da multiplicação.
Existirá outro número pelo qual possamos multiplicar uma série de fatores e o resultado não será alterado?
Vamos tentar o número $\color{navy}{1}$(um).
$\color{navy}{8\times 4 = 32}$
$\color{navy}{8\times 4\times 1 = 32\times 1 = 32}$ (soma de uma parcela igual a $\color{navy}{32}$). O resultado se manteve igual a $32$.

Vemos que na multiplicação o elemento neutro não é o número zero, mas sim o número $\color{navy}{1}$(hum).

Concluímos então que a multiplicação goza da propriedade do elemento neutro e esse é o número $\color{navy}{1}$(hum).

“Multiplicando uma expressão pelo número 1(um), o resultado não se altera. Assim o elemento neutro da multiplicação é o número 1(um), no conjunto dos números naturais.

Mas a multiplicação, goza de uma propriedade além das outras operações. E sua aplicação é muito, mas muito importante no estudo da álgebra em especial, quando iremos multiplicar expressões algébricas por termos algébricos e por outras expressões. Na hora apropriada veremos isso.

Mas que propriedade é essa? Vamos observar atentamente os exemplos a seguir.

$\color{navy}{4\times (7 + 5) = 4\times 12 = 48}$.
Substituímos o $\color{navy}{7 + 5}$ pela sua soma e multiplicamos. Vamos tentar fazer de outra maneira. Que tal multiplicar o $\color{navy}{7}$ e o $\color{navy}{5}$ por $\color{navy}{4}$. Somar os resultados e ver o que encontramos.
- $\color{navy}{4\times (7 + 5) = 4\times 7 + 4\times 5 = 28 + 20 = 48}$
Será que isso acontece sempre?
- $\color{navy}{(8 + 3)\times 6 = 11\times 6 = 66}$
- $\color{navy}{(8 + 3)\times 6 = 8\times 6 + 3\times 6 = 48 + 18 = 66}$
Se no parênteses tivermos uma subtração, como fica?
- $\color{navy}{(16 – 5)\times 7 = 11\times 7 = 77}$
- $\color{navy}{(16 – 5)\times 7 = (16\times 7) – (5\times 7) = 112 – 35 = 77}$
- OBS.: Por que eu coloquei as multiplicações entre parênteses? Isso não seria necessário, se já tivéssemos falado na ordem de precedência na realização das operações em uma expressão matemática (tanto faz que seja aritmética ou algébrica). Vamos falar disso em outro momento.
O que notamos é que podemos efetuar a soma ou subtração e multiplicar o resultado pelo fator externo ou multiplicar cada um dos termos da soma ou subtração, para depois realizar a soma ou subtração dos resultados. A resposta final é a mesma. Nas expressões aritméticas isso não tem muita utilidade, mas, novamente veremos o quanto é importante esse procedimento no estudo da álgebra. É geralmente esse o entrave dos alunos para entender as operações algébricas.

Que nome tem essa propriedade que acabamos de ver?

Podemos notar que o fator que aparece multiplicando no início, é distribuído para os termos da adição ou subtração. Exatamente por isso, essa propriedade é denominada:
- “Propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição e subtração”.
Podemos fazer uso dessa propriedade em casos como o do exemplo a seguir.

Temos:
- $\color{navy}{8\times 45 = ?}$ $\color{navy}{(360)}$
Podemos substituir o $\color{navy}{45}$ por uma soma de duas ou mais parcelas e o resultado não será alterado. Observemos.
- $\color{navy}{8\times (19 + 26) = 8\times 19 + 8\times 26 = 152 + 208 = 360}$
- $\color{navy}{8\times (14 + 20 + 11) = 8\times 14 + 8\times 20 + 8\times 11 = 112 + 160 + 88 = 360}$
Podemos também substituir um fator por uma subtração:
- $\color{navy}{12\times 17 = ?}$ $\color{navy}{(204)}$
- $\color{navy}{(25 – 13)\times 17 = (25\times 17) – (13\times 17) = 425 – 221 = 204}$
Ou $\color{navy}{12\times 17 = 12\times (35 – 18)}$
- $\color{navy}{(12\times 35) – (12\times 18) = 420 – 216 = 204}$
Viu como podemos jogar com os números? É suficiente estar atento e aplicar as propriedades, as regras. Isso se consegue com exercícios, que podemos inventar facilmente, em especial nesse nível inicial. É bem por isso que esses assuntos, parecendo tão simples e até sem importância, fazem falta na hora que vamos aprender os conteúdos mais complexos e que são justamente baseados nessas questões tão elementares. Imagine uma escada. Para subir o segundo degrau, é preciso subir antes o primeiro. Não se chega ao 10º degrau, sem galgar, um a um, os nove que vem antes. Assim é com tudo, não apenas matemática, mas na matemática isso é crucial. A falta de uma parte, é igual construir uma casa, sem fazer o alicerce, ou deixar esse com buracos, falhas. Na hora que tentar construir os outros andares, ou colocar o telhado, o alicerce cede e vem tudo abaixo. Por isso eu volto a chamar atenção para a importância desses conteúdos básicos.
- Propriedade do fechamento.
Você já se viu em uma situação, na qual não fosse possível fazer a multiplicação de dois números naturais?

Creio que não. Sempre que multiplicamos dois números naturais, o produto é também um número natural. Isso nos mostra que a multiplicação é fechada no conjunto dos números naturais, ou seja, é sempre possível realizar a multiplicação de dois números naturas.
- “A multiplicação goza da propriedade do fechamento para o conjunto dos números naturais”.
Em determinadas situações isso poderá ser útil na nossa vida prática. Você irá descobrir ao longo da vida.
Curitiba, 19 de outuro de 2018.

Décio Adams

15 de outubro de 201819 de outubro de 2018

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010.2 – Matemática, aritimética. Propriedades da multiplicação. Associativa.

Propriedade associativa da multiplicação.

Qual era a próxima propriedade que vimos na adição? Lembram? Já esqueceram? Então é hora de lembrar.
É a propriedade associativa. Associar sempre significa unir, reunir, juntar, agrupar. Vamos tentar fazer isso em uma multiplicação de vários fatores.

$\color{navy}{6\times 3\times 8\times 4 = 6\times (3\times 8)\times 4 = 6\times 24\times 4 = 576}$
$\color{navy}{(6\times 3)\times (8\times 4) = 18\times 32 = 576}$
$\color{navy}{6\times (3\times 8\times 4) = 6\times 96 = 576}$

Estamos percebendo que é possível associar, isto é, substituir dois ou mais fatores pelo seu produto. Nos exemplos fizemos isso, mantendo a ordem, isto é sem aplicar a propriedade comutativa. Vamos ver se mudando a ordem também funciona assim.

$\color{navy}{(6\times 4)\times (8\times 3) = 24\times 24 = 576}$
$\color{navy}{(4\times 3\times 6)\times 8 = 72\times 8 = 576}$
$\color{navy}{(3\times 6\times 8)\times 4 = 144\times 4 = 576}$

Assim ficou demonstrado que a propriedade associativa na multiplicação se aplica também e podemos enunciar:

“Na multiplicação, podemos substituir (associar) dois ou mais fatores pelo seu produto, sem alterar o resultado final”.

Vamos treinar um pouco?

$\color{brown}{2\times 5\times 8\times 9 =?}$
$\color{brown}{4\times 3\times 7\times 5\times 2 =?}$
$\color{brown}{10\times 9\times 7\times 3 =?}$
$\color{brown}{8\times 4\times 5 =?}$
$\color{brown}{12\times 9\times 3\times 5\times 2 = ?}$
$\color{brown}{4\times 8\times 15\times 13 = ?}$
$\color{brown}{7\times 19\times 10\times 6\times 3 = ?}$
$\color{brown}{9\times 17\times 23\times 5 = ?}$
$\color{brown}{10\times 16\times 21\times 35 = ?}$
$\color{brown}{12\times 21\times 7\times = ?}$

Treine à vontade. Quando for estudar fatoração de expressões algébricas e redução de termos semelhantes, irá aplicar essa propriedade e o domínio do assunto vai facilitar sua vida. É assunto que vem logo mais adiante um pouco.

Curitiba, 15 de outubro de 2018

Décio Adams

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10 de outubro de 2018

010.1 – Matemática, aritmética. Propriedades da multiplicação. Comutativa.

Propriedades da multiplicação.

Se para a adição existem propriedades, vamos ver a multiplicação. Afinal, em outro momento vimos que a multiplicação nada mais é do que uma adição de parcelas iguais.

Será que a propriedade comutativa é aplicável à multiplicação? (Lembremos que ela consiste em mudar a ordem das parcelas. Aqui vamos então trocar a ordem dos fatores).

Observem:

$\color{navy}{7 \times 4 = ?}$ $\color{navy}{ (28)}$
$\color{navy}{4 \times 7 = ?}$ $\color{navy}{(28)}$
$\color{navy}{3 \times 6 \times 10 = ?}$ $\color{navy}{(180)}$
$\color{navy}{6\times 3\times 10 = ?} $ $\color{navy}{(180)}$
$\color{navy}{10\times 3\times 6 = ?}$ $\color{navy}{(180)}$

22 de julho de 201810 de outubro de 2018

009.2 – Matemática, aritmética, Operações com naturais, Propriedade associativa da adição.

Propriedade associativa da adição

Vamos olhar agora uma expressão com várias parcelas.

$\color{navy}{12 + 8 + 25 + 15 = 25 + 12 + 15 + 8 = 60}$.

Nesse caso podemos fazer uma “associação”, como segue:

$\color{navy}{(12 + 8) + (25 + 15) = 20 + 40 = 60}$

Nós substituímos, na segunda fase, as parcelas $12$ e $8$ por sua soma ou associação que é $20$, assim como $25$ e $15$, associados dão $40$. Observe que a soma deu o mesmo resultado. Poderíamos ter feito também a associação de forma diferente:

$\color{navy}{(25 + 12) + (15 + 8) = 37 + 23 = 60}$ ou
$\color{navy}{(12 + 8 + 25) + 15 = 45 + 15 = 60}$ ou ainda
$\color{navy}{12 + (8 + 25 + 15) = 12 + 48 = 60}$

Essa propriedade é denominada

Propriedade associativa: Numa soma de várias parcelas, podemos substituir duas ou mais parcelas pela sua soma (associação).

Vamos usar essa propriedade quando formos fazer uma coisa chamada “redução de termos semelhantes na álgebra”, e isso é sumamente importante. Aguarde para ver.

Que tal exercitar um pouco?

$\color{brown}{32 + 15 + 24 = ( …+ …) +… = … + (…+ …) =…}$
$\color{brown}{6 + 9 + 4 + 13 + 4 = (… +…+ …) + (…+…) =…}$
aplique sucessivamente a propriedade associativa nas adições.
$\color{brown}{15 + 9 + 27 +35} = ?$
$\color{brown}{13 + 52 + 32 + 19 + 28} = ?$
$\color{brown}{57 + 23 + 74 + 87 + 18} = ?$
$\color{brown}{15 + 35 + 23 + 67} = ?$
$\color{brown}{7 + 11 + 47 + 55} = ?$
$\color{brown}{117 + 238 + 55 + 43} = ?$
$\color{brown}{45 + 32 + 29 + 87} = ?$
Crie seus próprios exercícios para fixar bem esse assunto.

Temos mais uma propriedade na adição. Vamos ver qual é?

Se tivermos a adição:

$\color{navy}{5 + 8 = 8 + 5 + 0 = 13}$
$\color{navy}{9 + 3 + 6 = 3 + 9 + 6 + 0 = 18}$

Note que nos dois exemplos, inserimos uma nova parcela, sem alterar o resultado. Essa parcela foi o número “zero”. Isso nos mostra que, se adicionarmos o número “zero” a qualquer soma, o resultado não se altera. Por essa razão essa propriedade é denominada:

Propriedade do Elemento neutro:

o zero é o elemento neutro da adição.

Em qualquer soma, a presença de uma parcela igual a zero, o resultado não sofre alteração.

Propriedade do fechamento:
dizemos que uma operação é fechada em um determinado conjunto numérico, se ela é sempre possível de ser realizada nesse conjunto.
Ainda não falamos de outros conjuntos numéricos e portanto estamos operando, neste momento, no conjunto dos números naturais.
$\bbox[5px,border:2px solid olive]{\color{navy}{\{N = 0,1,2,3,3,4,6,…,\infty\}}}$
Observamos nos exemplos vistos antes e podemos fazer muitos outros, verificando que a adição de dois números naturais, sempre resulta em um outro número natural. Isto significa que a adição é sempre possível no conjnto N. Por isso, podemos afirmar que:
“A adição é fechada para o conjunto dos números naturais”.

Curitiba, 22 de julho de 2018

Décio Adams