Multiplicando polinômios
No post anterior, vimos como se multiplica um termo algébrico por outro e também um termo por um polinômio. E se tivermos que multiplicar um polinômio por outro, como fica a questão? Seja por exemplo:
$$\color{Sepia}{{(mx^2 + my)}\cdot{(2x + 3xy – 5y)}}$$
Vamos multiplicar alternadamente o primeiro termo do primeiro polinômio por todos os termos do segundo, até terminar. O resultado será uma expressão com vários termos, entre os quais é possível haver termos semelhantes. Bastará fazer a redução e teremos o resultado procurado. Façamos em partes.
$$\color{Red}{{mx^2}\cdot({2x + 3xy – 5y})}$$
$$\color{Red}{(mx^2)\cdot (2x)} + {(mx^2)\cdot (3xy)} +{(mx^2)\cdot (-5y)}$$
$$\color{Red}{2\cdot m\cdot x^2\cdot x} + {3\cdot m\cdot x^2\cdot xy} +{-5\cdot m\cdot x^2\cdot y}$$
$$\color{Red}{{2mx^3 + 3mx^3y – 5mx^2y}}$$
$$\color{Indigo}{{my\cdot 2x} +{my\cdot 3xy} + {my\cdot{-5y}}}$$
$$\color{NavyBlue}{2mxy + 3mxy^2 – 5my^2}$$
Escrevendo as duas partes juntas, verificaremos que não há termos semelhantes e assim ficaremos com uma expressão de seis termos no final.
$$\color{NavyBlue}{2mx^3 + 3mx^3y – 5mx^2y + 2mxy + 3mxy^2 – 5my^2}$$
Vamos a outro exemplo:
$$\color{Sepia}{{( 3x^2 + 2x)}\cdot{(2x^3 + x^2)}}$$
Na multiplicação do primeiro termo do primeiro polinômio, pelo segundo polinômio resulta:
$\color{Red}{{(3x^2)}\cdot{(2x^3 +x^2)}}$
$\color{Red}{{(3x^2)}{(2x^3)} + {(3x^2)}{(x^2)}}$
$\color{Red}{{6x^{(2 + 3)}} + 3x^{(2+2)}}$
$\color{Red}{6x^5 + 3x^4}$
A segunda parte fica:
$\color{Red}{{(2x)}\cdot{(2x^3 +x^2)}}$
$\color{Red}{{2x\cdot 2x^3} + (2x)\cdot ({x^2})} $
$\color{Red}{4x^{(1+3)} + 2x^{(1+2)}}$
$$\color{Indigo}{4x^4 + 2x^3}$$
Reunindo as duas partes teremos:
$\color{NavyBlue}{6x^5 + 3x^4 +4x^4 + 2x^3}$
Temos dois termos semelhantes:
$\color{Brown}{{6x^5 +{(3x^4 + 4x^4)} + 2x^3}}$
$$\color{Purple}{6x^5 + 7x^4 + 2x^3}$$
Podemos, para facilitar, fazer as multiplicações na mesma sequência, sem separar, subentendendo alguns passos, depois de dominarmos o processo. Ou seja, podemos fazer as multiplicações mentalmente e escrever apenas os resultados, de modo a diminuir o espaço ocupado no papel. Mas isso deve ser feito, depois de termos perfeito domínio de cada passo. Não significa que iremos omitir os passos, apenas os fazemos em sequência e depois escrevemos o resultado. Isso acontece na medida em que adquirimos desenvoltura com as diferentes operações.
Hora de exercitar.
- Efetuar a multiplicação dos termos algébricos a seguir.
a)$\color{Indigo}{({7\over 5}\cdot bx)\cdot{({5\over 3}\cdot cx^2})}$
b$\color{Indigo}{{(2ay)}{(5ay)}}$
c)$\color{Indigo}{{(6 pr)}{({2\over3}qr)}}$
d)$\color{Indigo}{{(3 i)}{(5ij)}}$
e)$\color{Indigo}{{(4mn)}{(3n^3)}}$
f)$\color{Indigo}{{(a{x^2}y)}{(bx{y^3})}}$
g)$\color{Indigo}{{(bx^3)}{(2cxy^2)}{(5bc^2)}}$
h)$\color{Indigo}{{(3mn^2)}{(2m^3n)}{(-mn)}}$
2. Efetuar a multiplicação dos termos algébricos pelos polinômios a seguir.
a) $\color{Sepia}{{(3ab)}\cdot {(2a + 3b – 5c)}}$
b) $\color{Sepia}{{(mx^2)}\cdot {(mx + nx^2}y + mxy)}$
c) $\color{Sepia}{{(5 u^2v)}{(2uv + 4u – 5v + {{u^2}v^3})}}$
d) $\color{Sepia}{{({2\over 3}{axy^3})}{(6xy – 3ay^2 + 9a{x^2}y)}}$
e)$\color{Sepia}{{(3px^2)}{(5px + 3pq – 4qx^3)}}$
f)$\color{Sepia}{{(2mn^2 + 5mx – 3nx^3)}{(2mn)}}$
g)$\color{Sepia}{{(3xz^3)}{(2xy – 4xy^3z + 6x – x^2yz)}}$
h)$\color{Sepia}{{Ax^2)}{(Ax^3 + Bxy – Cyz^2)}}$
3. Efetuar a multiplicação dos polinômios propostos a seguir.
a)$\color{Brown}{{( a + ab)}{(abx + x)}}$
b)$\color{Brown}{{(pm – {p^2}n)}{(m^2 – pm^2 – pn)}}$
c)$\color{Brown}{{(2x – 3 y)}{(5 + 2xy – 4 x^2 + 3xy^3)}}$
d)$\color{Brown}{{(3u + 5v)}{(6u^2 – 2 v + 7uv)}}$
e)$\color{Brown}{{(4m – 2n)}{(mn + m^2n – 3n^3)}}$
f)$\color{Brown}{{(5 – 6x + 3xy + x^2y^3)}{(2 + 4xy)}}$
g)$\color{Brown}{{(4r^2 – 3pq)}{(5 + 3r – 2rq)}}$
h)$\color{Brown}{{(2ny – 3mx)}{(4nm + 2mx – 5mnx)}}$
Curitiba, 31/março/2016. Republicado em 16 de dezembro de 2017.
Décio Adams
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